第三章-33-334-简单线性规划问题的实际应用课件

3.3.4简单线性规划问题的实际应用1．从实际情境中抽象出简单的线性规划问题，建立数学模型．2．掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．

线性规划的理论和方法主要用于解决以下两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、财力、物力、资金等资源来完成该项任务．3.3.4简单线性规划问题的实际应用1．从实际情境中抽1线性规划解应用题的一般步骤．(1)设出____________；x，y，z约束条件目标函数(2)列出________，确定________；(3)画出________； (4)作目标函数表示的一族平行直线，使其中某条直线与________有交点，且使其截距最大或最小；可行域(5)判断________，求出目标函数的______，并回到原问题中作答．最优解最值可行域线性规划解应用题的一般步骤．(1)设出___________2

练习1：有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为___________．

x≥1，练习2：已知变量x，y满足y≤2，

x－y≤0，则x＋y的最小)值是( A．4 C．2

B．3 D．1z＝6x＋4yC 练习1：有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运3

1．简单线性规划在实际生产生活中主要解决哪些问题？

答案：简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决． 1．简单线性规划在实际生产生活中主要解决哪些问题？42．应用线性规划的图解方法，应具备哪些条件？(3)确定线性目标函数z＝f(x，y)；(4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域)；(5)利用线性目标函数作平行直线系f(x，y)＝t(t为参数)；(6)观察图形，找到直线f(x，y)＝t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案．答案：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：(1)根据题意，设出变量x，y；(2)找出线性约束条件；2．应用线性规划的图解方法，应具备哪些条件？(3)确定线性目5题型1资源配置问题

例1：某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”．该厂所用的主要原料为A，B两种贵重金属，已知生产一套奥运会标志需用原料A和原料B的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料A和原料B的量分别为5盒和10盒．若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A，B的量分别为200盒和300盒．问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大，最大利润为多少？题型1资源配置问题 例1：某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值6

思维突破：将文字语言转化为数学式子建立线性规划模型．图D24

自主解答：设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为x，y套，月利润为z元，由题意，得 思维突破：将文字语言转化为数学式子建立线性规划模型．图D7

将点A(20,24)代入z＝700x＋1200y， 得zmax＝700×20＋1200×24＝42800元 答：当该厂生产奥运会标志和吉祥物分别为20,24套时，月利润最大，最大利润为42800元． 将点A(20,24)代入z＝700x＋1200y，8

解线性规划应用题时，先转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：①作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线l；②平移：将直线l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；③求值：解有关方程组求出点A坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 解线性规划应用题时，先转化为简单的线性规9混合烹调包装A153B241【变式与拓展】

1．某糖果厂生产A，B两种糖果，A种糖果每箱获利润40元，B种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位：分钟).

每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12小时，烹调的设备至多只能用机30小时，包装的设备只能用15小时，试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润．混合烹调包装A153B241【变式与拓展】 1．某糖果厂生产10求目标函数z＝40x＋50y的最大值，作出可行域(如图D28)，其边界OA：y＝0，AB：3x＋y－900＝0，BC：5x＋4y－1800＝0，CD：x＋2y－720＝0，DO：x＝0.图D28CD：x＋2y－720＝0，DO：x＝0.图D2811第三章-312

产品原料产品A产品B产品C燃料甲/吨1075燃料乙/吨5913题型2降低资源消耗问题

例2：某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品A，B，C，每消耗一吨燃料与产品A，B，C有下列关系： 现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为2∶3，现需要三种产品A，B，C各50吨，63吨，65吨．问如何使用两种燃料，才能使该厂成本最低？ 产品产品A产品B产品C燃料甲/吨1075燃料乙/吨513

