某农业大学自动控制原理第2章课件

第一节控制系统的微分方程第二章自动控制系统的数学模型第三节传递函数第四节动态结构图第五节反馈控制系统的传递函数第二章自动控制系统的数学模型第二节数学模型的线性化第一节控制系统的微分方程第二章自动控制系统的数学模型第三节1第一节控制系统的微分方程一、建立微分方程的一般步骤二、常见环节和系统的微分方程的建立三、线性微分方程式的求解第二章自动控制系统的数学模型第一节控制系统的微分方程一、建立微分方程的一般步骤二、常见2第一节控制系统的微分方程（1）

确定系统的输入变量和输出变量。一、建立系统微分方程的一般步骤一个系统通常是由一些环节连接而成的，将系统中的每个环节的微分方程求出来，便可求出整个系统的微分方程。列写系统微分方程的一般步骤：根据各环节所遵循的基本物理规律，分别列写出相应的微分方程，并构成微分方程组。（2）

建立初始微分方程组。将与输入量有关的项写在方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号的左边。（3）消除中间变量，将式子标准化。第一节控制系统的微分方程（1）

确定系统的输入变量和输出变3ucur二、常见环节和系统微分方程的建立1．RC电路+-uruc+-CiR输入量：输出量：第一节控制系统的微分方程（1）

确定输入量和输出量（2）

建立初始微分方程组（3）消除中间变量，使式子标准化RC电路是一阶常系数线性微分方程。ur=Ri+uci=CducdtRCducdt+uc=urucur二、常见环节和系统微分方程的建立1．RC电路+-u42．机械位移系统系统组成：质量m输入量弹簧系数k阻尼系数fF(t)输出量y(t)初始微分方程组:F=maF(t)–FB(t)–FK(t)=ma根据牛顿第二定律第一节控制系统的微分方程2．机械位移系统系统组成：质量m输入量弹簧系数k阻尼系数5第一节控制系统的微分方程中间变量关系式:FB(t)=fdy(t)dtFK(t)=ky(t)a=d2y(t)dt2md2y(t)dt2fdy(t)dt+ky(t)=F(t)+消除中间变量得:第一节控制系统的微分方程中间变量关系式:FB(t)=f63．他激直流电动机第一节控制系统的微分方程+n=d2ndt2TmTa+TmdndtudCe3．他激直流电动机第一节控制系统的微分方程+n=d2n7系统微分方程由输出量各阶导数和输入量各阶导数以及系统的一些参数构成。第一节控制系统的微分方程系统微分方程的一般表达式为：+dtm+bmr(t)=b0dm-1r(t)dtm-1b1+···dmr(t)+dr(t)dtbm-1anc(t)+···dnc(t)dtna0+dn-1c(t)dtn-1a1+dc(t)dtan-1+系统微分方程由输出量各阶导数和输入量各阶导数以及系8r(t)=δ(t),c(0)=c'(0)=0+2c

(t)=r(t)+2d2c(t)dt2dc(t)dt用一个例子来说明采用拉氏变换法解线性定常微分方程的方法。三、线性微分方程式的求解例已知系统的微分方程式，求系统的输出响应。第一节控制系统的微分方程解：将方程两边求拉氏变换得：求拉氏反变换得：s2C(s)+2sC(s)+2C(s)=R(s)R(s)=1C

(s)=s2+2s+21=(s+1)2+11c(t)=e–t

sintr(t)=δ(t),c(0)=c'(0)=09输出响应曲线第一节控制系统的微分方程c(t)r(t)r(t)t0c(t)输出响应曲线第一节控制系统的微分方程c(t)r(t)r10第二节数学模型的线性化(自学)第二章自动控制系统的数学模型绝大多数物理系统在参数某些范围内呈现出线性特性。当参数范围不加限制时，所有的物理系统都是非线性的。对每个系统都应研究其线性特性和相应的线性工作范围。第二节数学模型的线性化(自学)第二章自动控制系统的数学模11第三节传递函数一、传递函数的定义及求取二、典型环节的传递函数及其动态响应

