平面问题的极坐标解答课件

4平面问题的极坐标解答要点：（1）极坐标中平面问题的基本方程：——平衡方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件。（2）极坐标中平面问题的求解方法及应用应用：圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。4平面问题的极坐标解答要点：（1）极坐标中平面问题的基本14.1极坐标中的平衡微分方程4.2极坐标中的几何方程与物理方程4.3极坐标中的应力函数与相容方程4.4应力分量的坐标变换式4.5轴对称应力与相应的位移4.6圆环或圆筒受均布压力4.7压力隧洞4.8圆孔的孔边应力集中4.9半平面体在边界上受集中力4.10半平面体在边界上受分布力主要内容

4.1极坐标中的平衡微分方程4.2极坐标中的几何24.1极坐标中的平衡微分方程1.极坐标中的微元体xyOPABC体力：应力：PA面PB面4.1极坐标中的平衡微分方程1.极坐标中的微元体xyO3BC面AC面应力正向规定：r、j的正面上，与坐标方向一致时为正；r、j

的负面上，与坐标方向相反时为正。xyOPABCBC面AC面应力正向规定：r、j的正面上，与坐标方向一致时42.平衡微分方程考虑微元体平衡（取厚度为1）：xyOPABC2.平衡微分方程考虑微元体平衡（取厚度为1）：xyOPAB5将上式化开：（高阶小量，舍去）两边同除以：将上式化开：（高阶小量，舍去）两边同除以6两边同除以，并略去高阶小量：xyOPABC两边同除以，并略去高阶小量：xy7——切应力互等定理极坐标下的平衡方程为：方程中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定问题，需考虑变形协调条件才能求解。xyOPABC——切应力互等定理极坐标下的平衡方程为：方程中包含三个未84.2极坐标中的几何方程与物理方程1.几何方程xyOAB(1)只有径向位移，无环向位移。径向线段PA的相对伸长：（a）径向线段PA的转角：（b）P4.2极坐标中的几何方程与物理方程1.几何方程xyO9线段PB的相对伸长：（c）环向线段PB的转角：（d）xyOABP线段PB的相对伸长：（c）环向线段PB的转角：（d）xyOA10径向线段PA的相对伸长：径向线段PA的转角：（b）环向线段PB的相对伸长：（c）环向线段PB的转角：（d）（a）剪应变为：（e）xyOABP径向线段PA的相对伸长：径向线段PA的转角：（b）环向线段P11(2)只有环向位移，无径向位移。径向线段PA的相对伸长：（f）径向线段PA的转角：（g）yxOPBA(2)只有环向位移，无径向位移。径向线段PA的相对伸长：12环向线段PB的相对伸长：环向线段PB的转角：（h）（i）剪应变为：（j）yxOPBA环向线段PB的相对伸长：环向线段PB的转角：（h）（i）剪应13(3)总应变整理得：——极坐标下的几何方程(3)总应变整理得：——极坐标下的几何方程142.物理方程平面应力情形：平面应变情形：2.物理方程平面应力情形：平面应变情形：15弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：几何方程：弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：几何方程16物理方程：(平面应力情形)边界条件：位移边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）物理方程：(平面应力情形)边界条件：位移边界条件：应力边界条17rlrrlr18a取半径为a的半圆分析，由其平衡得：a取半径为a的半圆分析，由其平衡得：19FFFFFF204.3极坐标中的应力函数与相容方程1.直角坐标下变形调方程（相容方程）（平面应力情形）4.3极坐标中的应力函数与相容方程1.直角坐标下变形调方21应力函数表示：2.极坐标下的应力分量与相容方程方法1：（步骤）（1）利用极坐标下的几何方程，求得应变表示的相容方程：（2）利用极坐标下的物理方程，得应力表示的相容方程：（常体力情形）应力函数表示：2.极坐标下的应力分量与相容方程方法1：（步22（3）利用平衡方程求出用应力函数表示的应力分量：（4）将上述应力分量代入应力表示的相容方程，得应力函数表示的相容方程：（常体力情形）（3）利用平衡方程求出用应力函数表示的应力分量：（4）将上述23方法2：（用极坐标与直角坐标之间的变换关系求得到）rxyOPxy（1）极坐标与直角坐标间的关系：方法2：（用极坐标与直角坐标之间的变换关系求得到）rxyOP24（2）应力分量与相容方程的坐标变换：应力分量的坐标变换（2）应力分量与相容方程的坐标变换：应力分量的坐标变换25(a)(a)26(b)(b)27(c)(c)28由直角坐标下应力函数与应力的关系：rxyOPxy由直角坐标下应力函数与应力的关系：rxyOPxy29平面问题的极坐标解答ppt课件30极坐标下应力分量：可证明：该式满足平衡方程。说明：该式仅给出体力为零时的应力分量表达式。极坐标下应力分量：可证明：该式满足平衡方程。说明：该式仅给出31相容方程的坐标变换(a)(b)将式(a)与(b)相加，得相容方程的坐标变换(a)(b)将式(a)与(b)相加，得32极坐标下的Laplace微分算子：极坐标下的Laplace微分算子：33极坐标下的相容方程为：方程为常体力情形的相容方程。说明：极坐标下的相容方程为：方程为常体力情形的相容方程。说明：34弹性力学极坐标求解归结为结论：（1）由问题的条件求出满足相容方程的应力函数（2）求出相应的应力分量：弹性力学极坐标求解归结为结论：（1）由问题的条件求出满足相容35（3）将上述应力分量满足问题的边界条件：位移边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）（3）将上述应力分量满足问题的边界条件：位移边界条件：应力边364.4应力分量的坐标变换式取出包含两种坐标面的微分体，考虑平衡条件，得到应力分量的坐标变换式已知直角坐标系中的应力分量sx、sy、txy(1)用直角坐标下的应力分量表示极坐标下的应力分量取出包含x面、y

