一次函数与方程、不等式

一次函数与一元一次方程自主探究1(1)解方程2x+20=0

(2)当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？

解：(1)2x+20=0

(2)当y=0时，即从“函数值”角度看两个问题实际上是同一个问题．序号一元一次方程问题一次函数问题1解方程3x-2=0

当x为何值时，

y=3x-2的值为0?2解方程8x-3=03

当x为何值时，

y=-7x+2的值为0?4解方程8x-3=2举一反三当x为何值时，___________的值为0?解方程-7x+2=08x-5=0y=8x-3当x为何值时，___________的值为0?y=8x-5下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这个方程进行解释吗？(1)2x+1=3(2)2x+1=0(3)2x+1=-1共同点：方程的左边相同不同点：方程的右边不同从函数的角度看：解这3个方程相当于在一次函数y=2x+1的函数值分别为3,0，-1时，求自变量x的值。从图象的角度看：在直线y=2x+1上取纵坐标分别为3,0，-1的点，看它们的横坐标分别为多少自主探究2（3）画出函数y=2x+20的图象，并确定它与x轴的交点坐标.0xy20－10y=2x+20（思考：直线y=2x+20与x轴交点坐标为（____,_____），这说明方程2χ＋20＝0的解是x=_____）从“函数图像”上看-100

从“函数值”看，“解方程ax+b=0(a，b为常数，a≠0)”与“求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0”有什么关系？从图象上看呢？归纳总结求一元一次方程ax+b=0(a，b是常数，a≠0)的解，从“函数值”看就是x为何值时函数y=ax+b的值为0．求一元一次方程ax+b=0(a,b是常数，a≠0)的解，从“函数图象”看就是求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标．求ax+b=0(a，b是常数，a≠0)的解．

归纳一次函数与一元一次方程的关系

x为何值时

函数y=ax+b的值为0．

从“函数值”看求ax+b=0(a,b是常数，a≠0)的解．

求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标．

从“函数图象”看1.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则方程kx+b=0的解为(

)A.x=2 B.y=2C.x=-1 D.y=-12．根据图象你能直接说出一元一次方程kx+b=0的解吗？

解：由图象可知kx+b=0的解为x=−3．

−3y=kx+bOxy3、x已知关于x的方程ax-5=0的解为x=1,则一次函数y=ax-5的图象与轴交点的坐标为

.[来源:学

C(1，0)5、已知方程ax+b=0的解是-2，下列图像肯定不是直线y=ax+b的是（）ABCDB4、已知直线y=kx+4经过点(1,7),则方程y-kx=7的解为x=

,k=

.134.已知一次函数y=2x+1，根据它的图象回答x取什么值时，函数的值为1？为0？为－3？解：由图像可知（1）当x=0时，函数值为1（2）当x=-0.5时，函数值为0（3）当x=-2时，函数值为-3-3-21-10你认为利用图象怎样求方程2x+1=－3的解？你有几种方法？5.画出函数y=-x+2的图象，利用图象回答问题：（1）求当x=-1时，y的值；（2）求当y=-1，对应的x值；（3）求方程-x+2=0的解；（4）求方程-x+2=3的解一次函数与一元一次不等式练一练：如图:当x——————一次函数y=x-2的值为0，新课导入当x=2是一元一次方程———————的解.=2x-2=032x-2y0Y=x-24当x=3时，函数y=x-2的值是-------1。当x=4，函数y=x-2的值是--------。2思考：当x为何值

时，函数Y=x-2对应的值大于0？探究：解：(1)2x-4>0，解得x>2。⑵就是要解不等式2x-4>0，解得x>2。当x>2时，函数y=2x-4的值大于0。(1)解不等式：2x+4>0。(2)当x为何值时，函数y=2x-4的值大于0？议一议：在上面的问题解决过程中，你能发现它们之间有什么关系吗？从数的角度看它们是同一个问题2.我们如何用函数图象来解决2x-4>0。解：解2x-4>0。画出直线y=2x-4的图象。-42yx0Y=2x-4可以看出，当x＞2时，这条直线上的点在x轴的上方，即这时y=2x-4>0。从形的角度看它们是同一个问题作直线ｙ＝ｘ＋３ｘｙ００３－３ｙ＝ｘ＋３观察图象：ｘ＿＿时，x+3＞３ｘ＿＿时，x+3＜３ｘ＿＿时，x+3＝３＝０＞０＜０从函数的角度求不等式x+3>3、x+3<3？作直线ｙ＝ｘ＋３ｘｙ００３－３ｙ＝ｘ＋３观察图象：ｘ＿＿时，ｘ＋３＞２ｘ＿＿时，ｘ＋３＜２ｘ＿＿时，ｘ＋３＝２＝－１＞－１＜－１作直线y=２

