不定方程(初二)及答案解析

.2010年2月希望杯数学冬令营上课材料初二不定方程一、赛点分析1、两个变量的不定方程axbyc，其中a,b,c为整数，且a,b都不为0，则有以下性质：感谢阅读（1）不定方程有整数解的充要条件是(a,b)|c；精品文档放心下载xxbt0(a,b)（t为整数）。（2）设不定方程有整数解(x,y)，则所有整数解有：a00yyt(a,b)02、解不定方程（组）需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运用一下知识与谢谢阅读方法：奇数偶数、整数的整除性、整系数分离法、因式分解、配方利用非负数性质、乘感谢阅读法公式、不等分析等。二、例题精讲例1、求方程4x5y21的整数解。解：设x、y是已知方程的整数解，由x,y之中较小的系数4去除各项得x215y，44把21和54中的整数分离出来，得x5y1y444，因为5y和x都是整数，则1y也是整数，设1yk，k为整数，则y14k，44y14k代入已知方程得x5(14k)k45k。感谢阅读所以x45k（k为整数）是方程的整数解，感谢阅读y14k并且当k取遍所有整数时，就得到方程的所有整数解。精品文档放心下载变式1、求方程7x4y100的正整数解。精品文档放心下载x4x44t（t为整数），解：通过观察得方程的一个特解：，∴方程的通解是y18y187t.44t1，∴317，∵x、y为正整数，∴t187t147∵t为整数，∴t0，1或2，将它们分别代入通解，x4x8x12得原方程的正整数解为：，，。y18y11y4变式2：求方程7x19y213的所有正整数解。感谢阅读x25x2519t解：方程的一个特解：，方程的特解是（t为整数），y2y27t∵x、y2519t0252，为正整数，∴，∴t27t0197∴t1或0，∴原方程的正整数解为x25x6，。y2y9例2、（2005年希望杯）小纪念册每本5元，大纪念册每本7元。小明买这两种纪念册谢谢阅读共花了142元，问两种纪念册最少共买了多少本？解：设小明买了x本小纪念册，y本大纪念册，则有5x7y142，精品文档放心下载再设xya，∴5a2y142，a1422y精品文档放心下载5∵a是正整数，y的值越大，a的值越小，0y20，谢谢阅读∴依次取y=20，19，18，17代入a1422y试算，a都不是正整数。谢谢阅读5当y16时，a22，所以两种纪念册最少共买了22本。精品文档放心下载变式1：小燕付出了14.85元买了A、B两种卡片，A卡片的单价是2.16元，B卡片的单谢谢阅读价是4.23元。问小燕共买了多少张卡片？解：设小燕买了A、B两种卡片的张数分别为x、y，则2.16x4.23y14.85，谢谢阅读24x47y165，可知：y是奇数，y是3的倍数；∴当y3时，x1；当y9时，显然不合题意；感谢阅读.∴小燕共买了4张卡片.例3、（中国百鸡问题）鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，谢谢阅读问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？解：设鸡翁、鸡母、鸡雏的只数分别为x、y、z，则有：谢谢阅读xyz100z，消去z得：7x4y100，5x3y1003显然x0，y25x4t（t为整数），是方程的一个特解，∴通解为y257t于是有z100xy1004t(257t)753t，由x,y,z0，精品文档放心下载4t0即257t0，且t为整数可得t0，1，2，3，将t的值代入通解得：感谢阅读753t0（x,y,z）=（0，25，75），（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）。感谢阅读变式1：旅游团一行50人到一旅馆住宿，旅馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其精品文档放心下载中三人间的每人每天20元，二人间的每人每天30元，单人间的每天50元，如果旅精品文档放心下载行团共住满了20间客房，问三种客房各住几间？怎样消费最低？精品文档放心下载解：三人间、二人间、单人间分别为x、y、z间，则有精品文档放心下载xyz20x10z，这里x、y、z都是非负数，，得3x2yz50y102z由于y102z0，∴0z5，∴z只能取0，1，2，3，4，5.谢谢阅读∴（x,y,z）=（10，10，0），（11，8，1），（12，6，2），感谢阅读（13，4，3），（14，2，4），（15，0，5）。∵50人住宿的总消费为W60x60y50z120010z，∴当z5时，即（x,y,z）=（15，0，5），总消费最低。谢谢阅读.变式2、（2003年全国初中数学竞赛题）若4x3y6z0，x2y7z0（xyz0），精品文档放心下载则代数式5x22y2z2的值等于（）2x23y210z2A、1B、19C、15D、13224x3y6z0x3z，代入得：原式=45z28z2z2解：∵，∴13，选D。