黑龙江省佳木斯市汤原县高级中学2023年数学高二第二学期期末考试试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A． B． C． D．2．已知函数，，若关于的方程有6个不相等的实数解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．用数学归纳法证明时，由时的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（）A． B．C． D．4．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的的值为（）(参考数据：，，）A．12 B．24 C．48 D．965．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A． B． C． D．6．在中，，，，则等于()A．或 B． C．或 D．7．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()A． B． C． D．8．在正方体中，E是棱的中点，点M，N分别是线段与线段上的动点，当点M，N之间的距离最小时，异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C．D9．在极坐标系中,点与之间的距离为(

)A．1 B．2 C．3 D．410．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为()A．(－1,4) B．(－2,0) C．(－1,0) D．(－1,2)11．已知等差数列的第项是二项式展开式的常数项，则（）A．B．C．D．12．已知扇形的圆心角为弧度，半径为，则扇形的面积是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．执行如图所示的伪代码,则输出的S的值是_______.14．已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于A，B两点．O为坐标原点．若△OAB的面积为2，则的值为_______.15．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________.16．命题“若，则”的否命题为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在三棱柱ABC−中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==1．（1）求证：AC⊥平面BEF；（1）求二面角B−CD−C1的余弦值；（3）证明：直线FG与平面BCD相交．18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上一点，若点到曲线的最小距离为，求的值．19．（12分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在1565岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄支持“延迟退休”的人数155152817（1）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45岁以下45岁以上总计支持不支持总计（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率.②记抽到45岁以上的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.20．（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围.21．（12分）某地区为了解群众上下班共享单车使用情况，根据年龄按分层抽样的方式调查了该地区50名群众，他们的年龄频数及使用共享单车人数分布如下表：年龄段20~2930~3940~4950~60频数1218155经常使用共享单车61251（1）由以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用共享单车有差异？年龄低于40岁年龄不低于40岁总计经常使用共享单车不经常使用共享单车总计附：，.0.250.150.100.0500.0250.0101.3232.0722.7063.8415.0246.635（2）若采用分层抽样的方式从年龄低于40岁且经常使用共享单车的群众中选出6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中恰好有1人年龄在30~39岁的概率.22．（10分）甲盒有标号分别为1、2、3的3个红球;乙盒有标号分别为1、2、3、4的4个黑球,从甲、乙两盒中各抽取一个小球.(1)求抽到红球和黑球的标号都是偶数的概率;(2)现从甲乙两盒各随机抽取1个小球,记其标号的差的绝对值为,求的分布列和数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

分析：先求出A集合，然后由图中阴影可知在集合A中出去A,B的交集部分即可.详解：由题得：所以故有题中阴影部分可知：阴影部分表示的集合为故选D.点睛：考查集合的交集和补集，对定义的理解是解题关键，属于基础题.2、A【解析】令g(x)=t,则方程f(t)=λ的解有3个，由图象可得，0<λ<1.且三个解分别为，则，，均有两个不相等的实根，则△1>0,且△2>0,且△3>0，即16−4(2+5λ)>0且16−4(2+3λ)>0,解得，当0<λ<时,△3=16−4(1+4λ−)>0即3−4λ+>0恒成立，故λ的取值范围为(0,).故选D.点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识．3、B【解析】因为当时，等式的左边是，所以当时，等式的左边是，多增加了，应选答案B．点睛：解答本题的关键是搞清楚当时，等式的左边的结构形式，当时，等式的左边的结构形式是，最终确定添加的项是什么，使得问题获解．4、B【解析】

列出循环过程中与的数值，满足判断框的条件即可结束循环.【详解】解：模拟执行程序，可得：

，

不满足条件，

不满足条件，

满足条件，退出循环，输出的值为.

故选：B.【点睛】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题.5、B【解析】分析：求出A（﹣3，0），B（0，﹣3），|AB|=，设P（1+，），点P到直线x+y+2=0的距离：d=，∈，由此能求出△ABP面积的取值范围．详解：∵直线x+y+3=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴令x=0，得y=﹣3，令y=0，得x=﹣3，∴A（﹣3，0），B（0，﹣3），|AB|=，∵点P在圆（x﹣1）2+y2=2上，∴设P（1+，），∴点P到直线x+y+3=0的距离：d=，∵sin∈[﹣1，1]，∴d=，∴△ABP面积的最小值为△ABP面积的最大值为故答案为：B．点睛：（1）本题主要考查直线与圆的位置关系和三角形的面积，考查圆的参数方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设点P（1+，），利用圆的参数方程设点大大地提高了解题效率.6、D【解析】

已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，先由正弦定理求，再求.【详解】由正弦定理，可得.由，可得，所以.故选D.【点睛】本题考查正弦定理的应用.已知两边及其中一边的对角，由正弦定理求另一边的对角，要注意判断解的个数.7、C【解析】试题分析：第一步从后排8人中选2人有种方法，第二步6人前排排列，先排列选出的2人有种方法，再排列其余4人只有1种方法，因此所有的方法总数的种数是考点：排列组合点评：此类题目的求解一般遵循先选择后排列，结合分步计数原理的方法8、A【解析】

以A为坐标原点，以，，为x，y，z轴正向建系，设，，,,,设，得，求出取最小值时值，然后求的夹角的余弦值．【详解】以A为坐标原点，以，，为x，y，z轴正向建系，设，，,,,设，由得，则，当即，时，取最小值.此时，，令．得．故选：A.【点睛】本题考查求异面直线所成的角，解题关键求得的取最小值时的位置．解题方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法表示距离、求角．9、B【解析】

