2023年高中学业水平考试数学总复习：第二章　一元二次函数 方程和不等式

2023年高中学业水平考试数学总复习：第二章

一元二次函数.方程和不等式

赢在考情菽有

嬴在考点5r砥

章东综合测试

就在考情精折

考点课标解读

不等式的性1.不等关系

质及其应用了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.

基本不等式

2.基本不等式：-Vab(a^0,Z>^0)

及其应用2

⑴了解基本不等式的证明过程.

(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

二次函数与3.一元二次不等式

F二防⑴会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.

程、不等式(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方

程的联系.

⑶会解F二次不等式.

导航

赢在考点洌练

考点1不等式的性质及其应用

夯三三三实三三三三基三三三础三一

1.两个实数比较大小的方法

a—b>0=a>b,

a-b=0a=b,

{a—b<0=a<b.

弓>10a>b(aeR,b>0),

(2)作商法=1Qa=b(aCR,b〉0),

E<1=a<b(aER,b>0).

导航

2.不等式的性质

(1)对称性：〃>力=力<〃.

⑵传递性:a>b^b>c^>a>c.

(3)可力口性:〃>/=〃+c>b+c;a>b,c>doa+c>b+d.

(4)可乘，性>力。;〃>力>。/>冷。>bd.

⑸可乘方:〃>力>0=〃，>bn(nwN/21).

(6)可开方:。>6>0=>电^>eN,〃，2).

导航

提二二二二二升.二二二二二能二二二二二力

考向1不等式的性质

典型例题1。

对于实数”也G下列命题中正确的个数为()

①若。>仇则ac>bc;②若。。2>左2,则a>b;

③若贝！J.>④若a>心>3则a>Q>b.

c—ac-bab

A.lB.2

C.3D.4

导航

【解析】对于①冷。=0,则有〃c=〃G①错误・

对于②,由知.二二〃>4②正确.

对于③c>a>b>0=c-a>°，c—0/

"a>b=>—aV-b=c-a<c—b」

11c

=0<c—a<c—bn—>F>°，

c—ac-b—>二，③正确.

a>b>0c—ac—b

a>b^a-b>0,ab<0,

对于④工〉工=3〉0卜〃>0/vO,④正确.

a>b

abab

综上，正确的为②③④.

【答案】C

导航

【名师点拨】解决此类问题常用两种方法

⑴直接使用不等式的性质逐个验证.

(2)利用特殊值法排除错误答案.

导航

e针对训练1°

1.已知d4GdeR,且仍>0,一2一%则（B）

A.bc<adB.bc>ad

C.->JD.-<?

caca

【解析】因为〃A>0,一2一所以一AH—即bc>ad.

ab

导航

2.已知名仇c满足且〃cvO,那么下列选项中一定成立的是

(A)

A.ab>acB.c(b—a)<0

C.cb2<ab2T).ac(a—c)>0

［解析］由c<方v%且〃cvO,知c<0且〃>0.

由b>G得ab>ac一定成立.

导航

3.若〃>A>O,cvdvO,贝！|一定有(B)

.ab公ab

A.->-B.-<-

acac

—ab0ab

C->-D-<-

caca

【解析】因为cv4〈O,所以一c>一冷0,

即得4>—>0.

—d—c

又〃>方>0,所以£>从而有孑<

一d-cdc

导航

考向2不等式性质的应用

e典型例题2e

.（答案用区间表示）

导航

L解析】设2x—37=阳(*+丁)+%(枭-J)=(M+H)X+(阳—n)y^

(m+n=2m=—

所以%解得2

vm—n=—J,5

n=-2.

11515

：,~2<—~(x+y)<^5<-(x—y)<—,

15

：,3<—~(x+y)+-(x—y)<8,

即3V2x-37v8.

【答案】(3,8)

【名师点拨】利用不等式性质求代数式的取值范围的注意事

项

(1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质.

(2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，

切不可用“似乎是很显然”的理由，代替不等式的性质，如心〃

及c>4推不出由心心推不出〃2>力2等.

(3)准确使用不等式的性质,不能出现同向不等式相减、相除

的错误.

