6.-5最小费用最大流问题

第五节

最小费用最大流问题6.-5最小费用最大流问题一、基本概念1、什么是最小费用最大流问题？对每一条弧都给出单位流量费用的容量网络D=（V，A，B）（称为费用容量网络）中，求取最大流X，使输送流量的总费用

C（X）=∑cijxij为最小的一类优化问题。其中，bij表示弧（vi，vj）上的容量，xij表示弧（vi，vj）上的流量，cij表示弧（vi，vj）上通过单位流量所花费的费用。6.-5最小费用最大流问题2、最小费用流

对一费用容量网络，具有相同流量f的可行流中，总费用最小的可行流称为该费用容量网络关于流量f的最小费用流，简称流量为f的最小费用流。6.-5最小费用最大流问题从上节可知，寻求最大流的方法是从某个可行流出发，找到关于这个流的一条增广链μ。沿着μ调整f，对新的可行流试图寻求关于它的增广链，如此反复直至最大流。现在，要寻求最小费用的最大流，我们首先考察一下，当沿着一条关于可行流f的增广链μ，以ε=1调整f，得到新的可行流f′（显然v（f′）=v（f）+1）时，C（f′）比C（f）增加多少(输送流量的总费用

)？6.-5最小费用最大流问题3、增广链的费用当沿着一条关于可行流X的增广链（流量修正路线）μ，以修正量ε=1进行调整，得到新的可行流，则称C（）-C（X）为

增广链μ的费用。6.-5最小费用最大流问题②增广链μ的费用就是以单位调整量调整可行流时所付出的费用；③当修正量ε=1时，此时，

①的流量f()=f(X)+1；C()-C(X)=6.-5最小费用最大流问题二、求解最小费用最大流问题的对偶法1、求解途径：（1）始终保持网络中的可行流是最小费用流，然后不断调整，使流量逐步增大，最终成为最小费用的最大流；（2）始终保持可行流是最大流，通过不断调整使费用逐步减小，最终成为最大流量的最小费用流。6.-5最小费用最大流问题2、算法原理（1）定理若X是流量为f(X)的最小费用流，μ是关于X的所有增广链中费用最小的增广链，那么沿着μ去调整X得到的新的可行流就是流量为f()的最小费用流。6.-5最小费用最大流问题（2）实现思路基于第一种求解途径，根据上述定理，只要找到最小费用增广链，在该链上调整流量，得到增加流量后的最小费用流。循环往复直至求出最小费用最大流。6.-5最小费用最大流问题对偶法原理和步骤求最大流Ford算法找从vs到vt的最短增广链调整流量得费用最小的可行流将0流作为初始可行流Yes绘制扩展费用网络No流量等于最大流?得最小费用最大流确保流量最大确保费用最小6.-5最小费用最大流问题

实施中的关键

构造增广费用网络图（即扩展费用网络图），借助最短路算法寻找最小费用增广链。

为什么?理由:正向饱和弧不标记,反向零流弧不标记。

—不构造增广费用网络,就无法调整流量(1)饱和弧,流量无法减小;(2)非饱和弧,流量只能增加,不能减小;增广链流量调整：正向弧增加流量，反向弧减少流量。6.-5最小费用最大流问题零流弧上

Wij=cij

原有弧（流量可以增加）∞后加弧（流量不能再减少）

饱和弧上wij=∞原有弧（流量不能再增加）

-cij

后加弧（流量可以减少）

非饱和且非零流

(0<xij<bij)弧上

cij

原有弧（流量可以增加）

-cij

后加弧（流量可以减少）

Wij=增广费用网络图的构造方法将网络中的每一条弧（vi,vj）都变成一对方向相反的弧，以形成四通八达的“路”，权数定义如下：

6.-5最小费用最大流问题将上述思想加以简化，出现∞处相应的弧不画，按下面的方法具体构造增广费用网络图：

零流弧上，保持原弧不变，将单位费用作为权数，即wij=cij:

Vi

Vj原网络

Vi

Vj增广费用网络6.-5最小费用最大流问题非饱和弧上，原有弧以单位费用作权数，后加弧（虚线弧）以单位费用的负数作权数：ViVj原网络ViVj增广费用网络6.-5最小费用最大流问题饱和弧上,去掉原有弧,添上后加弧(虚线弧),权数为单位费用的负数：ViVj原网络ViVj(bij,-cij)增广费用网络6.-5最小费用最大流问题

于是，在容量网络中寻找最小费用增广链就相当于在增广费用网络图（扩展费用网络图）中寻找从发点到收点的最短路。注意将找到的最短路还原到原网络图中（虚线弧改成原图中的反向弧）。6.-5最小费用最大流问题3、步骤：第一步---用Ford-Fukerson算法求出该容量网络的最大流量fmax；（本步骤的作用是什么？）第二步---取初始可行流为零流，其必为流量为0的最小费用流（为什么？）6.-5最小费用最大流问题

第三步---一般为第k-1次迭代，得一最小费用流X(k-1)