面和r

面，厚度为单位1的微小三角板AsrxyOsxsytyxtxytrjjrAabcdscosjdsdssinj4.4应力分量的坐标变换式取出包含两种坐标面的微分体，考37srxyOjrAsxsytyxtxytrjabcdscosjdsdssinj(a)或srxyOjrAsxsytyxtxytrjabcds38srxyOjrAsxsytyxtxytrjabcdscosjdsdssinj(b)或srxyOjrAsxsytyxtxytrjabcds39取出包含x面、y

面和j

面，厚度为单位1的微小三角板BsjxyOjrBsxsytyxtxytjrdscosjdsdssinj(c)或取出包含x面、y面和j面，厚度为单位1的微小三40sjxyOjrBsxsytyxtxytjrdscosjdsdssinjsjxyOjrBsxsytyxtxytjrdscos41或或42(2)用极坐标下的应力分量表示直角坐标下的应力分量或(2)用极坐标下的应力分量表示直角坐标下的应力分量或43轴对称问题：qO应力分量为：4.5轴对称应力与相应的位移轴对称问题：qO应力分量为：4.5轴对称应力与相应的位44qO相容方程为：qO相容方程为：45求解方法：——逆解法1.轴对称问题应力分量与相容方程（1）应力分量（2）相容方程求解方法：——逆解法1.轴对称问题应力分量与相容方程（1）462.相容方程的求解相容方程表示为：4阶变系数齐次微分方程将其展开，有方程两边同乘以：——Euler齐次微分方程2.相容方程的求解相容方程表示为：4阶变系数齐次微分方程将47令：有代入上述方程其特征方程为方程的特征值令：有代入上述方程其特征方程为方程的特征值48方程的特征根为：方程的解为：将代回：——轴对称问题相容方程的通解，A、B、C、D为待定常数。方程的特征根为：方程的解为：将493.应力分量代入应力分量表达式——轴对称平面问题的应力分量表达式应力分量对称于坐标原点分布3.应力分量代入应力分量表达式——轴对称平面问题的504.位移分量对于平面应力问题，物理方程（a）积分式（a）的第一式，有应变分量对称于坐标原点分布4.位移分量对于平面应力问题，物理方程（a）积分式（a51积分，有（b）——