拉氏变换可以简化线性微分方程的求解。还可将线性定常微分方程转换为复数S域内的数学模型—传递函数。第二章自动控制系统的数学模型第三节传递函数一、传递函数的定义及求取二、典型环节的传递函12第三节传递函数输出拉氏变换一、传递函数的定义及求取系统的结构图输入输入拉氏变换输出传递函数的定义：零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。G(S)R(S)C(S)r(t)c(t)R(s)C(s)G(s)=第三节传递函数输出拉氏一、传递函数的定义及求取系统的结13例求图示RLC电路的传递函数。+-uruc+-CLRi解：输出量：输入量：uruci=CducdtLdidtur=R·i

++uc根据基尔霍夫定律：得RCducdt+uc=urLCd2ucdt2+拉氏变换：RCsUc(s)+

LCs2Uc(s)

+

Uc(s)=Ur(s)传递函数为:G

(s)=1LCs2+

RCs+

1Uc(s)Ur(s)=第三节传递函数例求图示RLC电路的传递函数。+-uruc+-CLRi解14对微分方程的一般表达式进行拉氏变换得系统传递函数的一般表达式为(a0

sn+a1

sn-1

+···+an-1s+an)C(s)=(b0

sm+b1

sm-1

+···+bm-1s+bm)R(s)R(s)C(s)G(s)==b0

sm+b1

sm-1

+···+bm-1s+bma0

sn+a1

sn-1

+···+an-1s+an第三节传递函数对微分方程的一般表达式进行拉氏变换得系统传递函数的一般表达式15传递函数性质：（1）传递函数只适用于线性定常系统。（2）传递函数取决于系统的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关。（3）传递函数一般为复变量S的有理分式。（4）传递函数是在零初始条件下定义的，不能反映非零初始条件下系统的运动过程。将传递函数中的分子与分母多项式分别用因式连乘的形式来表示，即G(s)=K0(s

–z1)(s

–z2)···(s

–zm

)(s

–s1)(s

–s2)···(s

–sn

)式中：n>=mK0—为放大系数S=S1,S2···,Sn—传递函数的极点S=Z1,Z2···,Zm—传递函数的零点传递函数分母多项式就是相应微分方程的特征多项式，传递函数的极点就是微分方程的特征根。第三节传递函数传递函数性质：（1）传递函数只适用于线性定常系统。（2）传递16一般可将自动控制系统的数学模型看作由若干个典型环节所组成。研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系统性能的了解。二、典型环节的传递函数及其动态响应第三节传递函数一般可将自动控制系统的数学模型看作由若干个典17c(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)—比例环节系数拉氏变换:比例环节的传递函数:1．比例环节微分方程:K比例环节方框图KR(S)C(S)特点:输出不失真,不延迟,成比例地R(s)C(s)G(s)==K复现输入信号的变化.第三节传递函数c(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)—比例环节系数拉氏变18比例环节的单位阶跃响应曲线比例环节的单位阶跃响应曲线19K=-R1R2比例环节实例(a)-∞++urR1ucR2由运算放大器构成的比例环节(b)线性电位器构成的比例环节K=R2+R1R2uc(t)+-R1R2+-ur(t)第三节传递函数K=-R1R2比例环节实例(a)-∞++urR1ucR20第三节传递函数(c)齿轮传动比例环节实例输入转速输出转速输入齿轮齿数输出齿轮齿数运动方程：拉氏变换：传递函数：K

齿轮传动比放大系数增益第三节传递函数(c)齿轮传动比例环节实例输入转速输出212．惯性环节惯性环节的微分方程:+c

(t)=Kr(t)dc(t)dtT—比例常数—时间系数式中KT拉氏变换：TsC

(s)+C

(s)=KR(s)惯性环节的传递函数:R(s)C(s)G(s)=KTs

+

1=惯性环节方框图R(S)C(S)1+Ts1单位阶跃信号作用下的响应:R(s)=1sKTs

+

11s·C(s)=拉氏反变换得:c(t)=K(1–e)tT-第三节传递函数2．惯性环节惯性环节的微分方程:+c(t)=Kr(22单位阶跃响应曲线特点:输出量不能瞬时完成与输入量完全一致的变化.第三节传递函数r(t)t0c(t)1r(t)c(t)单位阶跃响应曲线特点:输出量不能瞬时完成与23惯性环节实例RL电路构成的惯性环节R+-u(t)LiL(t)1/R(L/R)S

