浅谈整式在数学解题中的妙用

精品文档-下载后可编辑浅谈整式在数学解题中的妙用一、巧用整式次数解题

1.用单项式的次数

例：已知

是关于x，y的单项式，且系数为-2，次数是4，求代

数式a+m的值.

解析：由单项式系数与次数的意义可知，，|m-2|+1=4.

解得a=10，m=5或-1.

当a=10，m=5时，原式=10+1=11；

当a=10，m=-1时，原式=10-=

评注：运用单项式的次数的意义，得出一个与待定字母相关的等量关系是解题的主要策略.

跟踪训练：

①若单项式5x14y|m-2|与8x7ny6的差仍是单项式，则m-2n=

②已知5（m-4）x6y|2-m|是关于x，y的单项式，且它的次数是8，则m=________.

③单项式a4b2m-3的次数与单项式3x2y3z2的次数相同，试求m的值.

2.用多项式的次数

例：已知有理数a和b满足多项式A=（a-1）x5+x|b+2|-2x2+bx+b是关于x的二次三项式，求a，b的值.

解析：由于这个多项式是一个关于x的二次多项式，则含x5项的系数为0.

则a-1=0，得a=1.

又由该多项式的次数知，|b+2|可为2或1.

当|b+2|=2时，解得b=0，或b=-4；

当|b+2|=1时，解得b=-1或b=-3.

当a=1，b=0时，A=x2-2x2=-x2，此时A不是二次三项式；

当a=1，b=-4时，A=x2-2x2-4x-4=-x2-4x-4；

当a=1，b=-1时，A=x-2x2-x-1=-2x2-1，此时A不是二次三项式；

当a=1，b=-3时，A=x-2x2-3x-3=-2x2-2x-3.

综上，a=1，b的值为-4或-3.

评注：运用多项式次数的意义，可以得出关于待定字母的等式，求得待定字母的值，为进一步求值打下基础.

跟踪训练：

①已知多项式x2+xm+1y+x2y2的次数与单项式-a4b3的次数相同，则m的值为.

②当n为何值时，多项式2x3y2n+1-3x2y5+x3y3是八次多项式？

③已知多项式（2a-8）x3+-2x+b+2是关于x的二次三项式，试求a，b的值.

二、整式求值中的整体策略

1.整体变形

例：已知x+4y=-1，xy=5，求（6xy+7y）+[8x-（5xy-y+6x）]的值.

解析：原式=（6xy+7y）+[8x-5xy+y-6x）]

=6xy+7y+8x-5xy+y-6x

=xy+2x+8y.

由x+4y=-1得，2x+8y=2（x+4y）=-2.

所以，原式=5-2=3.

评注：关注已知条件中的多项式各项的系数与所要求值的整式的各项的系数间的关系，把已知式整体变形后，再运用“整体代入法”求值是一种常用的解题策略.

跟踪训练：

①已知代数式的值为9，则的值为（）

A.18B.12C.9D.7

②当x=2时，代数式ax3+bx+1的值等于2022，那么当x=-2时，代数式ax3+bx+1的值为（）

A.2022B.-2022C.2022D.-2022

③若a3+b3=15，a2b-ab2=-6，则（a3-b3）+（3ab2-a2b）-2（ab2-b3）的值是多少？

2.整体的加减

例：已知x2-xy=7，xy-y2=4，求下列各式的值：

（1）x2-y2；（2）x2-2xy+y2.

解析：（1）把x2-xy=7与xy-y2=4两式相加，得

（x2-xy）+（xy-y2）=7+4.

则x2-y2=11.

（2）把x2-xy=7与xy-y2=4两式相减，得

（x2-xy）-（xy-y2）=7-4.

则x2-xy-xy+y2=3.

于是x2-2xy+y2=3.

评注：观察已知条件中所给出的多项式和所要求值的多项式的特点，运用把两式相加减的方法可以求得一个多项式的值.这里体现了整体加减策略的巧妙运用.

跟踪训练：

①如果a2+ab=8，ab+b2=9，那么a2-b2的值是（）

A.-1B.1C.17D.不确定

②已知mn-n2=17，m3-mn=-20，那么m3-n2=.

③若x+2y+3z=6，4x+3y+2z=-4，求x+y+z的值.

3.构造整体

例：已知a=，b=，c=，求1006a+2022b+503c的值.

解析：由于a+b=+=1，2b+c=+=1，则

原式=1006（a+b）+1006b+503c

=1006（a+b）+503（2b+c）

=1006+503=1509.

评析：把已知条件进行变形，使之变成与特殊值相关的整体，再将所要求值的多项式变形，以便出现所构