电磁场拉式量

运动的带电体在电磁场中受Lorentz*作用，其运动方程为“F=栏=+uX8)=Q(-V<p一料：十gux(VxM)—而电磁场童&B与pA的关系为。E=-Vq?-—jB=Vx/l,另i?x(Vx4)=咐•A)—("•ot则/J=q[—侦W_罗j+q[V(v-A)—(v-^)A]=-qW®-v■A)-q[三+ •V)/4p注意到由于带电体的随动矢势z4=q(v，D，与时刻和粒子位萱都有关，因此3cL4dA(dx\dA,云=瓦+’顽•平=瓦+饥切如因此2dp qA-!-Bd^7二-qVQ-v■4；-q—,于>-cfA：.二fq?-qvS'Qt UL Ui.而将动堂和矢势分解为分量，又有关系/R=宛'&=今？司5,则Pi+q&F(ES”又由于夕与运动速度无关，7与坐标无关，所以最后定义出的拉格朗日童为VL=7-&V-/4-q^p它正好满足拉格朗日方程Wd/dL\dL-T-at\5v./0Xi同时可得带电体的正则动堂3dL丹=亦=?+叫廿P=p_q/1“而粒子的哈密顿童为。H=—L+P・u=T—q伊也即动能和电势能之和■“相对论形式4在相对论情况下，机械动量与动能为Up=mv=ym0VjE='p2c2+ =ym^c2^气 '通过类似的方法，哉们最后可以得到Wl=—mQc-/y-i-C[V-A-q轩这里一定要注意，因子｝，与速度有关、所以不能简简单单的只将动能顼变成相对论形式。，而正则动堂与哈密顿堂为M9LR=厅=、冲。盅+q&，P=H=—L+P-v= =E-q##哈密顿重中对应珀能的项又恰好变了回来，依然有H=T+K。由四维动堂的定.义Pj= 可类似的定.义四维正则动B+J孩=(P1H心4对于第四分重，有4.一5 ,E，甲iAa=i—!贝=西4q/14=i—+iq—=-s+E+和恰好就是哈密顿量迅因此四维正则动量的定弦是合理的。m实际上，由上述Lagrangeg的形式，已经可以看出wqv~A—q(f>=icj■(Ai(j?/c)=gH.L：.；件于是可以发现4皿=-m0c2+舛疑它是下洛仑兹不变重。则由此可知，作用童也是个洛仑兹不变堂。这是因为wS=JZdt=J件日"并且由于参考系的变换巳经等价于转动变换对称，故可以在拉格朗日方程中用任一空间方向代替时间要素，于是得到欧擅-拉格■朗日方程，」d[3L1况 =眼电工技术学报BHHSBHHS据WANFANG[>ATjbTRANSACTIONSOFCHINAELECTROTECHNICALSOCIETY2000Vol.15No.1P.16-20时变电磁场唯一性定理的完整表述雷银照徐纪安摘要以往表述的时变电磁场唯一性定理不适用于由多个媒质所组成的场域，而且不能利用此定理写出电磁场初边值问题的完整表达式。针对以上问题，本文把场论中的“高斯公式”应用于多媒质区域，导出了“多区域高斯公式”；在此基础上，完整地表述和证明了“时变电磁场唯一性定理”，明确了边界条件的使用方法和解的唯一性条件。关键词：唯一性定理时变电磁场边值问题初值问题NewStatementofUniquenessTheoremfurTimeLIVaryingElectromagneticFieldLeiYinzhaoXuJian(ZhengzhouUniversityofTechnology450002China)AbstractOlduniquenesstheoremoftime□varyingelectromagneticfieldhasnoapplicationtomultimediumregionandfromthistheorem,integratedexpressionsofinitial1boundaryvalueproblemlarelectromagneticfieldarenFitwritedout