从函数的角度求不等式x+3>2、x+3<2？1、已知一次函数y=kx+b的图象如图3所示，由图象可知，方程kx+b=0的解为

，不等式kx+b＞0的解集为——．

2、如图4所示，直线y=kx+b与x轴交于点（-4，0），则y＞0时，x的取值范围是（）A．x＞-4 B．X＞0C．x＜-4

D．x＜03、已知一次函数y=kx+b的图象如图5所示，当x＜0时，y的取值范围是（）A．y＞0B．y＜0C．-2＜y＜0D．y＜-2DX<-1AX=-1已知一次函数y=２x－２,根据它的图象回答下列问题.(1)x取什么值时,函数值y为4?(2)x取什么值是,函数值y大于4?(3)x取什么值时,函数值y小于4?及直线y=４

（如图）y=２x－２y=４从图中可知：用函数观点看不等式一次函数与一元一次不等式解：作出函数y=２x－２的图象（1）当x=３时，函数值y为４。（2）当x>３时，函数值y＞４。（3）当x<３时，函数值y＜４。例题:用画函数图象的方法

解不等式5x+4＜2x+10解法1:原不等式化为:3x-6<0,画出直线y=3x-6

(如图)即这时y=3x-6

<0用函数观点看不等式一次函数与一元一次不等式所以不等式的解集为:x<2x<2解法二：画出函数y1=2x+10和y2=5x+4图象从图中看出：即直线y=5x+4在y=2x+10的___方

不等式5x+4<2x+10∴不等式5x+4<2x+10的解集是x<2x<2用函数观点看不等式一次函数与一元一次不等式思路：不等式5x+4＜2x+10可以看成是两个函数值y1、y2之间的大小比较，具体在图象上是两条直线间的位置关系。下y1y2当y1=y2时，x___观察图象得出结论当y1>y2时，x___当y1<y2时，x___看两直线的交点y1在y2的上方y1在y2的下方>1<1=1y1y2<1>11、如图,已知直线y1=x+m与y2=kx-1相交于点P(-1,1),则关于x的不等式x+m>kx-1的解集在数轴上表示正确的是(

)2、如图,经过点B(-2,0)的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A(-1,-2),则不等式4x+2<kx+b的解集为

.BX<-1x<-2X>-2X>-2如图，已知函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式3x＋b＞ax－3的解集是_______________。O22-2-2xyy＝3x＋by＝ax－3X>-2一次函数与二元一次方程组你知道y=2x-1是什么？ax+by+c=0(a≠

0,b≠0)二元一次方程的一般式:一次函数的解析式:y=kx+b(k≠0)转化过(0,

),(

,0)点的直线。b直线一次函数二元一次方程直线图像是

.知识园用图象法解方程组:把方程组化为:即：两直线无交点∴方程组无解在直角坐标系中画出这两条直线的图像由图得，两直线平行探究园巩固练习:用图象法解:解:原方程组可转化为两个函数:两个函数图象的交点就是原方程组的解.yx01-22所以原方程组的解是如图:两函数图象的交点是(3,0)图象法解方程组：解得：(2,1)对应关系:二元一次方程组解两个一次函数图象交点坐标图象法解方程组的步骤:(1)转化(2)画图(3)找交点画出两个函数图象交点坐标为（2，1）即x=2,ｙ＝１即:yx0112bxyk的解是bxky2211îíì+=+=方程组即：方程组的解两条直线的交点归纳直线y1=k1x1+b1和直线y2=k2x2+b2的交点（m,n)一、二元一次方程的解与相应的一次函数图象上点对应。二、因为函数和方程有以上关系，所以我们就可以用图象法解决方程问题，也可以用方程的方法解决图象问题。三、用图象法解二元一次方程组的一般步骤:1.把两个方程都化成函数表达式的形式。2.画出两个函数的图象。3.找出交点坐标，交点坐标即为方程组的解。1.

如图，已知函数和的图象交于点P,则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是

.2、已知关系x，y的二元一次方程3ax+2by=0和5ax-3by=19化成的两个一次函数的图像的交点坐标为(1，-1)，则a=_______，b=________．图中两直线L1，L2的交点坐标可以看作方程组()的解．B.C．

A

B

C

D已知

是方程组的解，那么一次函数y=3-x和y=+1的交点是________．B1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升。与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升。两个气球都上升了1h。（1）用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y关于上升时间x的函数关系（2）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？解：（1）对于1号气球，y关于x的函数解析式为：y=x+5对于2号气球，y关于x的函数解析式为：y=0.5x+15自变量x的取值范围是0《x《60（2）由图可知，气球能位于同一高度。两条直线的交点坐标为（20,25），说明当气球上升20分钟时，两个气球都位于海拔25米的高度。25200xyy=x+5y=0.5x+15如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b).(1)求b的值.(2)不解关于x,y的方程组请你直接写出它的解.(3)直线l3:y=nx+m是否也经过点P?请说明理由.你一定能行的！随堂练习1234x2341-1y0-1l1l21.右图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组的解做一做思考题：2.已知方程组，所对应的一次函数的图象表示如图，试求出a-b的值。01/2-1XY