导航

4包■又寸训I练2Q

1.若一则下列各式中恒成立的是（A）

A.—2<a—//<0B.—2<a~fi<-1

C.—\<a—/?<0D.一1v”—fi<l

【解析】由—l<a<l9—l〈0vl,得—1v-/?vl,所以一2v”—p<2.

又因为故一2<a

导航

2.已知一1W〃+8W5JW〃一力W3,则|〃一3力的取值范围为（C）

A.[2,6]B.[-54]

C.[-3,7]D.[-3,5]

L解析]设〃—3b=x(a+b)+y(a—b)=(x+y)a+(x—y)b^

所以:+;=：‘3解得｛；=2a—3b=—(a+b)+2(a—b).

因为一lWa+方W5,所以一5W—(a+b)1;

因为1W“一AW3,所以2W2(a—6)W6.两个同向不等式相加1,得

—3W—(a+b)+2(a—即一-3〃W7.故选C.

导航

一二学二二二二二业二二二二二达二二二二二标---

1.（2020♦广东梅州学业水平模拟）若心"c>4则下列不等关系

中不一定成立的是（A）

A.a-b>c—d

B.a+c>b+d

C.a-c>b—c

D・〃-c<a—d

【解析】'.'a>b^c>d^---a+c>b+d^a—c>b—G—C<-d,a—c<a—d.

a—b>c—"不一定成立.故选A.

导航

2.(2019•广东湛江学业水平模拟)若见仇cWR,给出下列命题:

①若〃>4c>4贝!|〃+0>〃+";(§)若〃>a0>4贝!|〃-0>分一〃;(§)若

〃>4c>",贝!④若〃>40>0,贝!

其中正确命题的序号是(B)

A.①②④B.①④

C.①③④D.②③

导航

［解析】①4池c>&由不等式的可加性得a+c>〃+&

故①正确；

②由①正确，可知②不正确；

③取4>-2,—1>一3,则4乂（一1）>（一2）义（一3）不成立,

故③不正确；

④<4c>0,---ac>bc.故④正确.

综上可知,只有①④正确.故选B.

导航

3.（2018♦广东中山期末）若”=k）g20.3/=2%c=0.32,则“也c三者

的大小关系为（A）

A.b>c>aB.c>b>a

C.c>a>bD.b>a>c

【解析】尸1咯%是增函数,

a=log20.3<log2l=0,

力=2%是增函数,•••〃=2。・3>20=1,

又c=0.32=0.09,.'.0<c<l,b>c>a.

导航

1-0.8

4.（2019,广东佛山学业水平模拟）已知〃=21・2乃=QI5c=log549

则4也C的大小关系为（A）

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<a<cD.b<c<a

L2<=8

【解析】a=2>24^2°-<2,c=log54<l^a>6>c.

导航

5.（2020•广东韶关学业水平模拟）使不等式0<-<1成立的一个充分

不必要条件是（C）

A.0<^c<-B.x>l

2

C.x>2D.x<0

【解析】不等式0Jvl,

x

（x>0

•••工<1，解得Ql,

1%

故不等式的解集为（1,+8）,

则其一个充分不必要条件可以是>2,故选C.

导航

6.若*<0凶=5*2+*+2产4x(x+l)则席与N的大小关系为(A)

A.M>NB.M=N

C.M<ND.无法确定

【解析1M—7V=5x2+x+2—4x(x+l)=*2—3x+2=(x—l)(x—2),

\x<0,

.--x—1<0^—2<0,

---(x—l)(x—2)>0,

故选A.

导航

7.（2017•广东汕头高一检测）若Iv“v3.-4v//v2.则”一网的取

值范围是(—3,3)

【解析】•••一4亦2/代叫＜4.

----4<一-3<a—1/?|<3.

导航

考点2基本不等式及其应用

夯二二二二二实二二二二二基二二二二二础

1.基本不等式:，话＜a+b

2

(1)基本不等式成立的条件:〃＞0乃＞0.

⑵等号成立购券件:当且仅当a=b时取等号.

⑶其中*称为正数〃力的算术平均数,而

称为正数〃乃的几何平均数.

