数值天气预报第三章-review课件

第三章

数值计算方案第三章数值计算方案1数值天气预报的主要内容数值天气预报的主要内容2

目录3.1差分方法概论3.2时间积分方案3.3空间差分格式与大气中有关物理过程3.4平流方程的差分格式及误差分析3.5非线性方程的计算稳定性目录3.1差分方法概论3.2时间积分方案3.3空间3

目录3.1差分方法概论3.2时间积分方案3.3空间差分格式与大气中有关物理过程3.4平流方程的差分格式及误差分析3.5非线性方程的计算稳定性（1）离散化方法的简介（2）有限差分离散化方法（3）差分方程的构成（4）差分近似的相容性（5）差分近似的精确性（6）差分近似的收敛性（7）差分近似的稳定性目录3.1差分方法概论3.2时间积分方案3.3空间4

通常的大气数值模式的控制方程组是一组复杂的非线性偏微分方程组，不可能找到一个普遍的解析求解方法，只能采用数值方法求离散方程的近似解。通常的大气数值模式的控制方程组是一组复杂的非线性偏微分方5离散的方法一般分为两类：

（1）有限差分法、有限元法以及特征线法等（2）各种解析与离散相结合的方法，如谱方法、变分法以及应用FFT方法

数值天气预报第三章-reviewppt课件6常用的数值方法有：

（1）差分方法：采用差商代替微商，使得偏微分方程组变成差分方程组，可以用代数方法求解；

（2）谱方法：利用适当的基函数（如球谐函数），把解展开成有限项的线性组合，将一个变量预测的问题转化为预报展开系数的问题；

（3）有限元方法：把偏微分方程问题变成相应的泛函极小问题，以变分原理为基础，又吸收差分方法的思想而发展起来的新方法。

常用的数值方法有：7谱方法－－－－大气谱模式

这种方法通常来形成全球或者半球区域的数值模式

（a)

为球面函数

为归一化的缔合Legendre多项式

数值天气预报第三章-reviewppt课件8谱方法－－－－大气谱模式利用(a)的展开方法把所有的预报变量在球面上展开，带入大气的基本运动方程组，对谱系数进行预报，然后通过逆变换得到预报场。这种方法的计算量很大。

由于边界比较难于处理，因此很少用来做区域的数值天气预报和模拟。用有限项谱展开表示连续函数

线性微分运算可针对基函数直接进行

非线性项采取变换方法（谱模式得以实现的关键）精度表示：截取的展开项数截断方式：菱形截断——构造简单

三角截断——各向同性（经纬向相同分辨率）利用(a)的展开方法把所有的预报变量在球面上展开，带入大气的9谱方法－－－－大气谱模式精度表示：截取的展开项数截断方式：菱形截断——构造简单

三角截断——各向同性（经纬向相同分辨率）精度表示：截取的展开项数10谱方法谱方法11有限差分法－－大气格点模式差分方法：就是在离散的网格点上求出微分方程近似解的方法。差商代替微商降低微分的阶数将微分方程变成代数方程有误差哦~差分方法：就是在离散的网格点上求出微分方程近似解的方法。差商12微分方程差分方程连续离散无限有限微分方程差分方程连续离散无限有限13一、有限差分离散化解域的离散化与差分方程的建立在大气运动中，平流过程是很重要的，表征其特征的一位线性平流方程为式子中u是两个自变量的函数u(x,t)，c为常数。采用有限差分格式求解时，首先要对计算域进行有规则的划分，分割的交点叫做网格点，网格点距离△x叫格距。如果给定边界条件及初始时刻气象要素值，就可以计算出在这些格点上以后任一时刻的u(x,t)值。一、有限差分离散化14

