布洛卡点及其性质

布洛卡点及其性质三角形有很多奇特的点，其中布洛卡点充分体现了代数与几何的联系。克里尔于1816年首先发现，但当时未引起人们的注意。法国人布洛卡1875年重新发现并获得重视，19世纪末和20世纪初，人们对布洛卡的研究盛极一时。布洛卡点的定义：如图1，设P为△ABC内一点，若则称P为△ABC的布洛卡点，其中∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，θ为△ABC的布洛卡角。布洛卡点的性质：性质1：cotθ=cotA+cotB+cotC。证明1：设AP=x，BP=y，CP=z，则cotA=sinA/2bc/sinA，cotB=sinB/2ac/sinB，cotC=sinC/2ab/sinC。易得cotA+cotB+cotC=（a2+b2+c2）/4S，其中S为△ABC的面积。在△PAB、△PBC、△PCA中，分别有cotθ=sinθ/2cx/sinθ，cotθ=sinθ/2ay/sinθ，cotθ=sinθ/2bz/sinθ。所以cotθ=(a2+b2+c2)/(4S)。证明2：如图，作△ABC的高CH，作CG⊥BP与点G，则∠CPG=θ+∠PCB=∠C，故cotθ-cotC=BG/CG，cotA+cotB=AH/BH，cotθ-cotC=AH/BH-BG/CG，即cotθ=cotA+cotB+cotC。性质2：在锐角△ABC中，θ≤30°，当θ=30°时，△ABC为正三角形。证明：由布洛卡点性质1可知cotθ=(a2+b2+c2)/(4S)。由外森匹克不等式a+b+c≥4√3S，可得a2+b2+c2≥4√3S，所以cotθ≤1/√3。当θ=30°时，cotθ=1/√3，所以a=b=c，△ABC为正三角形。Cotθ≥3，当且仅当a=b=c时，外森匹克不等式取得等号，即△ABC为正三角形。外森匹克不等式的证明如下：S=√p(p-a)(p-b)(p-c)=1/33(4p(3p-3a)(3p-3b)(3p-3c))^2≤21(p+3p-3a+3p-3b+3p-3c)^11/2222，即a+b+c≥43√p(p-a)(p-b)(p-c)，当且仅当a=b=c时，取等号。布洛卡点性质3：当θ=π/2-∠A/2时，△ABC三边a，b，c满足a^2=bc；当θ=π/2-∠B/2时，b^2=ac；当θ=π/2-∠C/2时，c^2=ab。证明如下：由cotθ=cotA+cotB+cotC及θ=π/2-∠A/2，cotB+cotC=cosB+cosC=sinA(cotA-cot(π/2-∠A/2))=AsinA/2sinBsinC/cosA/2，所以1/sinA=√(sinBsinC/sin^2A)，即sin^2A=sinBsinC，因此a^2=bc。性质3曾在2011年北大保送生考试数学试题中出现。拓展：如图，在△ABC中，有APsin(α+θ)sinB=PCsin(γ+θ)sinA，BPsin(β+θ)sinC=PCsin(γ+θ)sinB，CPsin(γ+θ)sinA=APsin(α+θ)sinC。证明如下：由正项定理，得APsin(α+θ)sinB/PCsin(γ+θ)sinA=ABsin(α+θ)/BCsinγ=ACsin(β+θ)/BCsinγ=BPsin(β+θ)sinC/PCsin(γ+θ)sinB，同理可得APsin(α+θ)sinC/PCsin(γ+θ)sinA=CPsin(γ+θ)sinA/APsin(α+θ)sinC=BPsin(β+θ)sinC/PCsin(γ+θ)sinB，故sinαsinBsinC/sin^3θ=sin^3A/2sin^3Bsin^3C/sin^3θ=sin^3C/2sin^3Asin^3B/sin^3θ，即sin^3A/2sin^3Bsin^3C=sin^3C/2sin^3Asin^3B，因此sin^3A/sinA=√(sinBsinC/sin^2A)√(sinAsinC/sin^2B)√