导航

2.几个重要的不等式

⑴〃2+"》2ab4WR）.当且仅当〃=力时取等号.

2

⑵（当）（卬〃£R）,当且仅当。=〃时取等号.

⑶号！>（学）2（%6£R）,当且仅当a=b时取等号.

（4）-+会2（a,b同号），当且仅当a=b时取等号.

ab

导航

3.利用基本不等式求最值

已知H>0』>0测

⑴如果积町是定值“那么当且仅当，可时u+v有

最小值是2赤（简记:积定和最小）.

（2）如果和x+y是定值另那么当且仅当x=y时内有最

大值是,I（简记:和定积最大%

导航

---提二二二二二升二二二二二能,二二二二二力~~'

考向1基本不等式求最值

。典型例题1。

⑴若界1,则产冶上有（）

A.最小值2B.最大值2

C.最小值一2D.最大值一2

（2）若直线.+台1（优＞0乃＞0）过点（1,1）,则a+b的最小值等于（）

A.2B.3

C.4D.5

导航

【解析】⑴因为所以工一1<0,

所以「咛法T-Q5占一2

故选D.

⑵因为直线过点(1,1),所以｝+91.

所以a+b=(a+b)(^+%1+展+台2产+今因为〃>0/>0,所以

2+-+-^2+2g=4,当且仅当“4=6=2”时等号成立.

ab7ab

【答案】(1)D(2)C

导航

-0^

【名师点拨】利用基本不等式求最值的方法

⑴利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或

积为定值，主要有两种思路:

①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解;

②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.

(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但

可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等

式.常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因子法、分离常

数法、换元法、整体代换法等.

导航

°至十一寸训I练14

1.（2020•广东汕尾学业水平模拟）已知实数xj满足舟+俨=1,则

盯的最大值是（D）

A.lB.—

2

c.—D.-

22

【解析】因为x2+y2=l,

则孙W亨=9,当且仅当产产咚时取等号，故选D.

导航

13

2.（2020•广东学业考试）若x>0j>0,且：+=1,贝！k+3y的最小值

为16.

［解析］丁Xj>0,且—%I■y-=1,

.•.jd-3y=（AH-3y）（-+-）=10+^+-^10+6&x』6,

~xyxyyjxy

当且仅当且工+-=1^==即x=v=4时取等号.

xyxy.

因此x+3y的最小值为16.

故答案为16.

导航

3.(1)已知求心)=工+、的最大值；

x—3

(2)已知x/£R+,且丘=4,求工+?的最小值.

冗y

【解】⑴因为*<3,所以*一3<0,

所以八刈三^+下去+^—3)+3

=-£+(3—%)卜3<—2]£・(3-冗)+3=—1,

当且仅当*=3—*,即尸1时取等号，

3-x

所以人*)的最大值为一L

导航

(2)因为xj£R+,

所以(用了)(：+=4+(}+”)^4+2A/3.

当且仅当x+v=4^=①，即尸2(次一1)产2(3—b)时取等号.

所以工+-^1+^,

Xy2

故工+日的最小值为1+^.

xy2

导航

考向2基本不等式的实际应用

e典型例题2e

某中学为了宣传当地特色和风土人情，由同学设

计一幅矩形宣传画，要求画面面积为4000cm2,

画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空

白.如何设计画面的高与宽的尺寸，才能使宣传

画所用纸张面积最小?

导航

【解析】设画面高为*cm,宽为『cm,

由题意可得刑=40004>0J>。，

贝4所需纸张面积S=(x+16)(j+]())=q+[6y+[0x+16(),

=4160+16^+10x^4160+2/160孙=5760,

当且仅当16y=10枭且叼=4000,即x=80j=50时取等号,

所以画面高80cm,宽50cm时,所需纸张面积最小为5760cm.

导航

-0^

【名师点拨】解实际应用题要注意：

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.

⑵根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等

式求得函数的最值.

⑶在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的

自变量的取值范围)内求解.

