勾股定理 市赛获奖

17.1勾股定理123

相传两千多年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？看一看ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图2-1图2-2（1）观察图2-1正方形A中含有

个小方格，即它的面积是

个单位面积。正方形B的面积是

个单位面积。正方形C的面积是

个单位面积。

99918你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流交流。ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1-1图1-2分割成若干个直角边为整数的三角形（单位面积）ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1-1图1-2（单位面积）把C看成边长为6的正方形面积的一半

ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图2-1图2-2（2）在图2-2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？（3）你能发现两图中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？

SA+SB=SC等腰直角三角形三边有什么关系？a²+b²=c²PQCR如图，每个小方格的边长也均为1.你能求出正方形R的面积吗？(1)用了“补”的方法PQCR用了“割”的方法Q

等腰三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？PQRacbSP+SQ=SR

观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想:两直角边a、b与斜边c之间的关系？a2+b2=c216925acbSP+SQ=SR

观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想两直角边a、b与斜边c之间的关系？a2+b2=c2┏a2+b2=c2acb命题1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.我们如何证明这个命题？下面我们用拼图法来证明这个猜想：用4个两直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形和一个边长为c的正方形拼成一个边长为a+b的大正方形如下图:ababababccccCCCC证法一：aaaabbbbcccc又∵S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4ab+c2

=c2+2ab整理得：a2+b2=c2∴a2+b2+2ab＝c2+2ab∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab用赵爽弦图证明证法二：abc∴a2+b2=c2aabbcc证法三、美国第20任总统伽菲尔德证法：

∵

s梯形=(a+b)(a+b)=(a2+2ab+b2)

s梯形=2×ab+c2=ab+c2∴a2+ab+b2=ab+c2

∴a2+b2=c2=a2+ab+b2证法四：毕达哥拉斯证法:abcaabbcＳ大正方形=4×ab+a2+b2=2ab+a2+b2Ｓ大正方形=4×ab+c2=2ab+c2∵Ｓ大正方形=Ｓ大正方形∴2ab+a2+b2=2ab+c2∴a2+b2=c2┏a2+b2=c2acb

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股弦

勾股定理：我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦结论变形：c2

=

a2

+

b2abcABCa2

=

c2－b2b2

=

c2－a2勾股世界毕达哥拉斯(公元前572----前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。

两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。

在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”．所以古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．因此就把这一定理称为勾股定理.勾股勾股弦

我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。★《周髀算经》中还记载了公元前六、七世纪的荣方与陈子的对话，再次提到勾股理。——陈子定理★古巴比仑人在公元前19世纪也发现此定理。具调查在公元前1900年的一块巴比伦上午泥板中，记载了15组勾股数。所以古巴比伦人才是勾股定理最先的发现人。★定理从提出到现在的两千多年中，已经找到证明400多种，由鲁密斯搜集整理的《毕达哥拉斯》一书中就给出370种不同证法。★勾股定理又称商高定理、毕达哥拉斯定理百牛定理、驴桥定理、埃及三角形定理

学以致用：1.求图中字母所代表的正方形的面积。2480ABB400625∟81144A2252255680结论:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S7=10S5=s1+s2=4S6=s3+s4=62、3、求出下列直角三角形中未知的边．610ACB8A15CB30°2245°①在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？②直角三角形哪条边最长？8171两个条件斜边方法小结:可用勾股定理建立方程.4、在△ABC中,∠C=90°，a=6,b=8,则c=＿＿6、在一个直角三角形中,两边长分别为6、8,则第三边的长为________1010或5、一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为_____。107、在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=_______；④若a∶b=3∶4，c=10则a=________,b=________。13201168补充：如图,分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆,这三个半圆的面积之间有什么关系?为什么?S1=

（

c）²S2=

（

b）²S3=

（

a）²∵a²+b²=c²∴S1=S2+S3cbaS1S2S3说说这节课你有什么收获？收获与反思想一想我们这一节课有哪些收获？1.必做题：习题18.1第1,7题。2.选做题：课本“阅读与思考”，了解勾股定理的多种证法。布置作业：谢谢！这棵树漂亮吗？如果在树上挂上几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不是更像一棵圣诞树．也许有人会问：“它与勾股定理有什么关系吗？”仔细看看，你会发现，奥妙在树干和树枝上，整棵树都是由下方的这个基本图形组成的：一个直角三角形以及分别以它的每边为一边向外所作的正方形．这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理．刘徽在《九章算术》中对勾股定理的证明：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开方除之，即弦也．令正方形ABCD为朱方，正方形BEFG为青方．在BG间取一点H，使AH=BG，裁下△ADH，移至△CDI，裁下△HGF，移至△IEF，是为“出入相补，各从其