是任意的待定函数将式（b）代入式（a）中第二式，得积分，得:（c）——是r任意函数积分，有（b）——是任意的待定52将式（b）、（c）代入式（a）中第三式，得或写成：要使该式成立，两边须为同一常数。（d）（e）式中F为常数。将式（b）、（c）代入式（a）中第三式，得或写成：要使该式成53（d）（e）式(d)解为：（f）其中H为常数。其解为：（g）（h）对式（e）两边求导（d）（e）式(d)解为：（f）其中H为常数。其解为：54将式（g）（f）（h）代入式（b）（c），得式中：A、B、C、H、I、K由应力和位移边界条件确定。对平面应变问题，只需将式中的E、m

作相替换即可。将式（g）（f）（h）代入式（b）（c），得式中：A、55平面轴对称问题小结：（1）应力函数（2）应力分量（3）位移分量平面轴对称问题小结：（1）应力函数（2）应力分量（3）位移分56应力轴对称并不表示位移也是轴对称的。但在轴对称应力情况下，若物体的几何形状、受力（位移约束）都是轴对称的，则位移也应该是轴对称的。这时，物体内各点都不会有环向位移，即不论r

和j

取何值，都应有：。对这种情形，有位移变为：应力轴对称并不表示位移也是轴对称的。但在轴对574.6圆环或圆筒受均布压力1.圆环或圆筒受均布压力已知：求：应力分布。确定应力分量的表达式：边界条件：（a）q1q2rR4.6圆环或圆筒受均布压力1.圆环或圆筒受均布压力58将应力分量代入，有：（b）式中有三个未知常数，二个方程不通用确定。对于多连体问题，位移须满足位移单值条件。位移多值项要使单值，须有：B=0，由式（b）得q1q2rR将应力分量代入，有：（b）式中有三个未知常数，二个方程不通用59将其代回应力分量，有：q1q2rR将其代回应力分量，有：q1q2rR60（1）若：(二向等压情况)（2）若：（压应力）（拉应力）q1（1）若：(二向等压情况)（2）若：（压应力）（拉应力）q61（3）若：（压应力）（压应力）q2q1q2rR（3）若：（压应力）（压应力）q2q1q2rR62q1（4）若：——具有圆形孔道的无限大弹性体。边缘处的应力：rq1（4）若：——具有圆形孔道的无限大弹性体。边缘处的应634.8圆孔的孔边应力集中1.孔边应力集中概念由于弹性体中存在小孔，使得孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力。称为孔边的应力集中。应力集中系数：与孔的形状有关，是局部现象；与孔的大小几乎无关。（圆孔为最小，其它形状较大）4.8圆孔的孔边应力集中1.孔边应力集中概念642.孔边应力集中问题的求解

（1）问题：带有圆孔的无限大板（B>>r），圆孔半径为r，在四边处受有均匀拉应力

q

作用。求：孔边附近的应力。qxyqqqxyqqq

（2）问题：带有圆孔的无限大板（B>>r），圆孔半径为r，在左右边处受有均匀拉应力

q

作用，上下边处受有均匀压应力

q

作用。求：孔边附近的应力。2.孔边应力集中问题的求解（1）问题：带有圆孔的无限大板65问题1分析坐标系：就外边界（直线），就内边界（圆孔），取一半径为r

=R(R>>r），在其上取一点A的应力：由应力转换公式：qqqrqqq宜用直角坐标；xy宜用极坐标。A问题1分析坐标系：就外边界（直线），就内边界（圆孔），66原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。问题1的解：内边界外边界qqqrqqqxyA问题1Rr原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。问题1的解67

该问题为轴对称问题，其解为

当R>>r时，有问题1Rr该问题为轴对称问题，其解为当R>>r时，有问题168问题2分析取一半径为r

=R(R>>r），在其上取一点A的应力：由应力转换公式：xyqqrqqqRA问题2分析取一半径为r=R(R>>r），在其上取69问题2的解：（非轴对称问题）内边界外边界qxyqqRrqqRr问题2原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的问题。问题2的解：（非轴对称问题）内边界外边界qxyqqRrqq70