导航

。钊•一寸训I练24

1.将一根铁丝切割成三段,做一个面积为2m2、形状为直角三

角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪

费最少）的是（C）

A.6.5mB.6.8m

C.7mD.7.2m

【解析】设直角三角形框架的两直角边长分别为〃乃,周长为

贝!］；a〃=2,/=a+/+Va2+b222VHs+V2ab=4+2V2-6.828(m)(^M

仅当a=b=2时等号成立).故选C

导航

2.某公司一年购买某种货物400t,每次都购买*t,运费为4万元

/次，一年的总存储费用为公万元,要使一年的总运费与总存储

费用之和最小,则x=20t

【解析】一年的总运费与总存储费用之和为（第X4+4元）万元,

等X4+4Q160,当片=狂即尸20t时，一年的总运费与总存储费

用之和最小.

导航

拉)

3.若把总长为20的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大

面积是25.

【解析】设矩形的一边为*,

则另一边为:(20—2幻=10―乂

12

•••j=x(10—x)W=25,

当且仅当X=10—苍即X=5时Jmax=25.

导航

一二二学二二二二二业二二二二二达.二二二二二标

1.（2020•广东佛山学业水平模拟）下列不等式一定成立的是（

A.lg(x2+；)>lgx(x>0)

B.sinX+—一22由次九,〃£Z)

sinx

C.x2+1^2|x|(xeR)

DkWR)

导航

【解析】当尸;时Jg(x2+：)=lgx,故A不符合题意；

L4

当sin%vO时再中不等式显然不成立，

因为(*±1)2,0恒成立，所以/+1，±2工即*2+122国一定成立,

故C正确；

由1+小。1可知0＜心忘1,故D不正确，

l+xz

故选C.

导航

1

2.（2018•广东学业水平模拟）设x>0,那么3一工一”有（A）

A.最大值1B.最小值1

C.最大值5D.最小值一5

【解析】•••x>0,・「+x22L冤=2,当且仅当工气即尸1时取得等号.

11

---xW—2,；・3—--*W3-2=1.

XX

导航

1

3.（2019•广东江门学业水平模拟）如果x>0,那么4x+：的最小值

为（C）

A.2B.3

C.4D.5_____

【解析】根据题意，当x>0时,4刈^22〃^~1=4,

即4用工的最小值为4.

X

导航

4.（2020•广东中山学业水平模拟）下列函数中最小值为2的函

数是(D)

1

A.y=x4^B.y=y/x+-p(x>l)

~X"yjX

c尤2+34

C・v=------:D.y=eA+^—2

./2+2*ex

导航

【解析】对于A,当x>0时产什：22,当且仅当x=l时等号成立，

当MO时2,当且仅当x=-1时等号成立，即A错误；

对于By=Vx+当且仅当x=l时等号成立，而2>1,即B错误;

tX,t

对于C/书E=V^T2+占，

J/+2J/+2

令t=y/x2+2>VI,则尸居在［&,+oo）上单调递增，

t

所以e等>2,即c错误；

对于D/=e*S—222V5—2=2,当且仅当ex=2时等号成立，即D正

确.故选D.

导航

1s

41

5.(2020•广东韶关学业水平模拟)已知阳>0/>0〃+4〃=2,则而+有

的最小值为(c)

A.36B.16

C.8D.4

【解析】m>0^n>Q^m+4n=2^

则上+-=(-+i)(zn+4n)xi=i(8+—+-)

mnmn22mn

若伊+2层马寺(8+8)=8,

当且仅当如=上且加+4〃=2,即〃上,加=1时取等号，故选C.

mn4

导航

6.（2020•广东汕头月考）已知3叶27〃=6,则〃+3力的最大值是（

A.2V3B.6

C.2D.2V2

【解析】6=3〃+27,2243a・33b=2印3a+3%整理得3243a+3t,

即〃+3〃W2（当4=3〃时，等号成立），故选C.

导航

7.（2019•广东茂名学业水平模拟）若正实数阳/满足2阳+〃+6=

mn^则用"的最小值是18

【解析】\a2m+n+6=mn^m>0^n>0^

________t2

令贝11mn=—^

2

则。，2什6,解得或后一2（舍），故mn^lS.