离散化的网格（网格覆盖）：

正方形，正三角形，正六边形，多边形等

三角形精度较好但算法比较复杂，正六边形的精度与正方形的大体相当，算法比正方形的复杂。因此，通常使用正方形的网格。离散化的网格（网格覆盖）：15（2）矩形网格的建立记得不要随意取值哦~（2）矩形网格的建立记得不要随意取值哦~16（2）网格的建立设计算区域为二维矩形区域，将它划分为网格：这样可以用网格点标号(n,m,k)来表示时空域(x,y,t)中点的位置。（2）网格的建立设计算区域为二维矩形区域，将它划分为网格：这172.微分方程的离散化及其误差分析用网格点标号(n,m,k)来表示时空域(x,y,t)中点的位置。由于气象场具有很好的光滑性，因此可以函数f在x点展开为泰勒级数的形式。以一元函数f(x)为例有：方法：泰勒展开法、直接逼近法、待定系数法、分裂差分法常用的泰勒展开法：2.微分方程的离散化及其误差分析用网格点标号(n,m,k)182.微分方程的离散化及其误差分析其中O（Δx）表示余项。引入格点标号，则可以写成：前差格式后差格式中央差分格式四阶精度差分格式这种四阶精度的差分格式利用到了n周围四个网格点的函数值，增加了计算量，同时也增加了边界条件的处理，因此经常采用的是中央差分格式。2.微分方程的离散化及其误差分析其中O（Δx）表示余项。引入192.微分方程的离散化及其误差分析用差商代替微商所产生的误差称为截断误差。可以采用如下方法来估计截断误差：设f为谐波函数f(x)=Asin(μx),那么中央差商与微商的比值为：由表可见，对于波长为4Δx以下的波，误差很大，要求相对误差低于10%，波长须在8Δx以上。2.微分方程的离散化及其误差分析用差商代替微商所产生的误差称202.微分方程的离散化及其误差分析对于二阶导数，可以类似的得到：对于二元函数的拉普拉斯算子，则有如下的差分格式：对时间域也可以做类似的离散化。实际的大气物理量场是在时空域里的，一般我们把时域标号放在上标位置，而把空域标号放在下标位置以区分时域和空域。2.微分方程的离散化及其误差分析对于二阶导数，可以类似的得到212.微分方程的离散化及其误差分析2.微分方程的离散化及其误差分析22数值天气预报第三章-reviewppt课件23针对一个微分方程中的每一个微分算子，可以给出若干个差分格式，从而形成不同的差分方程。对于一个已知的函数而言，在某个点微分值是唯一确定的，采用了不同的差分格式后，由于不同的差分格式具有不同的内在性质和与原来微分算子有不同的近似程度，呈现不同的数值效应。微分值数值解数值解数值解数值解数值解数值解针对一个微分方程中的每一个微分算子，可以给出若干个差分格式，24目录离散化方法差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分方法差分方程你看~差分格式性质的讨论多有必要~目录离散化方法差分格式差分格式差分格式差分格式差分格式差分格25我的选择靠谱吗？差分格式如何选？选择标准是什么？我的选择靠谱吗？差分格式如何选？选择标准是什么？26差分格式的基本性质要使得采用的差分格式得到的数值解能够很好地反映真实的物理现象，仔细分析各种格式的有效性、可靠性以及长期数值积分的收敛性显得尤为重要。下面我们给出差分格式的几种基本性质。相容性精确性收敛性稳定性耗散性。。。。差分格式的基本性质要使得采用的差分格式得到的数值解能够很好地27差分格式的基本性质：1.相容性相容性在时间步长和空间步长趋于零的极限条件下，差分方程是否逼近微分方程当△t,△x->0，R->0,则差分方程与微分方程是相容的或是一致的差分系统和微分方程相协调差分格式的基本性质：1.相容性相容性在时间步长和空间步长趋于28差分格式的基本性质：1.相容性相容性差分格式的基本性质：1.相容性相容性29差分格式的基本性质：2.精确性精确性微分方程的真解差分方程的准确解差分方程的近似解“同志们！我们今天大踏步的后退是为了明天大踏步的前进！”

—引自《南征北战》和《不见不散》接地气~误差误差差分格式的基本性质：2.精确性精确性微分方程的真解差分方程的30差分格式的基本性质：2.精确性设u为微分方程的真解，uin为差分方程的准确解，u*为差分方程的数值解。在实际计算中，由于计算的舍入误差，我们的不到差分方程的准确解uin，只能得到差分方程的数值解u*,因此实际的误差为u-u*=(u-uin)+(uin-u*)截断误差舍入误差u-uin是否随着网格距和时间步长趋于0而趋近于0，称为解的收敛性问题。uin-u*是否随着网格距和时间步长趋于0而在整个求解区域内保持有界，称之为解的稳定性问题。差分方程代替微分方程的近似造成的计算机计算精度造成的精确性收敛性稳定性差分格式的基本性质：2.精确性设u为微分方程的真解，uin为31差分格式的基本性质：3.收敛性差分格式的相容性并不能保证其收敛性收敛性一维线性平流方程的准确解是F(x,t)=F(x-ut,0)，它表明(x,t)空间任意一点P的值只由初始点Q的值确定，Q点是通过P点的特征线(t-tp=x-xp)与X轴的交点，对于差分方程，P点的解也存在一个依赖区，不难推知它就是图中AB线段内的点，直线AP和BP的斜率分别为r1=△t/△x和r2=-△t/△x而直线PQ的斜率等于r0=1/u。如果1/u>=△t/△x，则Q点落入AB内，反之Q将落到AB外。

