高数第十二章1常数项级数的概念和性质课件

无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数傅氏级数第十二章无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数1常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念

二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件*四、柯西审敛原理机动目录上页下页返回结束第一节第十二章常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的2一、常数项级数的概念

引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0表示即内接正三角形面积,ak表示边数增加时增加的面积,则圆内接正机动目录上页下页返回结束一、常数项级数的概念引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆3引例2.小球从1米高处自由落下,每次跳起的高度减少一半,问小球是否会在某时刻停止运动?说明道理.由自由落体运动方程知则小球运动的时间为(s)设tk

表示第k次小球落地的时间,机动目录上页下页返回结束引例2.小球从1米高处自由落下,每次跳起的高度减少一半4定义：给定一个数列将各项依称上述表达式为无穷级数，其中第n项叫做级数的一般项,次相加：机动目录上页下页返回结束简记为即级数的前n项和称为级数的部分和.收敛,则称无穷级数并称S

为级数的和,记作定义：给定一个数列将各项依称上述表达式为无穷级数，其中第n5当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然机动目录上页下页返回结束注意：从定义看出,级数的和是由部分和的极限给出的,即而部分和是有求和顺序的。当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然6例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q

称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为机动目录上页下页返回结束例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q称为公比)72).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.机动目录上页下页返回结束2).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合8例2.

判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和机动目录上页下页返回结束例2.判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)9(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和机动目录上页下页返回结束(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用10

例3.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为机动目录上页下页返回结束例3.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为机动11二、无穷级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,证:令则这说明收敛,其和为cS.

说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.机动目录上页下页返回结束二、无穷级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,则各12性质2.

设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:令则这说明级数也收敛,其和为机动目录上页下页返回结束性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:令13说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,

(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)机动目录上页下页返回结束说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.14性质3.在级数前面去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的敛散性.证:

将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数机动目录上页下页返回结束性质3.在级数前面去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的敛15性质4.

收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证例如机动目录上页下页返回结束性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:16例4.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.机动目录上页下页返回结束例4.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而17三、级数收敛的必要条件

设收敛级数则必有证:

可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.机动目录上页下页返回结束三、级数收敛的必要条件设收敛级数则必有证:可见:若18注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上

,假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.机动目录上页下页返回结束注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发19例5.

判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1)令则故从而这说明级数(1)发散.机动目录上页下页返回结束例5.判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1)20因进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2)机动目录上页下页返回结束因进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2)机动目21这说明原级数收敛,其和为3.(3)机动目录上页下页返回结束这说明原级数收敛,其和为3.(3)机动目录22的充要条件是:*四、柯西审敛原理

定理.有证:设所给级数部分和数列为因为所以,利用数列的柯西审敛原理(第一章第六节)即得本定理的结论.机动目录上页下页返回结束的充要条件是:*四、柯西审敛原理定理.有证:设所给级数部23例6.

解:有利用柯西审敛原理判别级数机动目录上页下页返回结束例6