.Inthispaper,aussformulaofmultimediumregionspresentedbywayofapplyingaussformulantheoryoffieldstomultimediumregion.Fromthis,newuniquenesstheoremoftiniel］varyingelectromagneticfieldisstatedandproved,bothappliedmethodofboundaryconditionsanduniquenessconditionsofthesolutionaremadeclear.Keywords:UniquenesstheoremTime-varyingelectromagneticfieldBoundary-valueproblemInitial-valueproblem1引言电磁场唯一性定理是电磁场理论中的基本定理之一。经典的电磁场名著《ElectromagneticTheory》(见文献［1］)是这样表述时变电磁场唯一性定理的：“在时间t>0的所有时刻，闭区域V内的电磁场是由整个V内之电和磁矢量的初始值，以及它0时边界上电矢量E(或磁矢量H)之切向分量的值所唯一确定的。”唯一性定理的以上表述有一定局限性，其主要表现有：对切向边界条件的描述与实际使用状况不完全符合。该定理指出，为了唯一地确定电磁场的解，在边界上只需要知道切向分量nxE或nxH(n是边界面上任意点的单位法向矢量)，而并不要求同时知道两个切向分量。这种表述与实际情况不完全符合，因为求解初边值问题的大量实践表明，在许多情况下需要同时应用边界上两个切向分量nxE和nxH，缺一不可。从文献［1］的出版到现在，已过去了半个多世纪，在这期间所出版的许多有影响的电磁场理论文献都是用“或”来表述唯一性定理的，例如文献［2〜4］。不能利用唯一性定理写出初边值问题的完整表达式。从逻辑上考虑，既然唯一性定理表述了场量的唯一性，那么利用唯一性定理就应该可以写出电磁场初边值问题的完整表达式，但目前现有文献中表述的唯一性定理还做不到这一点。针对以上不足，本文重新研究了时变场唯一性定理，找到了问题存在的根源，并解决了此问题，弥补了长期以来理论与实践的差异。2多区域高斯公式设外表面为r的区域V是由m个子区域V1，V2,…，Vm所组成，任意子区域乂的表面ri为分片光滑曲面。若矢量Si在 mVi+ri上具有一阶连续偏导数，i=1，2，，...，m，则有公式n-1£XF『十¥£I-SJ・5n-1VV -i- -„.『 =1-,=:-.■:.式中打是Hamilton算子，r..是任意两个子区域V.和丫的公共边界面，其方向是从V指向V.。证明由于_"S*二>J([V-y.n;二-⑵矢量S.在v.+r.具有一阶连续偏导数，所以利用场论中的高斯公式[jv-s,dL=c.：\-ar- 上 (3)可将式(2)写成、 (4)式(4)右端的积分区域r1+r2+^+r由两部分曲面所组成，一部分是v内所有相邻子区域之间的公共边界面，另一部分是整个区域v的外表面「考虑到曲面的方向，面积分区域可写成jib—1m.「丁r.卜…卜上一££1兀十r,I卜「(5)从而式(4)成为JV-SdV-匕缶+TOC\o"1-5"\h\zn r露仰3『"七 •： (6)而"如--住••虹!；: 匚(7)所以，把式(7)右端代入式(6)，便可得到式(1)。当m=1时，V成为单一区域，公式(1)右端的第二项的值等于零，公式(1)成为场论中的高斯公式，因此本文称式(1)为“多区域高斯公式”，可以认为它是高斯公式在多区域中的推广形式，该式是作者于1997年导出的，见文献[5]。3时变电磁场唯一性定理的表述下面我们讨论由多个媒质所组成的场域V。为叙述方便，先引入内边界面和外边界面的概念。