如果让△t和△x均趋于0但始终保持|u△t/△x|>=1,Q点的初值与AB中点的初值毫无关系，也就是说差分方程的解和微分方程的解无关，不论△t和△x取得如何小，差分解也不会收敛到微分解。因此，相容并不能保证收敛。

差分格式的基本性质：3.收敛性差分格式的相容性并不能保证其收32差分格式的基本性质：3.收敛性收敛性差分格式的基本性质：3.收敛性收敛性33差分格式的基本性质：4.稳定性稳定性

拉克斯(Lax)等价定理：对于一个适定的初值问题，如果差分格式是相容的，那么计算的稳定性是收敛性的充分必要条件。

相容性稳定性收敛性相容性、收敛性及其稳定性的关系？差分格式的基本性质：4.稳定性稳定性拉克斯(Lax)等价定34差分格式的基本性质：4.稳定性稳定性在差分方法求数值解的过程中，计算是按时间逐层进行的。在计算第n+1层上的uin+1时，要用到第n层的uin。因此，计算uin时的舍入误差必然会影响第n+1层以及更后层次上的值。

如果这种误差的影响保持一定或者越来越小，那么就能在一定的精度下保证数值解的质量，否则，这种计算的误差随着计算的进展变得越来越大，数值被歪曲的越来越严重，无法计算下去，出现这种情况与所选用的差分格式有关。差分格式的基本性质：4.稳定性稳定性在差分方法求数值35差分格式的基本性质：4.稳定性稳定性1.对于充分小的△t,若数值解一直是初值的有界函数，则称该差分格式是稳定的；2.在真解有界的情况下，一个初始扰动、在数值求解过程中随着时间积分步数n趋于无穷而无穷增大（无界），则称该差分格式是不稳定的;3.随着n的增加，如果累计的舍入误差总是可以忽略不计，则该差分格式是稳定的。uin-u*是否随着网格距和时间步长趋于0而在整个求解区域内保持有界，称之为解的稳定性问题。稳定性的三种提法差分格式的基本性质：4.稳定性稳定性1.对于充分小的△t,若36差分格式的基本性质：4.稳定性稳定性

如果初始时刻或者计算过程中有一个误差，那么这个误差会不会增长起来？对一维的线性平流方程的时间微分项采用前插格式，空间微分项也采用前差格式，则有如下差分方程：假定在初始时刻n=n0点有一个误差ε，其余各点及计算过程中不再产生误差，考察误差ε将如何传播。不难推得误差ε满足如下差分方程：差分格式的基本性质：4.稳定性稳定性如果初始时刻或者计37差分格式的基本性质：4.稳定性稳定性由公式可知，随着时间的增加，误差也增长起来，这种现象就是计算不稳定现象。因此可以这样来定义计算稳定性：差分方程的初始误差ε0，对于任意时间t=kΔt总有

则称差分格式是稳定的。其中C为与Δt和格距d无关的参数，

是

的εk某种意义下的范数。显然一个不稳定的差分格式得到的解是不可能收敛到微分方程的准确解的，因此设计稳定的差分格式就显得非常重要。差分格式的基本性质：4.稳定性稳定性由公式可知，随着时间的增38计算稳定性的分析方法