可先求出判断为等边三角形即可得到答案.【详解】解析：由与,知,所以为等边三角形,因此【点睛】本题主要考查极坐标点间的距离，意在考查学生的转化能力及计算能力，难度不大.10、A【解析】

根据函数的奇偶性和周期性将条件进行转化，利用不等式的解法即可得到结论．【详解】∵f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，∴f（5）=f（5﹣6）=f（﹣1）=f（1），∴由f（1）＜1，f（5）=，得f（5）=＜1，即﹣1＜0，＜0，即（a﹣4）（a+1）＜0，解得：﹣1＜a＜4，故选：A．【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键．11、C【解析】试题分析：二项式展开中常数项肯定不含，所以为，所以原二项式展开中的常数项应该为，即，则，故本题的正确选项为C.考点：二项式定理.12、D【解析】

利用扇形面积公式（为扇形的圆心角的弧度数，为扇形的半径），可计算出扇形的面积.【详解】由题意可知，扇形的面积为，故选D.【点睛】本题考查扇形面积的计算，意在考查扇形公式的理解与应用，考查计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、110【解析】

分析程序中各变量、各语句的作用，再根据顺序，可知：该程序的作用是累加并输出的值，利用等差数列的求和公式计算即可得解.【详解】分析程序中各变量、各语句的作用，根据顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件的值，由于，故输出的的值为：，故答案是：.【点睛】该题考查的用伪代码表示的循环结构的程序的相关计算，考查学生的运算求解能力，属于简单题目.14、【解析】

分析：求出双曲线的两条渐近线方程与抛物线的准线方程，进而求出两点坐标，再由的面积为，列出方程列方程求解即可.详解：双曲线的两条渐近线方程，又抛物线的准线方程是，故两点的横坐标坐标分别是，又的面积为1，，得，故答案为.点睛：本题主要考查双曲线的几何性质以及抛物线的几何性质，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系15、288【解析】

用排除法，先计算2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻的方法数，从2，4，6三个偶数中任意取出2个看作一个整体，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的四个空中，减去1在左右两端的情况，即可.【详解】从2，4，6三个偶数中任意取出2个看作一个整体，方法有种，先排三个奇数，有种，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的四个空中，方法有种根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有：种若1排在两端，3个奇数的排法有种，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的3个空中，方法有种，根据分步计数原理求得此时满足条件的6位数共有种故满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻的六位数有种故答案为：288【点睛】本题考查了排列组合在数字排列中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.16、若，则【解析】

试题分析：否命题是对命题的条件和结论同时否定，同时否定和即可.命题“若，则”的否命题为:若，则考点：四种命题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(2)见解析（2）；（3）见解析．【解析】

分析：（2）由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得，因此，最后根据线面垂直判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面BCD一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果，（3）根据平面BCD一个法向量与直线FG方向向量数量积不为零，可得结论.详解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A2B2C2中，∵CC2⊥平面ABC，∴四边形A2ACC2为矩形．又E，F分别为AC，A2C2的中点，∴AC⊥EF．∵AB=BC．∴AC⊥BE，∴AC⊥平面BEF．（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC2．又CC2⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．如图建立空间直角坐称系E-xyz．由题意得B（0，2，0），C（-2，0，0），D（2，0，2），F（0，0，2），G（0，2，2）．∴，设平面BCD的法向量为，∴，∴，令a=2，则b=-2，c=-4，∴平面BCD的法向量，又∵平面CDC2的法向量为，∴．由图可得二面角B-CD-C2为钝角，所以二面角B-CD-C2的余弦值为．（Ⅲ）平面BCD的法向量为，∵G（0，2，2），F（0，0，2），∴，∴，∴与不垂直，∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(2)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.18、（1），；（2）或【解析】

分析：（1）由曲线的参数方程，利用代入法消去参数，可得的普通方程，由曲线的极坐标方程得，利用互化公式可得的直角坐标方程；（2）设曲线上任意一点为，，利用点到直线距离公式结合辅助角公式，由三角函数的有界性可得结果.详解：（1）由曲线的参数方程，消去参数，可得的普通方程为：．由曲线的极坐标方程得，，∴曲线的直角坐标方程为．（2）设曲线上任意一点为，，则点到曲线的距离为．∵，∴，，当时，即；当时，．∴或．点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．19、(1)列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”有差异.(2)①.②分布列见解析，.【解析】

分析：（1）根据频率分布直方图得到45岁以下与45岁以上的人数，由此可得列联表，求得后在结合临界值表可得结论．（2）①结合条件概率的计算方法求解；②由题意可得的可能取值为0,1,2，分别求出对应的概率后可得分布列和期望．详解：（1）由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，故可得列联表如下：45岁以下45岁以上总计支持354580不支持15520总计5050100由列联表可得，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．（2）①从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．设“抽到1人是45岁以下”为事件A，“抽到的另一人是45岁以上”为事件B，则,∴,即抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率为．②从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．由题意得的可能取值为0,1,2.，，.故随机变量的分布列为：012所以.20、（1）（2）【解析】试题分析：（1）由已知，根据解析式中绝对值的零点（即绝对值等于零时的值），将函数的定义域分成若干段，从而去掉绝对值号，再分别计算各段函数的相应不等式的解集，从而求出原不等式的解集；（2）由题意，将不等式转化为，可构造新函数，则问题再转化为，由（1）可得，即，从而问题可得解.试题解析：（1）因为，所以当时，由得；当时，由得；当时，由得.综上，的解集为.（2）（方法一）由得，因为，当且仅当取等号，所以当时，取得最小值5，所以当时，取得最小值5，故