导航

------

8.（2017•广东东莞月考）建造一个容积为18m%深为2m的长方

形无盖水池，如果池底和池壁每m2的造价为200元和150元，那

么水池的最低造价为540。元.

【解析】设水池的长为*m,宽为丁m,则2盯=18,即到=9.

总造价为200•盯+2（2*+2仍・150

=200X9+600（x+y）

21800+1200向

=5400（元）.

当且仅当“可=3时等号成立.

导航

-------

9.（2019•广东中山学业模拟）党的十九大报告指出，建设生态文

明是中华民族永续发展的千年大计，而清洁能源的广泛使用

将为生态文明建设提供更有力的支撑.沼气作为取之不尽、

用之不竭的生物清洁能源,在保护绿水青山方面具有独特功

效.通过沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等

方面,起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的“厕所革

命”，某农户准备建造一个深为2米,容积为32立方米的长方体

沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的

造价为120元,沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气

池能使总造价最低?最低总造价是多少元?

导航

【解】设沼气池的底面长为X米，沼气池的总造价为7元，

因为沼气池的深为2米,容积为32立方米，所以底面积为16平方

米，

因为底面长为X米,所以底面的宽为竺，

依题意有j=3000+150xl6+120x2(2x+2x^)=5400+480(x+§,

因为*>0,由基本不等式和不等式的性质可得，

5400+480(x^)25400+480x2X--,

AC

即400+480x2VIE所以j29240,

导航

当且仅当产竺，即x=4时，等号成立，

X

所以当沼气池的底面是边长为4米的正方形时，沼气池的总造

价最低，最低总造价是9240元.

导航

考点3二次函数与一元二次方程、不等式

三夯三三三实三:三三基:三三三础E--

1.三个“二次”间的关系

判别式

J>0

d=b2-4ac

二次函数

y=ax1+bx+c

（。＞0）的图象

导航

拉）

判别式

/>0J=0J<0

d=b2-4ac

一元二次方程

有两相异实根有两相等实根没有实

2+加什。=0

X1^X2（X1<X2）X1=X2=~^-数根

（〃>0）的根

2b

ar+Z>x+c>0\xx[

{x\x>x2^^ix<x1}（________2dLR

（。>0）的解集

ax2+bx+c<0

{x\x<x<x}00

3>0）的解集12

导航

2.(x—〃)(*—〃)>0或(*—〃)(*一力)<0型不等式的解法

解集

不等式

a<ba=ba>b

(x-d)(x—力)>0{小<〃域*>A}{x\x^a]{x\x<b^x>a}

(x-d)(x-Z>)<0{x\a<x<b}0{x\b<x<a]

导航

3.分式不等式

（l）1>0等价于（%一〃）（x—〃）>0.

Q）岩V。等价于（*—仅）（x一8）<0.

r一

(3)=20等价于(xa)(x-b)>0,

x-b霓一bW0.

（4）工一0<0等价于｛（X一口）（九一b）—°，

xbW0.

导航

一二二提■■■■■升二二二二二能二二二二二力

考向1一元二次不等式的解法

e典型例题13

2

解关于X的不等式(〃6R)：x—(〃+〃2)X+〃3>0.

导航

【解析】将不等式/—（〃+〃2）枭+〃3>0变形为（X—O）9（X—〃2）>0.

当〃V0时,有

所以不等式的解集为｛M'V?或*>好｝；

当4=0时刈=〃2=0,

所以不等式的解集为｛斗rWR,且存0｝;

当0<«<1时,有

所以不等式的解集为｛x或1>〃｝•

当4=1时M=〃2=1,

所以不等式的解集为｛MrWR,且a1｝;

当〃>1时，有4V*所以不等式的解集为或*>〃2｝.

导航

-0^

【名师点拨】含参数的一元二次不等式的解法

(1)若二次项系数为常数，可先考虑因式分解，再对参数进行讨

论，若不易因式分解，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏.

(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然

后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式.

最后,对相应的方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.