小明和小慧在长为50m的游泳池内练习游泳,小明每分游50m,小慧每分游20m,他们同时从一边出发游向对面,并且到达对面后立即转身返回(转身时间不计)。问：小慧游完一个来回与小明在途中共相遇几次?小明小慧由图象得小慧与小明在途中共相遇4次实践题2.5“数形结合”思想o1234550y(m)x(分)探究园

小东从A地出发以某一速度向B地前进，同时小明从B地出发以另一速度向A地前进(见下图)，图中的线段y1,y2分别表示小东、小明离B地的距离(km)与所用时间(h)的关系.(1)试用文字说明：交点P所表示的实际意义.(2)试求出A,B两地之间的距离.(小东)解：（1）小东和小明出发2.5小时相遇，并且离B地7.5千米解：（2）设直线y1=kx+b(k≠0）∵过（2.5，7.5），（4，0）∴7.5=2.5k+b0=4k+b∴k=－5b=20∴y1=－5x+20当x=0时，y1=20∴A，B两地的距离为20千米综合题(小明)探究园基础练习，提高能力（4，0）x>4x<4x>64<x<6y=2y=-1议一议：

A、B两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.1时后乙距A地120千米,2时后甲距A地40千米.问：经过多长时间两人相遇?议一议：

A、B两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.1时后乙距A地120千米,2时后甲距A地40千米.问：经过多长时间两人相遇?

直线型图表示B乙甲A120千米2时,40千米1时A、B两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.1时后乙距A地120千米,2时后甲距A地40千米.问经过多长时间两人相遇?用图象法解行程问题04123l1l2ts14012010080604020150图象表示(A)(B)

可以分别作出两人

s

与t之间的关系图象，找出交点的横坐标就行了！

你明白他的想法吗？用他的方法做一做，看看和你的结果一致吗？

小明的方法求出的结果准确吗？123A、B两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地同时相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.1时后乙距A地120千米,2时后甲距A地40千米.问经过多长时间两人相遇?用方程解行程问题小彬1时后乙距A地

120千米,即乙的速度是30千米/时,2时后甲距A地40千米,故甲的速度是20千米/时,由此可求出甲、乙两人的速度,以及……

你明白他的想法吗？用他的方法做一做，看看和你的结果一致吗？t=3A、B两地相距150千米，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.1时后乙距A地120千米,2时后甲距A地40千米.问经过多长时间两人相遇?求出s与t之间的关系式，联立解方程组

你明白他的想法吗？用他的方法做一做，看看和你的结果一致吗？

对于乙，s是t

的一次函数，可设s=kt+b。当t=0时，s=150；当t=1时，s=120。将它们分别代入s=kt+b中，可以求出k、b的值，也即可以求出乙s与t之间的函数表达式。同样可求出甲s与t之间的函数表达式。再联立这两个表达式，求解方程组就行了。小颖提示消去s用一元一次方程的方法可以解决问题用图象法可以解决问题用方程组的方法可以解决问题小明小彬小颖

用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法。在以上的解题过程中你受到什么启发？思考题：1.某区中学生足球赛共赛8轮（即每队均需参赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。在这次足球联赛中，猛虎队踢平的场数是所负场数的2倍，共得17分，试问该队胜了几场？（要求用图象法求解）解：设：胜x场，负y场，则平2y场。根据题意得：03518/3422xy17/23x+2y=17x+3y=8变形后得到两个函数：思考题2.如图，L1和L2分别表示甲走路和乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，观察图象，回答下列问题：（1）途中乙发生了什么事，（2）他们是相遇还是追击；（3）他们几时相遇。0ts108120.511.2ABDEPL1L21、根据下列图像，你能说出哪些一元一次方程的解？并直接写出相应方程的解？5x=0的解其解为X=0X+2=0的解其解为X=-23x+6=0的解其解为X=2X-1=0的解其解为X=1求ax+b=0（a≠0）的解x为何值时，y=ax+b的值为0？确定直线y=ax+b与x轴的横坐标

从形的角度看：

从数的角度看:

求ax+b=0（a≠0）的解例题例1一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？（要求用两种方法解题）

解法1：设再过x秒物体的速度为17米/秒．列方程

2x+5=17．解得x=6．解法2：速度y(单位：m/s)是时间x(

单位：s)的函数

y=2x+5．

0xy6-12y=2x－12(6,0)由图看出直线y=2x−12与x轴的交点为（6，0