由边界条件，可假设：

又由极坐标下的应力分量表达式：

可假设应力函数为：代入相容方程：为r

的某一函数乘以。为r

的某一函数乘以；由边界条件，可假设：又由极坐标下的应力分量表达式：可假71令：有特征方程：特征根为：方程的解为：令：有特征方程：特征根为：方程的解为：72

相应的应力分量：相应的应力分量：73应用边界条件,有内边界外边界求解A、B、C、D，然后令r/R=0，得应用边界条件,有内边界外边界求解A、B、C、D，然后令74应力分量:将问题1和问题2的解相加除以2,得：——齐尔西（G.Kirsch）解ARr应力分量:将问题1和问题2的解相加除以2,得：——齐尔75讨论：（1）沿孔边，r

=r，环向正应力：3q2qq0－q90°60°45°30°0°（2）沿y轴，j

=90°，环向正应力：1.04q1.07q1.22q3q4r3r2rrrARr讨论：（1）沿孔边，r=r，环向正应力：3q2qq0－q76（3）沿x轴，j

=0°，环向正应力：（3）沿x轴，j=0°，环向正应力：77（4）若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力q1、q2作用q1q2q2q1叠加后的应力：（4）若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力q1、q2作用78（5）任意形状薄板（或长柱）受面力

作用，在距边界较远处有一小孔。只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：45°（5）任意形状薄板（或长柱）受面力作用，在距边界较远处有一794.9半平面体在边界上受集中力1.半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力F

（单位厚度），与中心线的夹角为b，（1）应力函数的确定量纲分析法：FxyOb——半逆解法求：4.9半平面体在边界上受集中力1.半平面体在边界上受集中力80由应力函数与应力分量间的微分关系，可推断：（a）将其代入相容方程，以确定函数：得：由应力函数与应力分量间的微分关系，可推断：（a）将其代入相81——4阶常系数齐次常微分方程其通解为：其中A，B，C，D为积分常数。将其代入应力函数表达式：xy（对应于无应力状态）——4阶常系数齐次常微分方程其通解为：其中A，B，C，D为82（2）应力分量的确定边界条件：（1）——自然满足（b）FxyOb（2）应力分量的确定边界条件：（1）——自然满足（b）F83（2）O点的边界条件：任取一圆弧，将式（b）代入，有：FxyOb其上的应力ba应与O点的的力F平衡。（2）O点的边界条件：任取一圆弧，将式（b）代84积分得：可解得：代入式（b）得：FxyObba积分得：可解得：代入式（b）得：FxyObba85FxyO2.受法向集中力——极坐标表示的应力分量利用极坐标与直角坐标的应力转换式可求得FxyO2.受法向集中力——极坐标表示的应力分量利用86FxyO或将其改为直角坐标表示，有——直角坐标表示的应力分量FxyO或将其改为直角坐标表示，有——直角坐标表示的应873.位移分量假定为平面应力情形。其极坐标形式的物理方程为将式代入FxyO3.位移分量假定为平面应力情形。其极坐标形式的物理方程为将88由几何方程(c)由几何方程(c)89常数I

须由铅垂方向（x方向）位移条件确定。由式（c）得：(d)由问题的对称性，有：FxyO常数I须由铅垂方向（x方向）位移条件确定。由式（c）904.边界沉陷计算FxyOrMM点的下沉量：

由于常数I

无法确定，所以只能求得的相对沉陷量。为此，在边界上取一基准点B。M点相对于基准点B的沉陷为Bs4.边界沉陷计算FxyOrMM点的下沉量：由于91FxyOrMBs简化后得：符拉芒（A.Flamant）公式对平面应变情形：FxyOrMBs简化后得：符拉芒（A.Flamant）公式924.10半平面体在边界上受分布力FxyO1.应力分量dF作用在原点O，则有4.10半平面体在边界上受分布力FxyO1.应力分量d93dF作用在原点O，则有dF作用在距原点时，dF作用在原点O，则有dF作用在距原点时，94将上式在AB区间上积分，得式中，需将分布力集度