导航

4针对训练14

1.（2020•广东学业考试）不等式/-7*<0的解集是（D）

A.{x|x<—7,^x>0}B.{x|x<0,^x>7}

C.{x|—7<x<0}D.{x|0<x<7}

【解析】不等式p-7%<0可化为*（%—7）v0,

解得0«v7,

所以不等式的解集是30。<7}.

故选D.

导航

2.一元二次不等式双9一幻>0的解集是(B)

A.WO,或x>9}B.{x|0<x<9}

C.{x|x<—9,或x>0}D.{x|—9<x<0}

【解析】不等式*(9—%)>0化为*(%—9)<0,

解得0v*v9,

所以不等式的解集是304:<9}.

故选B.

导航

3.解关于x的不等式N—(〃+l)x+a<0.

2—

【解】'--x(a+1)x+a=O9

二当〃vl时不等式的解集为凶〃☆<1}；

当〃=1时，不等式的解集为0;

当心1时，不等式的解集为3l<x<a}.

导航

考向2三个二次之间的关系

e典型例题2e

已知关于*的不等式依2+加c+c>o的解集为32<^v3},求关于x

的不等式c/+以+〃vo的解集.

导航

［解析】方法一:由不等式依2+以+°>0的解集为开区间(2,3),

可知且2和3是方程依2+加什。=0的两根.

由根与系数的关系可知也一5,£=6,

aac6

由"0,知C<09

故不等式cx2+bx+a<0即x2+-x+^>0,

9CC

即/一与+工〉。,解得xv工或x>\

6632

所以不等式cx2+Ax+^<0的解集为(—8；)uQ,+00

导航

方法二:由不等式依2+加什c>0的解集为｛x[2<^v3｝可知必<0,且2

和3是方程加什。=0的两根,所ax2+bx+c=a(x—2)(x—3)

=ax2—5ax+6a^R]7b=——5%c=6%故不等式。*2+以+〃v&

即6ar2—5ax+a<Q^>

故原不等式的解集为(—8,)U(；,+8).

导航

-0^

【名师点拨】应用三个“二次”之间的关系解题的思想

一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联

系，即给出了一元二次不等式的解集例可知不等式二次项系

数的符号和相应一元二次方程的根.在解决具体的数学问题

时，要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.

4针对训练24

1.（2020•广东湛江学业考试模拟）如果关于x的不等式“2v依+力

的解集是31令<3},那么加等于（B）

A.-81B.81

C.-64D.64

【解析】不等式/<依+〃可化为*2-收一力V0,

其解集是凶1«<3},

那么,由根与系数的关系得{:Z-b

解得〃=4乃=—3;所以加=（—3>=81.故选B.

导航

2.（2020•广东深圳期中）一元二次不等式月叨工+夕〈0的解集是

（一U则夕+夕=（c）

A.--B.--

63

C.OD.1

【解析】一元二次不等式4<0的解集是

贝！J—；和!是方程炉+^刈■夕=0的实数根，

由根与系数的关系，知一：+|=-P，—[x

解得夕=,夕=—3,所以P+夕=0.故选c.

导航

3.若不等式兀¥）=依2—X—c>0的

解集为（一2,1）,则函数y=/"）的

图象为（B）

【解析】因为不等式的解集

为（-2,1）,所以质0,排除C,D;

又与“轴交点的横坐标为一2J.

故选B.

导航

考向3—元二次不等式的恒成立问题

。典型例题3。

f(x)=mx2—mx—1.

(1)若对于一切实数占/(x)vO恒成立，求股的取值范围;

(2)对于xw[IMWBv—阳+5恒成立，求股的取值范围.

【解析】⑴若阳=0,显然一1<0恒成立;

m<0,4A

若加彳0,则n—4<m<Q.

A=m7+4m<0

C.m的取值范围为一4v/nW0.

导航

(2)要使xw[1,3]2A2<一阳+5恒成立,

2

则m^x—0+3帆一6<04G

23

令g(x)=m[x-1)+-zn—

当加>0时,g(*)在［1,3］上是增函数,，g(x)max=g(3)=7加一6.

7加一6<0,解得m卷：.0〈加岑

当m=0时,一6<0恒成立.当相<0时,g(x)在［1,3］上是减函数.

