【七年级】半角模型

【七年级】半角模型一、90°+45°模型问题描述：如图，正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°，连接EF。结论1：EF=BE+DF。证明：延长CD至点G使得DG=BE。在△ABE和△ADG中，有AB=AD，∠ABE=∠ADG，BE=DG。∴△ABE≌△ADG（SAS）。∴AE=AG，∠BAE=∠DAG。因为∠EAF=45°，所以∠BAE+∠DAF=45°。∴∠GAF=∠GAD+∠DAF=∠BAE+∠DAF=45°。在△AEF和△AGF中，有AE=AG，∠EAF=∠GAF，AF=AF。∴△AFE≌△AFG（SAS）。∴EF=GF。因为GF=∠DF+∠DG=∠DF+BE，∴EF=BE+DF。结论2：EA平分∠BEF；FA平分∠DFE。在△ABE和△ADG中，有∠AEB=∠G。∵△AEF≌△AGF，∴∠AEF=∠G。∴∠AEB=∠AEF，∴EA平分∠BEF。在△AEF和△AGF中，有∠AFE=∠AFG，∴FA平分∠DFE。结论3：过点A作AH⊥EF交EF于点H，则：△ABE≌△AHE；△AHF≌△ADF；AH=AB=AD。在△ABE和△AHE中，有∠ABE=∠AHE，AE=AE，BE=HE。∴△ABE≌△AHE（AAS）。同理可证：△AHF≌△ADF。∴AB=AH=AD。二、结论变式：若E、F分别在CB、DC延长线上时，求证：EF=DF-BE。证明：在DF边上取点G使得DG=BE。在△ABE和△ADG中，有AB=AD，∠ABE=∠ADG，BE=DG。∴△ABE≌△ADG（SAS）。∴AE=AG，BE=DG，∠BAE=∠DAG。因为∠BAE+∠BAF=45°，∴∠DAG+∠BAF=45°，∴∠GAF=45°。在△EAF和△GAF中，有AE=AG，∠EAF=∠GAF，AF=AF。∴△AEF≌△AGF（SAS）。∴EF=GF。因为GF=DF-DG=DF-BE，∴EF=DF-BE。【小结】在半角模型中，构造旋转是关键。需要满足角含半角，邻边相等，对角互补三个条件。通过旋转，可以构造出一组相等角，再利用对称型全等解决问题。1.条件变式在正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，连接EF，若EF=BE+DF，求证：∠EAF=45°。【改写】正方形ABCD中，连接BC、CD的点E、F分别与EF相连，若EF等于BE和DF之和，证明∠EAF等于45°。2.120°+60°模型在等边三角形ABC中，BD=CD且∠BDC=120°，E、F在直线AB、AC上且∠EDF=60°，求证EF=BE+CF。【改写】等边三角形ABC中，BD等于CD且∠BDC等于120°。直线AB、AC上的点E、F满足∠EDF等于60°，证明EF等于BE和CF之和。3.半角模型总结半角模型中，构造旋转是关键。需要满足角含半角，邻边相等，对角互补三个条件。通过旋转，可以构造出一组相等角，再利用对称型全等解决问题。【改写】在半角模型中，构造旋转至关重要。必须满足角含半角、邻边相等和对角互补三个条件。通过旋转，可以得到一组相等角，进而利用对称型全等解决问题。根据题目中给出的证明过程，我们可以将文章进行格式化和改写：证明：首先，我们延长CD至点G，使得BG=DF。由于∠ABC+∠ABG=180°，∠D+∠ABC=180°，因此∠ABG=∠D。在△ABG和△ADF中，由于：-AB=AD-∠ABG=∠ADF-BG=DF根据SAS（边角边）相似性质，我们可以得到△ABG≌△ADF。因此，AG=AF，且∠BAG=∠DAF。接下来，我们观察△EAF和△BAD，可以发现∠EAF=∠BAD。因此，我们可以得到：-∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠BAG+∠BAE=∠BAD即，∠EAG=∠BAD=∠EAF。接着，在△EAG和△EAF中，由于：-AE=AE-∠EAG=∠EAF-AG=AF根据SAS相似性质，我们可以得到△AEG≌△AEF。因此，EF=EG=BE+BG=BE+DF，所以EF=BE+DF。接下来，我们连接AD，与AE、AF分别交于M、N，则有MN2=BM2+DN2。为了证明这个结论，我们构造△ADM’≌△ABM，可以得到AM=AM’，∠MAN=∠M’AN，BM=DM’。因此，△AMN≌△AM’N（SAS），所以MN=M’N。又因为△M’DN是直角三角形，所以M'N2=M'D2+DN2，进而得到MN2=BM2+DN2。此外，我们还可以得到以下拓展结论：-若BE=BC，则点F是CD边中点。反之亦然。-A、B、E、N四点共圆，A、D、F、M四点共圆。-M、