内边界面是指边界面两侧区域都是场域的边界面，其两侧区域都是未知的待求场域；外边界面是指边界面两侧区域中有一侧属于场域V，而另一侧不属于场域V的边界面，外边界面是场域最外侧的边界面。时变电磁场唯一性定理假设形状不随时间t变化的场域V是由m个线性媒质V1，V2,…，Vm所组成，乂的边界面r.是由分片光滑曲面所组成的闭曲面，V的外表面是r；外部电流源J和K分布在有限区域内，矢量J、K、G、Gh、F、Fh和标量p是不全为零的已知量；媒质V.的介电常数£.>0,磁导率四>0,电导率7,>0；V.中的电场强度E.和磁场强度H.在闭区域v1.+r.上存在连续偏导数。以上，i=1,，2,…，m。 | | ||在上述条件下，如果由以下初边值问题式(8)〜(19)所确定的场量E和H存在，那么它们分别有唯一的有界非零解。约束方程…心哗)一[心n十寸m"— (8)小- (9)MEV，t>0初始条件E(M，t)t=0=Ge(M) MEV(10)H(M，t)[0=G；(M) MEV(11)V.(^H)=0 MEV(12)t—0V.(SE)=p(M) MEV(13)t—0内边界面上的边界条件在内边界面七上，场量应同时满足以下两式n(P)x[Ej(P，t)-Ei(P，t)]=0 (14)n(P)x[Hj(P，t)-H.(P，t)]=K(P，t)(15)以上两式中，各个场量的含义为氐展—1=码(P“)=HmEfPiU)■p.寸珥=邮街,》与pCv.*E&尹£「E<jJ>0i'-1,2; ,/n-1：j-2H3,■-■,m外边界面上的边界条件在外边界面r上，场量仅需满足以下两式的其中之一n(Q)xE(Q，t)=Fe(Q，t)(16)n(Q)xH(Q，t)=Fh(Q，t)(17)PEV，Qert，t>0无限远条件当场域是无界区域时，在'无限远处场量应同时满足以下两式

UmrEUmrE-珥『-PR(18)(19)这里，r..是v.和V.的公共内边界面；r是整个区域V的外表面，当V是有界区域时r就是外边界面rt，当V是无界区域时r=rt+r.，这里r.是无界区域中无限远处假想的光滑曲ffl；n.是r..上从V指向V的单位法向矢量；J和K111J 1 J s1J分别是外源的电流密度和电流面密度；n是外边界面rt上的单位法向矢量；G，Gh，F，Fh均为已知的矢量函数；p是分布在有限区域内的外源电荷密度；r是坐标系原点O到场点Q之间的距离；De和Dh分别是与r无关的有界常矢量。4时变电磁场唯一性定理的证明4.1证明解的有界性当V是有界区域时，因E.和H.在V.+r.上存在连续偏导数，所以E.和H.是闭区域V.+r,上的连续函数，，.=1，，2,…，，m，而闭区域上的连续函数必'有界，，故E和H在V上有界。当V是无界区域时，做一圆心位于坐标系原点、半径为r的球面Sr，由于lxmrE和 1r—3Hmr一^rH有界，所以对于任意给定的正数8，总可以找到一半径为rg的球域V5，使得当r>r5时同时满足以下两式IE|<8和IH|<8记球域V的表面为S8，因V和s8一起组成了有界闭区域，根据前面的证明，有界闭区域上的连续场量必有界，而在球面S8之外，场量满足IE|<8和IH|<8，所以当V是无界区域时，场量E和H有界。4.2证明初边值问题式(8)〜(19)有唯一解用反证法。设有两组解(E，H)和(Eb,Hb)同时满足初边值问题式(8)〜(19)，记Eo=Ea-Eb和 & &HO=Ha-Hb则对应的初边值问题的表达式相减，可知Eo和Ho满足以下齐次初边值问题『顼。-0二可底顼(2O)如""时顼(21)鸟1=0=。(22)Ho|t=o=O(23)腭吧虹乜24)V.(£Eo)l=o=O(25)nuXlEoj-Eo.贝说。^)nijX(Hoj"Ho1^颈27)nxEolrout=O(28)