x2y7z0y2z18z212z210z2例4、求方程x2y2105的正整数解。解：∵x2y2105，∴(xy)(xy)357，∵x、y都是正整数，xy，∴xyxy，xy105xy35xy21xy13∴，，，，xy1xy3xy5xy7x53x19x13x11∴，，，。y52y16y8y4变式1、方程x2y21991的整数解的个数是（）A、0B、1C、8D、无穷xy1xy1991xy1C∵(xy)(xy)11181，∴，，，xy1991xy1xy1991xy1991xy11xy181xy11xy181，，，，，xy1xy181xy11xy181xy11这8个方程组的解均为整数，∴原方程的整数解的个数为8。变式2、设p是大于2的质数且xy，求方程112xyp的正整数解。解：∵1x1y2p，∴2xypxpy，∴2xypxpy0，∴4xy2px2pyp2p2谢谢阅读∴(2xp)(2yp)p2，∵p是大于2的质数且xy，精品文档放心下载.p2pp12xp12xpp2x2x2。∴，，∴p1，p2p2ypp22yp1y2y2变式3、有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前、后两个两位数，将前面的两位数末精品文档放心下载尾添一个0，然后加上前、后两个两位数的乘积，恰好等于原来的四位数，又知道原数感谢阅读的个位数字是5，求这个四位数。解：设四位数分成的前后两位数分别为a、b，则10aab100ab，谢谢阅读(a1)(b90)90，∵a0，∴b900，谢谢阅读b是两位数，且个位数字是5，∴b95，则a118，∴a19。感谢阅读故所求的四位数是1995.变式4、（2009年全国初中数学竞赛试题）关于x，y的方程x2xy2y229的整数解谢谢阅读（x，y）的组数为（ ）．A、2组 B、3组 C、4组 D、无穷多组解：可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为x2yx(2y229)0．感谢阅读由于该方程有整数根，则判别式≥0，且是完全平方数．感谢阅读y24(2y229)7y2116≥0，解得y2≤116716.57．于是谢谢阅读y201491611610988534显然，只有y216时，4是完全平方数，符合要求．谢谢阅读当y4时，原方程为x24x30，此时x1,x3；12当y＝－4时，原方程为x24x30，此时x1,x3．3 4.x1,x3,x1,x3,所以，原方程的整数解为1234y4;y4;y4;y4.1234例5、（2004年全国初中数学竞赛试题）已知a,b是实数，关于x,y的方程组yx3ax2bx有整数解（x,y），求a,b满足的关系式。yaxb解：∵yx3ax2bxx3x(axb)，yaxb，∴yx3xy，即y(x1)x3，感谢阅读易知x10，∴yx3x2x11，∵x,y都是整数，∴x11，x1x1x2或x0，从而x2，x0。y8y0感谢阅读x2时，代入yaxb得：2ab80；精品文档放心下载y8x0时，代入yaxb得：b0。感谢阅读y0综上所述，a,b满足的关系式是2ab80或b0（a为任意实数）。谢谢阅读变式1、方程x3y0的整数解有（）x1A、1组B、2组C、3组D、4组Dyx32为整数，∴x11,2，解得x0,2,1,3，故有4组。x11x1变式2、求方程111的正整数解。xy2解：∵111，∴y2x2x4424，xy2x2x2x2∵x、y都是正整数，∴(x2)|4，x21，2，4，∴x3，4，6，x3x4x6∴原方程的正整数解为，，。y6y4y3例6、求方程xy1z的质数解。解：首先y必须是偶数。否则，由xy1能被x1整除，且xy1x11，精品文档放心下载.可知xy1可以分解，即xy1不等于质数z，但y又是质数，得y2；谢谢阅读zx212215，∴z为奇质数，于是x2z1为偶数，∴x2，z5，故原方程的质数解是x2，y2，z5。精品文档放心下载变式1、方程x22y21的质数解是 。感谢阅读x3∵1为奇数，2y2为偶数，∴x必为奇数，令x2m1，y2由x2(2m1)24(m2m)14n1（m,n为正整数），可得：4n12y21，感谢阅读∴y22n，∴y为偶数，又∵y为质数，∴y2，从而x3。变式2、求证对于任意自然数n，方程x213yn0无整数解。证明：设x3k，3k1，3k2（k为自然数）精品文档放心下载x3k时，原方程化为9k213yn0，即3(yn3k2)1，这是不可能的；精品文档放心下载x3k1时，3(yn3k22k)2，这是不可能的；精品文档放心下载x3k2时，3(yn3k22k1)2，这也是不可能的；所以，方程无整数解。三、能力训练：谢谢阅读1、（2000希望杯）若a,b均为正整数，且2ab，2ab10，则b的值为（ D ）谢谢阅读A、一切偶数