+1G(s)=第三节传递函数惯性环节实例RL电路构成的惯性环节R+-u(t)LiL(24)()()(00tkxtkxdttdxci=+弹簧-阻尼系统ck输入位移输出位移c为阻尼系数k为弹簧刚度拉氏变换得：由牛顿定律：传递函数为为惯性环节的时间常数惯性环节实例)()()(00tkxtkxdttdxci=+弹簧-阻尼系统253.振荡环节微分方程：+c

(t)=r(t)+2Td2c(t)dt2dc(t)dtT2ζ—时间常数—阻尼比（0，1）ζT传递函数：1T2S2+2TS+1=R(s)C(s)G(s)=ζG(s)=T21T21T2S2+S+ζn2ωn2ωnζS2+2S+ω=T1ωn=—无阻尼自然振荡频率振荡环节方框图S2+2ξωnS+ωn2ωn2R(S)C(S)单位阶跃响应：c(t)=1-1-ζ2Sin(ωdt+β)e第三节传递函数3.振荡环节微分方程：+c(t)=r(t)+226单位阶跃响应曲线第三节传递函数1c(t)r(t)r(t)t0c(t)单位阶跃响应曲线第三节传递函数1c(t)r(t)r(t)271ms2+fs+k=F(s)Y(s)G(s)=常见振荡环节的实例：（1）弹簧-质量-阻尼器组成的机械位移系统

（2）他激直流电动机

（3）RLC电路1LCs2+RCs+1=Ur(s)Uc(s)G(s)=1/CeTaTms2+Tms+1=Ua(s)N(s)G(s)=第三节传递函数1ms2+fs+k=F(s)Y(s)G(s)284．微分环节R(S)C(S)Ts理想微分环节数学模型：—微分时间常数微分环节方框图单位阶跃响应函数：c(t)=dr(t)dtTTR(s)C(s)G(s)==Tsc(t)=Tδ(t)第三节传递函数4．微分环节R(S)C(S)Ts理想微分环节数学模型：—微29单位阶跃响应曲线理想脉冲实际中是不可能实现的，实际的物理装置中常用近似理想微分环节。第三节传递函数r(t)t0c(t)c(t)r(t)单位阶跃响应曲线理想脉冲实际中是不可能实30近似理想微分环节实例+-uc+-CRurRC电路构成的微分环节RCsRCS+1G(s)=TsTs+1=T=RC<<1G(s)Ts第三节传递函数近似理想微分环节实例+-uc+-CRurRC电路构成的31实用微分环节的单位阶跃响应:单位阶跃响应曲线C(s)TsTs+1=1s=1s+1/T

c(t)=etT-特点:输出量反映了输入量的变化率，而不反映输入量本身的大小.第三节传递函数r(t)r(t)t0c(t)c(t)1实用微分环节的单位阶跃响应:单位阶跃响应曲线C(s)32由于微分环节的输出量反映输入量的变化，而不反映输入本身的大小，有些场合不能单独使用，故常用比例微分环节。R(s)C(s)G(s)==K(Ts+1)其传递函数：比例微分环节的单位阶跃响应：c(t)=KTδ(t)+K=K[Tδ(t)+1]c(t)r(t)比例微分环节的输入量为恒值时，输出量与输入量成正比。由于微分环节的输出量反映输入量的变化，而不反R(s33tc(t)r(t)r(t)c(t)比例环节比例环节与比例微分环节比较：

▲比例环节

G(s)=Kp=1

，（Kp

=1）:

▲比例微分环节G(s)=Kp(Ts+1)=Ts+1，（Kp=1）c(t)=r(t)=t

并联了微分环节Ts，由此增加的输出总输出：c(t)=t+T（输入r(t)=t，）比例微分环节tc(t)r(t)r(t)=tc(t)=t+TTTt1t2当输入信号为变量时，输出量中既含有与输入量成正比的量，也包含反映输入信号变化趋势的信息。cbtc(t)r(t)r(t)c(t)比例环节比例环节与比例345、积分环节例2-13运算放大器微分方程：传递函数：积分环节的一般描述：积分环节的微分方程：积分环节的传递函数：积分环节的单位阶跃响应T1

输出量与输入量对时间的积分成正比，具有滞后作用和记忆功能.特点:5、积分环节例2-13运算放大器微分方程：传递函数：积分356、延迟环节例2-14禽蛋检测分级系统工作过程：传递函数：输入：输出：τ传递函数：延迟环节的单位阶跃响应说明:1、输出波形与输入波形相同，但延迟了时间τ；2、在一定条件下，延迟环节可近似为惯性环节：6、延迟环节例2-14禽蛋检测分级系统工作过程：传递函数36第四节动态结构图一、建立动态结构图的一般方法二、动态结构图的等效变换与化简动态结构图是系统数学模型的另一种形式，它表示出系统中各变量之间的数学关系及信号的传递过程。第二章自动控制系统的数学模型第四节动态结构图一、建立动态结构图的一般方法二、动态结构37一、建立动态结构图的一般方法例2-3设一RC电路如图所示。画出系统的动态结构图。+-uruc+-CiRRC电路解：初始微分方程组：ur=Ri+ucduci=dtc取拉氏变换：Ur(s)=RI(s)+Uc(s)I(s)=CsUc(s)即=I(s)RUr(s)–Uc(s)Uc(s)=I(s)·1Cs用方框表示各变量间关系Ur(s)1R_I(s)Uc(s)Uc(s)I(s)1Cs根据信号的流向，将各方框依次连接起来，即得系统的动态结构图。Uc(s)I(s)1Cs

由图可见，系统的动态结构图一般由四种基本符号构成：信号线、综合点(相加点）、方框和引出点。

第四节动态结构图一、建立动态结构图的一般方法例2-3设一RC电路如图所38绘制动态结构图的一般步骤为:（1）确定系统中各元件或环节的传递函数。（2）绘出各环节的方框，方框中标出其传递函数、输入量和输出量。（3）根据信号在系统中的流向，依次将各方框连接起来。第四节动态结构图绘制动态结构图的一般步骤为:（1）确定系统中各元件或环节的传39画出系统方框图+-urC1i1

(t)uc+-C2i2(2)R1R2u1Ur(s)-U1(s)R1=I1(s)U1(s)-Uc(s)R2=I2(s)I2(s)R21U1(s)

Uc(s)=i1-i2C1du1dtI2(s)=C2sUc(s)I2(s)U1(s)I1(s)1C1si2=C2ducdtI1(s)-I2(s)=C1sU1(s)1C2sI2(s)Uc(s)I1(s)R11Ur(s)

U1(s)I1(s)R11Ur(s)

U1(s)I2(s)R21U1(s)

Uc(s)1C2sI2(s)Uc(s)1C1SI2(s)I1(s)画出系统方框图+-urC1i1(t)uc+-C2i2(2)40控制系统数学模型三种形式不同点比较:（1）表示形式不同：微分方程和传递函数是数学表示形式，方框图式是图形表示形式。（2）化简的程度不同：微分方程和传递函数繁、方框图简单。（3）基本传递函数是动态结构图的基础。第四节动态结构图控制系统数学模型三种形式不同点比较:（1）表示形式不同：微分41二、动态结构图的等效变换与化简系统的动态结构图直观地反映了系统内部各变量之间的动态关系。将复杂的动态结构图进行化简可求出传递函数。1．动态结构图的等效变换等效变换：被变换部分的输入量和输出量之间的数学关系，在变换前后保持不变。第四节动态结构图二、动态结构图的等效变换与化简系统的动态结42（1）串联两个环节串联的变换如图：R(s)C(s)G2(s)G1(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)=G1(s)G2(s)G(s)=等效可得n个环节的串联G