nxH0l「out=0(29)liinjEq-0I- (30)linirH-linirH--0和：(31)从以上初边值问题表达式(20)〜(31)出发，可知AV-(£/-.xHr.)--好-/Au(32)这里w-*.宓i琨)TOC\o"1-5"\h\z2 (33)在式(32)的两端对区域V施行体积分，有I宁•〔瓦XH(jdV=-]J齐小」J元和二 、 (34)利用多区域高斯公式(1),上式左端可写成.“宫■(瓦x (瓦口x珏"+曹 r\\[(..；xWqi-F：七:xU0,/-dJixlj=j4-lp.■ - (35)MdMd乂Hz■d/..,,iI(EaxHe；■dP-+<■OUI.，(鸟尺H,：：以n式中的积分区域rin(29)得TOC\o"1-5"\h\zE (36)n式中的积分区域rin(29)得是无界场域中无限远处假想的光滑曲面。由式(28)或式|(Xf%「侦5.=0、 (37)对式(36)右端的第二个积分，用球心位于坐标系原点、半径为r的无限大球面上的一部分代替边界面rin，则由式(30)和式(31)得[Hua」「切『=U二 (38)对式(35)右端双求和号内的积分，利用内边界面上的边界条件式(26)和式(27)可得]xHq-Eqx)■<iT-.-=0■Mi「， (39)这样式(34)成为,；• (40)由于积分区域V不随时间变化，所以上式左端对时间t的偏导数可以移至积分号外，从而有(41)这里括.如--住••虹■'= 匚(42)从式(41)出发，利用初始条件式(22)和式(23)，必有g(t)=0，亦即对任意时刻t>0总有Kx i//：MJ: =0(43)要使上式对任意区域V成立，只能是E0=0和H0=0。这就证明了解的唯一性。4.3证明初边值问题式(8)〜(19)存在非零解用反证法，矢量Js、K、Ge、Gh、Fe、Fh和标量p不全为零，说明初边值问题式(8)〜(19)是非齐次线性初边值问题。。假定存在零解E=0和H=0，此时初边值问题式(8)〜(19)的左端均恒为零，而右端中至少有一个不等于零，即E=0和H=0不满足式(8)〜(19)。故初边值问题式(8)〜(19)的解如果存在，则必是非零解。5关于时变电磁场唯一性定理的几点说明5.1场量在内边界面两侧的跃变和不连续性记场量在内边界面上某点的切向单位矢量和法向单位矢量分别为et和en，该点的外源电荷面密度为气，则场量E和H可分别写成E=Etet+Enen和H=Htg+He y nn设内边界面两侧均为线性各向同性的媒质，由内边界面上的切向边界条件式(14)、式(15)和两个法向边界条件四"Ejn=%四.H.n-p.H.n=0可知场量在内边界面两侧的跃变为从以上两式可见，跃变量与内边界面上的外源和媒质的不均匀有关。需要指出，即使内边界面两侧的场量极限相等，场量在内边界面上也是不连续的，因为内边界面上任意点Q处的场量E(Q)和H(Q)不存在。5.2内边界面上的边界条件以往文献在证明唯一性定理时，使用了下式=：|"&U.•-&闵rv r式中S=ExHr--v的外表面上式成立的条件是矢量s在v+r上具有连续偏导数，这意味着v是单一媒质。对多媒质区域mF=U:m>E：■i:=1由于矢量S在内边界面上不连续，所以必须使用公式(1)才能完整证明唯一性定理。以往在证明唯一性定理时，漏掉了式(1)右端关于内边界面上的面积分项，这就是以往表述的唯一性定理具有较大局限性的主要原因。由本文证明唯一性定理的过程可见，必须同时使用E0和H0在内边界面上的边界条件式(26)和式(27)，才能使式(35)右端中双求和号内的面积分为零。由于E0和H0的物理意义是场域内无场源、内边界面上无任何外源分布时的场量，所以证明过程说明，为保证解的唯一性，即使内边界面上无任何外源分布，也必须在求解过程中同时使用内边界面上的两个切向边界条件，缺一不可。