•・g(X)max=g(l)=加—6<0,解得ZW<6,:.桃V0.

综上所述内的取值范围为(-83).

--导航

【名师点拨】1.不等式的解集为R的条件

不等式的解集为R（或恒成立）

不等式ax2+bx+c<0

4=0〃=0,c>0b=Qyc<0

(a>0,(a<0,

tj<0tzi<0

2.有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法

（1处）W4恒成立U^MmaxWa.

（2次02〃恒成立导/（x）min2〃・

导航

e针对训练3e

1.（2020•广东佛山学业考试模拟）对任意实数内不等式“2-2x

一〃20恒成立，则实数〃的取值范围是（B）

A.〃2—1B.〃W—1

C.a<—1D.a>一1

【解析】由题意，可得要满足题意，只需/=4—4X（一“）〈0,

解得aW—1,

故选B.

导航

2.若不等式“2+加什？>0的解集为R,则实数阳的取值范围是(

P

A.(2,+oo)B.(—oo92)

C.(一oo,0)U(2,+oo)D.(0,2)

【解析】由题事知，原不等式对应方程的/<0,

即/«2-4XlX?<0,

即阳2—2阳<0,解得0〈阳v2.

导航

3.若不等式(〃-2)x2+2(a—2)x—4Vo对一^切*wR恒成立,则a的

取值范围^_CZ252]

【解析】当。-2=0,即〃=2时不等式为一4<0,恒成立；

当〃一2刈时，则a满足]—<&八/q/n

(4=[2(a-2)]£—4(a-2)•(-4)<0,

解得一2v〃<2.故a的取值范围为一2v〃W2.

导航

-三学三三三业三三三达三三三标三一

1.(2019•广东梅州学业水平模拟)不等式2*2—％—1>0的解集

是(D)

A,{%|一T<工<1}B.{x|x>l}

eC1、、

C.{x\x<l^x>2}D.jxx<一刀或%>1

J乙J

【解析】不等式2*2—X—1>0,

因式分解得(2*+1)(*—1)>0,

解得或XV—

则原不等式的解集为L冗〈一二或霓>仆.

导航

2.（2019•广东佛山学业水平模拟）若不等式4/+依+4>0的解集

为R,则实数〃的取值范围是（D）

A.(-16,0)B.(-16,0]

C.(一oo,0)D.(-898)

【解析】不等式4*2+依+4>0的解集为R,

2

/.J=a-4X4X4<09

解得一8v〃va

二实数〃的取值范围是（一8,8）.

导航

3.（2020•广东梅州月考）若对任意的“大于0不等式N—依+2>0

恒成立，则实数〃的取值范围为（A）

A.a<2V2B.12V2<a<2V2

C.a>242D.QV—或Q>2迎

【解析】x>0时,不等式/一依+2>0化为炉+2>ox,即a<x+|;

当且仅当1,即A或时等号成立；

x

所以实数a的取值范围是qv2VI故选A.

导航

4.（2019•广东惠州学业水平模拟）设心1,则关于x的不等式（1一〃）

（x-d）［x—^）＜0的解集是（D）

A.（一oo,4）UQ,+8）B.（a,+oo）

C（a，£）D.（-co,i）U（«,+oo）

【解析】a＞l时J—”0,且aA：，

则关于x的不等式（1—〃）（*—〃）（1r—：）＜0可化为（x—〃乂%—：）＞0,

解得宅或X*所以不等式的解集为（-8、）U3+8）.

导航

5.（2019•广东湛江学业水平模拟）若一元二次不等式依2一

2*+2>0的解集是（-言,则”的值是一12.

【解析】一元二次不等式依2—2刈■ZX）的解集是（-|彳），

则一：和;是一元二次方程依2—2d2=0的实数根，

；•一；X；=工解得4=-12.

23a

导航

6.函数/㈤=（〃X—1）（*+办如果不等式/（x）＞0的解集为（一1,3）,

则〃+力的值为-4.

【解析】不等式危）＞。化为（依-1）住+力）＞0,

由不等式/5）＞0的解集为（一1,3）,得“＜0且不等式对应方程两

根为一1和3,

所以〃=—1乃=—3;

所以a+〃=—1—3=—4.