通常分析差分格式的稳定性有以下几种方法：（1）直接证明差分格式的有界性；（2）采用能量法来证明差分格式的稳定性；（3）采用谐波分析的方法。其中采用谐波分析的方法最为有效和使用方便。冯纽曼(von-Neumann)方法计算稳定性的分析方法通常分析差分格式的稳定性有以下几种方法39谐波法测试差分格式的有界性振幅波数谐波法测试差分格式的有界性振幅波数40谐波法测试差分格式的有界性谐波法测试差分格式的有界性41谐波法测试差分格式的有界性谐波法测试差分格式的有界性42谐波法测试差分格式的有界性谐波法测试差分格式的有界性43谐波法测试差分格式的有界性谐波法测试差分格式的有界性44谐波法测试差分格式的有界性谐波法测试差分格式的有界性45谐波法测试差分格式的有界性1928年，Courant等对普遍的差分方程给出了线性稳定性判据，所以线性稳定性判据通常简称为CFL判据。数值预报模式方程组是一组非线性偏微分方程，关于非线性不稳定的问题将在下面讨论。谐波法测试差分格式的有界性1928年，Courant等对普遍46谐波法测试差分格式的有界性谐波法测试差分格式的有界性47谐波法测试差分格式的有界性谐波法测试差分格式的有界性48谐波法测试差分格式的有界性谐波法测试差分格式的有界性49普遍意义下谐波法分析法差分方程为：普遍意义下谐波法分析法差分方程为：50相容性：差分系统在某种程度上近似于微分系统精确性：计算误差问题，截断误差和舍入误差收敛性：差分方程的解能否收敛到微分方程的解，相容不能保证收敛稳定性：当n趋于无穷时数值解如果无穷增大则不稳定守恒性：差分格式应该尽可能的满足某些物理量的守恒性质耗散性：差分格式的解尽管在稳定性的保证下能收敛于源方程的准确解,但是在准确剧变的位置常常呈现光滑现象,这种格式称为具有耗散性色散性：在准确剧烈变化的地方还常常呈现微小的“高频振荡”,这种格式称为具有色散性（频散性）差分格式的基本性质相容性：差分系统在某种程度上近似于微分系统差分格式的基本性质51

目录3.1差分方法概论3.2时间积分方案3.3空间差分格式与大气中有关物理过程3.4平流方程的差分格式及误差分析3.5非线性方程的计算稳定性（1）时间积分方法（2）时间积分格式二时间层积分格式（非迭代格式）二时间层积分格式（迭代格式）三时间层格式目录3.1差分方法概论3.2时间积分方案3.3空间52

时间积分方案数值预报和模拟都需要进行长时间的数值积分，因此选择稳定、计算精度高同时又能节省计算时间的时间积分方案显得尤为重要时间积分方案数值预报和模拟都需要进行长时间的数值积分，因此53

一、时间积分方案一、时间积分方案54

一、时间积分方案一、时间积分方案55波动振幅u随时间如何变化？即稳定性问题波动振幅u随时间如何变化？即稳定性问题56预报量△u/△t和F如何设计，这是个值得考虑的问题~~二、时间积分格式微分差分预报量△u/△t和F如何设计，这是个值得考虑的问题~~二、时57三类时间积分格式二时间层的积分格式（迭代格式）三时间层的积分格式每种格式的性质。。性质。。。性质。。二时间层的积分格式（非迭代格式）三类时间积分格式二时间层的积分格式（迭代格式）三时间层的积分58二、时间积分格式显式格式是指用前一个时间层的函数值求出后一个时间层函数值的计算方案；隐式格式是指在差分方程的右端还包含有后一个时间层的函数值，该函数值是求解时的未知量；迭代格式是指要构建一个预测校正系统，也即方程的右端也包含一个(n+1)时间层的变量，这个变量利用显式的预测系统来计算出，也即方程的右端也包含(n+1)时间层的变量，这个变量利用显式的预测系统来计算出，因此迭代格式在每一个时间层的计算都是分为两步或者三步进行，每一步实际都是显式的。二、时间积分格式显式格式是指用前一个时间层的函数值求出后一个59二、时间积分格式1、二时间层的积分格式（非迭代格式）二、时间积分格式1、二时间层的积分格式（非迭代格式）60“Hi,隐式格式先生，你这个家伙有点复杂，你有什么好？”“Hi,伙计~我很真实，也很稳定”“Hi,隐式格式先生，你这个家伙有点复杂，你有什么好？”“H61二、时间积分格式通用形式如下：式中α+β=1当α=1,β=0时为欧拉格式;当α=0,β=1时为后差格式;当α=β=1/2时,则是梯形格式.二、时间积分格式通用形式如下：式中α+β=162根据振动类方程通式可以写成

用分析稳定性的方法,把改写成得到增幅因子G的表示式

二、时间积分格式根据振动类方程通式可以写成二、时间积分格式63二、时间积分格式我说我稳定吧二、时间积分格式我说我稳定吧64增幅因子G的表示式定义差分解每个时步∆t的位相改变是θ,那么θ的表示为

二、时间积分格式这样，我们就用θ与ωΔt之比