5.3场量的有界特性和非零特性实际问题中的电磁场的场量都是有界的。以往用解析法(例如分离变量法)求解电磁场问题时，往往要假定场量是有界的和非零的，据此来确定待定系数和本征值。本文表述的电磁场唯一性定理对此给出了理论根据。5.4解的唯一性线性电磁场的初边值问题在数学表达形式上为线性偏微分方程的初边值问题。在某些限定条件下，线性偏微分方程的初边值问题有可能存在唯一解，而在普遍情形下并不存在唯一解。即使对于线性齐次微分方程的边值问题，也不能保证解的唯一性，例如贝塞尔方程是二阶线性齐次微分方程，在线性齐次边界条件下，该边值问题至少有两个解，零和贝塞尔函数。这表明，并非所有的线性电磁场初边值问题都有唯一解，需要在满足了本文所补充的条件之后才有唯一解。5.5线性媒质以往文献在表述唯一性定理时，很少强调媒质的线性特性，似乎所有电磁场问题都有唯一解，实际上并非如此。本文所论述的唯一性定理表明，在某些补充条件下，线性电磁场初边值问题有唯一解。对于非线性电磁场问题，一般不存在唯一解。本文在表述唯一性定理时限定媒质是“形状不随时间变化”的“线性媒质”，此限定反映在数学上是指媒质的三个参数£、四和Y仅与场点的位置有关，而与时间无关。5.6无限远条件就目前所知，位于有限区域内的场源所产生的场在无限远处均按1/ri+K必0)的规律减小。正因为如此，本文为保证解的唯一性，要求场量在无限远处满足limr一srE=D和limr一srH=Dh，此限定无论对辐射场还是对非辐射场均成立。而以往文献在证明唯一性定理时，要补充“电磁波以有限速度传播”这一条件。我们知道，“电磁波以有限速度传播”在理论上来源于场的波动方程，这种以波动方程为基础证明解的唯一性的方法在逻辑上是不严格的。因为在推导电磁场波动方程时已默认了解的唯一性，如果不默认唯一性，就无法断定波动方程的解是唯一的，相应也就无法唯一地确定电磁波的传播速度。5.7外部电源在静止媒质的电磁场中，从外部电源的表现形式看有电流型和电荷型，而本文在证明时变场唯一性定理时只用到了电流型外源J和K，而没有用到电荷型外源p和z。这是因为在时变电磁场中交变电荷产生的电磁场实质上就是与之等效的电流所产生的电磁场，交变电荷的大小和分布可以通过电流密度来描述。6结论本文重新完整地表述了“时变电磁场唯一性定理”。该定理指出，在给定的约束方程和约束条件下，场量具有唯一的有界非零解；在内边界面上必须同时使用两个场量的切向边界条件；在外边界面上只需要已知两个场量的切向值的任意其中之一；对于无界场域，当场点与源点间的距离充分大时，两个场量的幅值均应至少按距离的倒数减小。新表述的唯一性定理是以往时变电磁场唯一性定理的补充和推广，它同时适用于单一媒质和多媒质场域。根据新表述的唯一性定理，可完整写出时变电磁场的初边值问题表达式和时谐电磁场的边值问题表达式，并能保证解的唯一性、解的有界和非零特性。国家自然科学基金资助及教育部留学归国人员经费资助项目。雷银照男，1956年生，教授，博士后，主要从事电磁场理论及其应用的教学与科研工作，发表论文20余篇，出版专著1本。徐纪安男，1965年生，男，1989年于西安交通大学电气系研究生毕业，获工学硕士学位，现为郑州工业大学电磁研究中心工程师。作者单位：雷银照（郑州工业大学450002）徐纪安（郑州工业大学450002）参考文献1，StrattonJA.Electromagnetictheory.NewYork:McGraw-Hill,1941.486^488塔姆.电学原理（下册）.钱尚武，赵祖森译.北京：商务印书馆，1954.423〜425哈林登.正弦电磁场.孟侃译.上海：上海科学技术出版社，1964.109〜112中国大百科全书（电子学与计算机I）.北京