思维突破：由于该厂成本与两种燃料使用量有关，而产品A，B，C又与这两种燃料有关，且这三种产品的产量也有限制，因此这是一道求线性目标函数在线性约束条件下的最小值问题，这类简单的线性规划问题一般都可以利用二元一次不等式组求在可行域上的最优解．自主解答：设该厂使用燃料甲x吨，燃料乙y吨，甲每吨2t元，则乙每吨为3t元．则成本为z＝2tx＋3ty＝t(2x＋3y)．因此只需求2x＋3y的最小值即可． 思维突破：由于该厂成本与两种燃料使用量有关，而产品自主解答1410x＋5y≥50，又由题意，可得x,y满足条件7x＋9y≥63，5x＋13y≥65.作出不等式组所表示的平面区域(如图D25)．图D2510x＋5y≥50，又由题意，可得x,y满足条件15第三章-316【变式与拓展】

2．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每10g含5个单位蛋白质和10个单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7个单位蛋白质和4个单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35个单位蛋白质和40个单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？【变式与拓展】17图D29图D2918第三章-319题型3整数解处理

例3：某公司每天至少要运送180t货物．公司有8辆载重为6t的A型卡车和4辆载重为10t的B型卡车，A型卡车每天可往返4次，B型卡车可往返3次，A型卡车每天花费320元，B型卡车每天花费504元，问如何调配车辆才能使公司每天花费最少．

思维突破：设A型卡车x辆，B型卡车y辆．问题转化为线性规划问题．同时应注意到题中的x，y只能取整数．题型3整数解处理 例3：某公司每天至少要运送180t货20自主解答：设A型卡车x辆，B型卡车y辆，则0≤x≤8，0≤y≤4，24x＋30y≥180，

0≤x≤8，即0≤y≤4， 4x＋5y≥30，目标函数z＝320x＋504y.作如图D26所示的可行域，

图D26自主解答：设A型卡车x辆，B型卡车y辆，则0≤21

做直线l′：320x＋504y＝0.在可行域中打上网格，找出(8,0)，(8,1)，(8,2)，(7,1)，(7,2)，(7,3)，…等整数点．作直线l：320x＋504y＝t与直线l′平行，可见当直线l过点(8,0)时，t最小，即zmin＝8×320＝2560(元)．

根据已知条件写出不等式组是做题的第一步；第二步画出可行域；第三步找出最优解．其中最困难的是第二步．整数解的线性规划问题．如果取最小值时不是整数点，则考虑此点附近的整数点． 做直线l′：320x＋504y＝0.在可行域中打上网格，22

例4：某沙漠地带，考察车每天行驶200千米，每辆考察车可以装载供行驶14天的汽油．现有5辆考察车，同时从驻地A出发，计划完成任务后，再沿原路返回驻地，为了让其中3辆车尽可能向更远的地方进行考察(然后再一起返回)，甲、乙两车行至B处后，仅留足自己返回驻所必需的汽油，将多余的汽油供给另外3辆使用，问：其他3辆可以行进的最远路是多少千米？ 例4：某沙漠地带，考察车每天行驶200千米，每辆考察23

试解：设考察行至B处用了x天，从B处到最远处用了y天，则有2[3(x＋y)＋2x]≤14×5， 即5x＋3y≤35，且x>0，y>0. 同时从其余3辆车的载油量考虑， 14×5－(5＋2)x≤14×3，即x≥4. 5x＋3y≤35，下求z＝x＋y

于是问题转化为在约束条件x≥4，

y>0的最大值． 试解：设考察行至B处用了x天，从B处到最远处用了y下求24作可行域(如图D27)，则M(4,5)，图D27作直线l：x＋y＝0，向右平移过点M时，zmax＝9.∴最远路程为200×(4＋5)＝1800(千米)．

易错点评：对线性的约束条件考虑不清不全，没考虑甲、乙两车供油后，自己还须返回这一条件，导致约束条件出错．作可行域(如图D27)，则M(4,5)，图D27作直线251．线性规划的两类重要实际问题的解题思路：(1)应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数．(2)用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取最值的解．(3)还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实