，对当前可行流构造增广费用网络图W(X(k-1))，用最短路算法求出从发点到收点的最短路。

若不存在最短路，则X(k-1)即最小费用最大流，停止迭代；

否则，转下一步。

6.-5最小费用最大流问题

第四步---将最短路还原成原网络图中的最小费用增广链μ，在μ上对可行流X(k-1)进行调整，得到新的可行流图，若其流量等于fmax,迭代结束。否则转入第一步，进入下一次迭代过程。6.-5最小费用最大流问题4、举例增广费用网络图(容量费用图(bij,cij))

可行流图

(流量网络(bij,cij,xij))vsvtv2v3v1(10,7)(7,7)(8,4)(10,4)(4,4)(5,0)(2,0)最大流图fmax=11(未标费用)第0次迭代6.-5最小费用最大流问题vsvtv2v3v1(10,4)(7,1)(8,1)(10,3)(4,2)(5,2)(2,6)(5,2,5)(7,1,5)vsvtv2v3v1(10,4,0)(8,1,5)(10,3,0)(4,2,0)(2,6,0)第1次迭代①原图全部是零流弧,保持原边不变,单位费用为权；②所有的权均大于零，可用D氏标号法求出最短路：恰也是最小费用增广链。

①流量调整量ε1=min{8-0,5-0,7-0}=5

总流量f1=5②最小费用增广链的费用∑cij=1+2+1=4③总费用C1=4×5=20

6.-5最小费用最大流问题第2次迭代(3,1)v1vt(5,-2)(2,6)v2v3(10,4)(5,-1)(10,3)(4,2)（2,1）vs（5，-1）(7,1,7)vsvtv2v3v1(10,4,2)(8,1,5)(10,3,0)(4,2,0)(2,6,0)(5,2,5)①零流弧保持原边,非饱和非零流弧(vs,v2)和(v1,vt)增添后加弧,饱和弧(v2,v1)去掉原弧增添后加弧；②用列表法求出最短路:恰也是最小费用增广链。①流量调整量ε2=min{10-0,2-0(7-5)}=2，总流量=原流量+新增流量

=5+2=7；②最小费用增广链的费用∑cij=4+1=5③总费用C2=原费用+新增费用=20+5×2=306.-5最小费用最大流问题vsvtv2v3v1(8,4)（2,-4）(5,-1)(7,-1)(10,3)(4,2)(2,6)(5,-2)(3,1)①零流弧保持原边，此外的非饱和弧增添后加弧，饱和弧去掉原边增添反向虚线弧②用列表法求得最短路恰也是最小费用增广链。①流量调整量ε3=min{3，10,4}=3，总流量=原流量+新增流量

=7+3=10；②最小费用增广链的费用∑cij=1+3+2=6③总费用C2=原费用+新增费用=30+6×3=48第3次迭代(7,1,7)vsvtv2v3v1(10,4,2)(8,1,8)(10,3,3)(4,2,3)(2,6,0)(5,2,5)6.-5最小费用最大流问题(2,6)(7,3)(8,4)vsvtv2v3v1(3,-3)(7,-1,)(8,-1)(3,-2)（1,2）(2,-4)（5,-2）①零流弧保持原边，此外的非饱和弧增添后加弧，饱和弧去掉原边增添反向虚线弧；②用列表法求得最短路

③对应的最小费用增广链是①流量调整量ε4=min{8,5,7,1}=1，总流量=原流量+新增流量=10+1=11；②最小费用增广链的费用∑cij=4-2+3+2=7③总费用C2=原费用+新增费用

=48+7×1=55。由于总流量11已达到最大流量，故停止迭代，当前的可行流图即最大流图。第4次迭代(7,1,7)vsvtv2v3v1(10,4,3)(8,1,8)(10,3,4)(4,2,4)(2,6,0)(5,2,4)6.-5最小费用最大流问题举例—求最小费用-最大流问题求下图中网络从到的最小费用最大流，图中弧上的数字为。vsv2v3v4v5vt6.-5最小费用最大流问题vsv2v3v4v5vt(0)求网络的最大流量由前面计算知，。将0流作为初始可行流。①扩展费用网络与原网络相同(1)第一次迭代：②用Ford算法求最短增广链，路线是vs—v3—v5—vt6.-5最小费用最大流问题vsv2v3v4v5vt③调整流量：在增广链上有：在初始可行流的基础上调整流量④得到新的可行流，刷新网络图（bij,cij,xij）6.-5最小费用最大流问题(2)第二次迭代①扩展费用网络vsv2v3v4v5vt饱和弧—只能减小流量，单位费用减少3（1）流量还可增加3，单位费用6；（2）流量也可减小，当前流量为6，每减单位流量，费用节省6。（1）流量还可增加4，单位费用1；（2）流量也可减小，当前流量为6，每减单位流量，费用节省1。6.-5最小费用最大流问题②用Ford算法求最短增广链，路线是vs—v2—v5—vtvsv2v3v4v5vt在原可行流基础上调整流量④得到新的可行流，刷新网络图6.-5最小费用最大流问题(3)第三次迭代①扩展费用网络vsv2v3v4v5vt②用Ford算法求最短增广链，路线是vs—v2—v4—vt6.-5最小费用最大流问题③调整流量：在增广链上有：在初始可行