行程问题-环形路(教师版)

一问数学让每个学生接受最优质的课外教育一问教育4-行程问题——环形路（教师版）一、【本讲知识点】在环行道路上的行程问题本质上讲是追及问题或相遇问题。当二人（或物）同向运动就是追及问题，追及距离是二人初始距离及环形道路之长的倍数之和；当二人（或物）反向运动时就是相遇问题，相遇距离是二人从出发到相遇所行路程和。二、【本讲经典例题】【铺垫】如下图，两名运动员在沿湖周长为2250米的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发，多少分钟后甲第1次追上乙？若两人同时同地反向出发，多少分钟后甲、乙第1次相遇？分析与解答：2250÷（250-200）=2250÷50=45（分钟），即45分钟后甲第1次追上乙；2250÷（250+200）=2250÷450=5（分钟），即5分钟后甲、乙第1次相遇.【例1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙。如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？（2）分析与解答：根据图（1）用追及问题公式求出环形跑道的长，因从同一点出发，距离差=跑道长。（250-200）×45=2250（米）。同理，在环形跑道上，若反向而行，从同一点出发两人相遇所经过的路程和=跑道长。如图（2），2250÷（250+200）=5（分钟）即经过5分钟两人相遇。【随堂练习1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同向出发，54分钟后甲追上乙。如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？分析与解答：具体分析见例题。环形跑道周长：（250-200）×54=2700（米），两人相遇时间：2700÷（250+200）=2700÷450=6（分钟），即经过6分钟后两人相遇。【拓展】甲、乙两运动员在周长为400米环形跑道上同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟80米，甲的平均速度是乙的1.25倍，甲在乙前面100米处。问几分钟后，甲第一次追上乙？分析与解答：具体分析过程略。15分钟。【铺垫】下图是一个圆形中央花园，A、B是直径的两端，小军在A点，小勇在B点，同时出发相向而行。他俩第1次相遇时，小军走了50米，当他们第2次相遇时，小军走了多少米？分析与解答：第1次相遇，俩人合起来走了半周长，从1次相遇开始到第2次相遇两人共走了一周长，两次共走了一周半。所以，小军从开始到第2次相遇走了50米的3倍，即走了50×3=150（米）。【例2】如下图，是一个圆形中央花园，A、B是直径的两端，小军在A点，小勇在B点，同时出发相向而行。他俩第1次在C点相遇，C点离A点有50米；第二次在D点相遇，D离B有30米。问这个花园一周长多少米？分析与解答：第1次相遇，俩人合起来走了半周长，从C点开始第2次在D点相遇两人共走了一周长，两次共走了一周半。小军从A→C→D走了50米的3倍，即走了50×3=150（米）。去掉BD之间的距离，就是半个圆周的长，所以一周的长度为（150-30）×2=240（米）。【随堂练习2】如下图，A、B是圆直径的两端点，亮亮在点A，明明在点B，相向而行。他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B点80米。求圆的周长。分析与解答：具体分析过程见例题。440米。【拓展】如下图，在一圆形跑道上。小明从A点，小强从B点同时出发，相向行走。6分钟后，小明与小强相遇，再过4分钟，小明到达B点，又再过8分钟，小明与小强再次相遇。问：小明环行一周要多长时间？分析与解答：这是一个相遇问题，因为两人6分钟相遇，且再过4分钟小明到达B点，所以，小明走4分钟的路程相当于小强走6分钟的路程。从第一次相遇到再相遇小明走了4+8=12分钟，当然小强也走了12分钟，但他走的路程只相当于小明【随堂练习5】有一条沿湖的环行跑道长1120米。甲、乙两人同时从跑道上某一点出发，如果同向而跑，25分钟相遇；如果两人反向而跑则2分钟后相遇。又已知乙比甲跑得快。问甲、乙每分钟各跑多少米？分析与解答：甲、乙两人的速度差1120÷28=40米/分，甲、乙两人的速度和1120÷2=560米所以，甲的速度：（560-40）÷2=260米/分；乙的速度：（560+40）÷2=300【拓展】一个圆的周长90厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点同时爬行，若反向而爬，10分钟后相遇；若同向而爬，90分钟后相遇。又已知甲爬虫比乙爬虫爬得快。问甲、乙两爬虫每秒钟各爬多少米？分析与解答：具体分析过程见例题。甲爬虫5厘米/秒，乙爬虫4厘米/秒。【铺垫】小明从A点出发，沿400米环行跑道行走，每分钟走80米，问小明第二次出现在A点时用多少分钟？（不算起始时在A点）分析与解答：小明第一次出现在A点用时间：400÷80=5（分钟），所以第二次出现在A点用时间：5×2=10（分钟），【例6】甲、乙两人同时从A点反向出发，沿400米环行跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，这两人至少用多少分钟再在A点相遇？分析与解答：甲第一次出现在A点用时间400÷80=5（分钟），以后每隔5分钟就会出现在A点一次；乙第一次出现在A点用时间400÷50=8（分钟），以后每隔8分钟就会出现在A点一次。如下表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次第八次甲出现在A点时间（分）5101522025303540乙出现在A点时间（分）81624340485664由上表可知，当40分钟时，甲、乙同时第一次出现在A点。