B、2或4或6或8

C、2或4或6

D、2或42、（2006希望杯）方程xyz7的正整数解有（ C精品文档放心下载A、10组 B、12组 C、15组 D、16组谢谢阅读

）3、方程(x1)2(y2)21的整数解有（ C ）谢谢阅读A、1组 B、2组 C、4组 D、无数组4、（2005年希望杯）购买铅笔7支，作业本3个，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，感谢阅读作业本4个，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5个，圆珠笔2支共需感谢阅读（B ）.A．4.5元 B．5元 C．6元 D．6.5元感谢阅读5、方程6y6xxy0的正整数解的个数是（ ）谢谢阅读A、1 B、2 C、3 D、4Dx636，∵x,y均为正整数，∴366且6y是36的正约数，6y6y从而6y9,12,18,36，解得y3,6,12,30，∴原方程的正整数解有4个。精品文档放心下载6、满足方程x2y2x3的正整数对（x,y）的个数是（ ）谢谢阅读A、0 B、1 C、2 D、无限个∵x2y2x3，∴y2x2(x1)，∴只要x1为自然数的平方，则方程必有整数解，故方程有无限个正整数解。感谢阅读7、有一个三位数abc，ac，把它的数字次序反过来所成之数被原来的数减时，若差的谢谢阅读个位数是4，则差的另两位数字从右到左为（ ）A、不能确定 B、5与9 C、9与5 D、5与4谢谢阅读abccba100a10100c10ca，∵差的个位数是4，且ac，感谢阅读∴10ca4，ac6，故100a10100c590，即差是594。谢谢阅读8、方程x23y216的整数解的组数是（B）A、5B、6C、7D、7组以上9、三元方程xyz1999的非负整数解的个数有（C）A、20001999个B、19992000个C、2001000个D、2001999个10、（2008年希望杯）使方程3x2y200成立的正整数对(x,y)有（B）A、66个B、33个C、30个D、18个.11、（2004希望杯）八(1)班共有35名学生，其中1的男生和1的女生骑自行车上学，那精品文档放心下载23么该班骑自行车上学的学生的人数最少是(D)A、9B、10C、11D、1212、（2003年温州中考题）希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个，其总价感谢阅读值为330元，这三种球的价格分别是足球每个60元，篮球每个30元，排球每个10谢谢阅读元，那么其中排球有 15 个。13、今有1分、2分和5分的硬币共计15枚，共值5角2分，则三种硬币个数的乘积谢谢阅读是 45或80 。14、方程x3y300的整数解是x3x48x147，，，。y27y12y3∵ x3y103 39343637333。精品文档放心下载15、（2004希望杯）一个直角三角形的三条边的长均为整数，已知它的一条直角边的长是感谢阅读18，那么另一条直角边的长有__2___种可能，它的最大值是 80.谢谢