福建省厦门市洪前中学高三数学理上学期摸底试题含解析

福建省厦门市洪前中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某县2015年12月末人口总数为57万，从2016年元月1日全面实施二胎政策后，人口总数每月按相同数目增加，到2016年12月末为止人口总数为57.24万，则2016年10月末的人口总数为（

）A．57.1万

B．57.2万

C．57.22万

D．57.23万参考答案：B2.已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1，+2] B．[1，e2﹣2] C．[+2，e2﹣2] D．[e2﹣2，+∞）参考答案：B【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解，构造函数f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解．设f（x）=2lnx﹣x2，求导得：f′（x）=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）极大值=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．故选B．3.已知，，向量与的夹角为，则A． B． C．1 D．2参考答案：B4.若，则的值为（）

A．

B．

C．

D．参考答案：C5.已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且a＋b与2a－b互相垂直，则的值是（

▲

）A．

1

B．

C．

D．参考答案：C略6.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为

（

）

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D7.已知双曲线的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率等于 A． B． C．2 D．2参考答案：B抛物线的焦点坐标为。双曲线的右焦点为，则。渐近线为，因为一条渐近线的斜率为，所以，即，所以，即，即，选B.8.已知实数a，b满足log2a+log2b=﹣2，则a+b的最小值为（）A．B．C．1D．4参考答案：C【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用已知条件求出ab关系式，然后求解表达式的最小值．【解答】解：实数a，b满足log2a+log2b=﹣2，可得ab=，a+b≥2=1，当且仅当a=b=时取得最小值．故选：C．【点评】本题考查基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．9.已知程序框图如图，则输出结果是A. B.C. D.参考答案：B10.若x1、x2、x3、…、x10的平均数为3，则3（x1﹣2）、3（x2﹣2）、3（x3﹣2）、…、3（x10﹣2）的平均数为（）A．3 B．9 C．18 D．27参考答案：A【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据题意，由x1、x2、x3、…、x10的平均数为3，由平均数公式分析可得x1+x2+x3+…+x10=30，对于数据3（x1﹣2）、3（x2﹣2）、3（x3﹣2）、…、3（x10﹣2），由平均数公式可得=[3（x1﹣2）+3（x2﹣2）+…+3（x10﹣2）]，计算可得答案．【解答】解：根据题意，x1、x2、x3、…、x10的平均数为3，则有（x1+x2+x3+…+x10）=3，即x1+x2+x3+…+x10=30，对于数据3（x1﹣2）、3（x2﹣2）、3（x3﹣2）、…、3（x10﹣2），其平均数=[3（x1﹣2）+3（x2﹣2）+…+3（x10﹣2）]=×[3（x1+x2+x3+…+x10）﹣60]=3；故选：A．【点评】本题考查数据平均数的计算，关键是牢记平均数计算的公式．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则

.参考答案：略12.已知向量是单位向量，若?=0，且|﹣|+|﹣2|=，则|+2|的最小值是

．参考答案：考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：由题意，建立坐标系，设=（1，0），则=（0，1），设=（x，y），由|﹣|+|﹣2|=，得到，xy满足的方程，然后求|+2|的最小值．解答： 解：由题意，建立如图坐标系，设=（1，0），则=（0，1），设=（x，y），由|﹣|+|﹣2|=，得到的终点在线段AB：y=2﹣2x（0≤x≤1）上，所以+2=（x+2，y），|+2|2=（x+2）2+y2=5x2﹣4x+8=5（x﹣）2+，所以当x=时|+2|的最小值为；故答案为：．点评：本题考查了向量的坐标运算，关键是将所求转化为二次函数求最值．13.若集合，，则=_________参考答案：略14.已知函数，下列结论正确的是

（填序号）①存在，使得②函数的图像是中心对称图形③若是函数的极小值点，则函数在区间上是减函数④若，则是函数的极值点参考答案：略15.已知各项均为正数的等比数列满足,若存在两项使得的最小值为

参考答案：16.平行四边形中，为的中点．若在平行四边形内部随机取一点，则点取自△内部的概率为______．参考答案：略17.（4分）若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是．参考答案：[9，+∞）【考点】：基本不等式在最值问题中的应用．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：先根据基本不等式可知a+b≥2，代入题设等式中得关于不等式方程，进而求得的范围，则ab的最大值可得．解：∵a+b≥2，ab=a+b+3，∴ab﹣2﹣3≥0∴≥3或≤﹣1（空集）∴ab≥9故答案为：[9，+∞）【点评】：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生对基本不等式的整体把握和灵活运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知抛物线及两点和，其中.过，分别作轴的垂线，交抛物线于，两点，直线与轴交于点，此时就称，确定了.依此类推，可由，确定，.记，.给出下列三个结论：①数列是递减数列；②对，；③若，，则.其中，所有正确结论的序号是_____．参考答案：①②③.因为三点共线，设三点坐标为则有，整理得，即，所以，所以数列是递减数列，①正确，又，所以对，，②正确，若，，则，，，所以，所以③正确，综上①②③都正确。三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.19.已知A,B,C,D四个城市,它们各自有一个著名的旅游点,依次记为a,b,c,d,把A,B,C,D和a,b,c,d分别写成左、右两列.现在一名旅游爱好者随机用4条线把城市与旅游点全部连接起来,构成“一一对应”.规定某城市与自身的旅游点相连称为“连对”,否则称为“连错”,连对一条得2分,连错一条得0分.(Ⅰ)求该旅游爱好者得2分的概率.(Ⅱ)求所得分数的分布列和数学期望.参考答案：略20.已知函数，，函数在上为增函数，且．⑴求的取值范围；⑵若在上为单调函数，求的取值范围；⑶若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围。参考答案：解：（1）由题意，在上恒成立，即

．故在上恒成立，

………2分

只须，即，得．故的取值范围是

………3分（2）由（1），得在上为单调函数，或者在恒成立．

等价于即而．

…………………5分等价于即在恒成立，而．综上，的取值范围是．

………7分（3）构造函数当时，，，所以在上不存在一个，使得成立．

…………9分

当时，

因为所以，，所以在恒成立．故在上单调递增，，只要，解得故的取值范围是

……………13分略21.（本小题满分12分）某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1:200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：分数段（分）[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150)总计频数

b

频率a0.25

（1）求表中a，b的值及分数在[90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在[90,150）内为及格）：（2）从成绩在[100,130)范围内的学生中随机选4人，设其中成绩在[100,110)内的人数为X，求X的分布列及数学期望.参考答案：（1），，[90,100)范围内的学生人数为4，及格率为；（2）分布列详见解析，.（2）由茎叶图可知分数在[100,130)范