(s)=∏Gi(s)ni=1第四节动态结构图（1）串联两个环节串联的变换如图：R(s)C(s)G2(s)43R(s)C(s)=G1(s)+G2(s)G(s)=(2)并联两个环节的并联等效变换如图：G1(s)+G2(s)R(s)C(s)++G2(s)R(s)C(s)G1(s)等效n个环节的并联G

(s)=Σ

Gi(s)ni=1第四节动态结构图R(s)C(s)=G1(s)+G2(s)G(s)=(44（3）反馈连接G(s)1±G(s)H(s)C(s)R(s)G(s)C(s)H(s)R(s)E(s)B(s)±环节的反馈连接等效变换：根据框图得：R(s)C(s)1±

G(s)H(s)G(s)=第四节动态结构图（3）反馈连接G(s)1±G(s)H(s)C(s)R(s)G45（4）综合点和引出点的移动1)

综合点之间或引出点之间的位置交换引出点之间的交换：b综合点之间交换：bc±aa±b±c±cba±c±baaaaaa第四节动态结构图（4）综合点和引出点的移动1)

综合点之间或引出点之间的位462）综合点相对方框的移动F(s)R(s)G(s)C(s)±R(s)前移：R(s)C(s)G(s)±F(s)R(s)±C(s)1G(s)F(s)后移：±C(s)G(s)F(s)R(s)C(s)G(s)±F(s)F(s)R(s)G(s)C(s)±第四节动态结构图2）综合点相对方框的移动F(s)R(s)G(s)C(s)±R473)引出点相对方框的移动C(s)R(s)C(s)G(s)R(s)R(s)C(s)G(s)R(s)G(s)1C(s)R(s)C(s)G(s)前移：G(s)C(s)后移：R(s)R(s)C(s)G(s)第四节动态结构图移动规律：点自身不变、点方框串“倒”并“补”3)引出点相对方框的移动C(s)R(s)C(s)G(s)R48G1(s)G2(s)G3(s)H(s)__+R(s)C(s)a移动aG2(s)+_G2(s)H(s)例化简系统的结构图，求传递函数。先移动引出点和综合点，消除交叉连接，再进行等效变换，最后求得系统的传递函数。解：G1(s)G2(s)G3(s)G2(s)H(s)+__R(s)C(s)交换比较点a求得系统的传递函数:R(s)C(s)G1(s)G2(s)+G3(s)=1+G2(s)H(s)+G1(s)G2(s)+G3(s)G1(s)G2(s)+G3(s)11+G2(s)H(s)_R(s)C(s)等效变换后系统的结构图：第四节动态结构图化简原则：消除交叉G1(s)G2(s)G3(s)H(s)__+R(s)C(s)49例求RC串联网络的传递函数。1R11C1s1C2s___R(s)C(s)1R2RC串联网络动态结构图解：错！C2s1R1注意：综合点与引出点的位置不作交换！R1_1R2C2s_1R1C1sR1C2s1R1C1s+11R2C2s+1_R(s)C(s)系统传递函数：R(s)C(s)(R1C1s+1)(R2C2s+1)+R1C2s1=第四节动态结构图例求RC串联网络的传递函数。1R11C1s1C2s__50G1G2G3G4H3H2H1例：化简方框图并求传递函数G1G2G3G4H3H2H1abG41你能求出传递函数吗？G1G2G3G4H3H2H1例：化简方框图并求传递函数G1G51第五节反馈控制系统的传递函数一、系统的开环传递函数二、系统的闭环传递函数研究控制系统的性能，主要的传递函数为：三、系统的误差传递函数第二章自动控制系统的数学模型第五节反馈控制系统的传递函数一、系统的开环传递函数二、系统52第五节反馈控制系统的传递函数_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+D(s)一、系统的开环传递函数闭环控制系统的典型结构：开环传递函数：系统反馈量与误差信号的比值E(s)B(s)Gk(s)=E(s)B(s)=G1(s)G2(s)H

(s)=G

(s)H

(s)

第五节反馈控制系统的传递函数_B(s)H(s)G1(s)G53二、系统的闭环传递函数1．给定信号R(s)作用_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+D(s)系统的典型结构：D

(s)=0典型结构图可变换为：_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s