注：此题也可用最小公倍数的知识解答。【随堂练习6】有一条长480米的环行跑道，甲、乙两人同时从跑道上的A点同向出发行走，甲每分钟走60米，乙每分钟走80米。这两人至少用多少分钟再在A点相遇？分析与解答：具体分析过程见例题。甲回到A点用的时间：480÷60=8（分钟）；乙回到A点用的时间：480÷80=6（分钟）。8和6的最小公倍数是24.故，这两个人至少24分钟用再在A点相遇。【拓展】有甲、乙、丙三个人，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米，丙每分钟走70米。如果三个人同时同向从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟后，三个人又可以相聚？分析与解答：设X分钟后，三人又可以相聚。由题意知，甲、乙相聚时，他们行走的路程差恰好是300米的整数倍，即（120－100）×X=300n（n是正整数）类似的有（120－70）×X=300m（m是正整数）（100－70）×X=300p（p是正整数）解得，X=15n；，X=6m；，X=10p；要想三人再次相聚，X必是15、6、10的公倍数，取他们的最小公倍数〔15、10、6〕=30即，30分钟后三人再次相聚。【铺垫】小红在400米长的环行跑道上跑了一圈，已知她前一半时间每秒跑4米，后一半时间每秒跑6米分析与解答：小红跑一圈所用时间的一半是400÷（4+6）=40（秒），所以小红跑一圈需要40×2=80（秒）。【例7】小明在360米长的环行跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4分析与解答：小明前一半时间：360÷（5+4）=40（秒），小明前一半时间跑的路程：5×40=200（米），小明后一半时间跑的路程：4×40=160（米）。所以小明后一半路程的180米（360÷2=180）中，前20米（180-160=20）的速度是5米/秒，剩余的160米路程的速度是4米/秒。故小明后一半路程用的时间为20÷5+160÷4=4+40=44（秒）。【随堂练习7】一条环行跑道长30千米，一辆汽车沿着该跑道跑了一圈。已知该汽车前一半时间每分钟跑2千米；后一半时间每分钟跑1千米分析与解答：该汽车前一半时间30÷（2+1）=10（分钟），该汽车前一半时间跑的路程2×10=20（千米），该汽车后一半时间跑的路程1×10=10（千米），所以，该汽车前一半路程15千米（30÷2=15）所用的速度都是2千米/分。故，该汽车前一半路程用的时间为15÷2=7.5（分）。【拓展】绕湖一周30千米，小刘绕湖走了一周，已知他前一半的时间的速度是4千米/小时，后一半的时间的速度是6千米/分析与解答：具体分析见例题。3.5小时。【铺垫】在周长为200米的圆形跑道上一条直径的两端，甲、乙两人分别以6米/秒、5米/秒的速度同时同向出发，沿跑道行进。问：6分钟内，甲能否追上乙两次？分析与解答：甲第一次追乙时相距：200÷2=100（米）。故，甲第一次追上乙用的时间：100÷（6-5）=100（秒）；甲第二次追乙时相距：200米。故，甲第二次追上乙用的时间：200÷（6-5）=200（秒）。200+100=300秒=5分钟﹤6分钟。所以，6分钟内，甲能追上乙两次。【例8】在周长为200米的圆形跑道一条直径的两端，甲、乙两人分别以6米/秒，5米/秒的速度同时同向出发，沿跑道行驶。问：16分钟内，甲追上乙多少次？分析与解答：由“铺垫”知，甲第1次追上乙所用的时间是100秒。甲第二次追上乙所用的时间200÷（6-5）=200秒，且以后每隔200秒追上一次。又，16分钟=960秒，除去甲第1次追上乙用去100秒，剩余的时间内甲又追上乙4次[（960-100）÷200=860÷200=4…60]。故，16分钟内，甲追上乙5次。【随堂练习8】在周长400米的圆形跑道一条直径的两端，李明与王军分别以4米/秒，5米/秒的速度同时同向出发前行。问20分钟内，两人相遇多少次？分析与解答：第1次相遇用的时间：400÷2÷（5-4）=200秒；第2次相遇用的时间：400÷（5-4）=400秒，且以后每隔400秒相遇一次。又，20分钟=1200秒，（1200-200）÷400=2…200秒。故，20分钟内两人相遇了2+1=3次。【拓展】在400米环行跑道上，A、B两点相距100米。甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米。问30分析与解答：甲第一次追上乙用的时间：100÷（5-4）=100（秒）甲第二次追上乙用的时间：400÷（5-4）=400（秒），又，30分钟=1800秒，（1800-100）÷400=1700÷400=4（次）…100秒。故，30分钟内，甲追上乙4+1=5（次）。三、【本讲巩固练习】1、甲、乙两人在一个环行跑道上散步。甲每分钟走20米，乙每分钟走25米。两人同时同地同向出发，90分钟后乙追上甲。假设两人同时同地反向走，经过多少分钟后两人相遇？分析与解答：具体分析过程见例1。环行跑道周长：（25-20）×90=450（米），甲、乙两人的相距时间：450÷（20+25）=450÷45=10（分钟）。2、如下图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C点离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点60米，求这个圆的周长。分析与解答：A点到D点的距离是80×3=240（米），B点到D点是60米，A点到B点（半周长）是240-60=180（米），圆的周长是180×2=360（米）