故答案为一4.

导航

7.(2019•广东东莞学业水平模拟)已知集合/={-5,一1245},

请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合力有

且只有一个公共元素,这个不等式可以是(x+4)(x—6)>0.

【解析】由题意知写出的一元二次不等式的解集与集合力有

且只有一个公共元素，不等式解集中的整数解只有一个在集

合力中即可.

故不等式可以是(x+4)(x—6)>0.解集为{#>6,或xv—4}.解集

中只有一5在集合力中.

导航

章未综合测试

一、选择题（共15题,每小题6分,共90分）

1.下列命题中，正确的是（C）

A.若心心则社>力〃

B.若〃c>力G则a>b

C若与<刍则a<b

cLcz

D.若〃贝！|a—c>b—d

导航

【解析】对于A项，只有在〃乃4"均为正数时成立;对于B项,当

cvO时，则心>儿=〃<〃,所以错误；由不等式的性质知6项正确；

对于D项洞向不等式作差一般不成立,例如《=%"=〃时必一。

>〃一"不成立.故选C.

导航

2.如果实数〃也c满足cv〃v。且〃cvO,那么下列选项中不一定成

立的是(D)

A.ab>acB.c(b—a)>0

C.ac(a—c)<0D.cb2<ab2

【解析】由已知条件，知”>0,c<0,选项A、B、C的结论都正确,

只有D中,当加=0时，式子不成立.因此选D.

导航

3.若:<卜0,则下列不等式中，①〃+k的②同>团;③④3+'>2,

正确的有（B）

A.1个B.2个

C3个D.4个

【解析】由工<上0,得。<”0,仍>0,则①④正确，②③错误.故选B.

ab

导航

4.（2020•广东惠州月考）不等式一*2+x+6<0的解集是（C）

A.{x|-2<x<3}B.{x|-[<*<]}

C{x|x>3,或x<—2}或x<—|}

【解析】不等式一三+%+6<0对应的方程为一*2+*+6=0,解方

程得*=-2或*=3.

由不等式-x2+x+6<0,Kf化为/—x—6>0,

即（X—3）（x+2）>0,

所以不等式的解集为{小<一2,或Q3}.故选C.

导航

5.下列结论正确的是(C)

A.不等式N24的解集是｛刈¥2±2｝

B.不等式P-9Vo的解集为｛x|x<3｝

C(x-1)2<2的解集为31—四<=1+鱼｝

DL元二次方程依2+加什c=0有两个不等实根X]42且*1>必则

不等式收2+加什cvO的解集为｛x\x2<x<xi｝

【解析】首先化成标准形式,C正确,D中的二次项系数符号不

确定.

导航

6.(2020•广东广州期末)关于“的不等式/+收_3<0,解集为

(一3,1),则不等式依2+*-3<0的解集为(D)

A.(l,2)B,(一1,2)

C(-泊

【解析】由题意知产一34=1是方程9+收―3=0的两根，可得

—3+1=一见解得〃=2;

所以所求的不等式为2*2+*—3<0,

即(2x+3)(*-l)v0,

解得一jvxvl,所以不等式的解集为(―|j1).故选D.

导航

11

7.（2020•广东深圳月考）已知〃>0乃>0,且3+石=1,贝!|4〃+力的最小

值是（D）

A.2B.6C.3D.9

【解析1且工+：=1,

ab

贝!J4«+A=（4tz+6）Q+

=4+1-^+—^5+2I-x—=9,

abyjab

当且仅当方=2〃时，上式取得等号，

则4a+6的最小值为9,故选D.

导航

8.若力vqvO给出下列不等式:①人<②同+力>0.③。一工>〃一3

a+babab

④lna2>in〃2.其中正确的不等式是（c）

A.①④B.②③

C.①③D.②④

导航

【解析】当〃〈KO时，依次判断各不等式如下,

①七9<巧正确;

a+baba+bab

②间+AvO,因此不正确；

③由已知可得工<3—乂一士又a>b,

abab

a-->b—3正确；

ab

④由已知可得42VA2,则]口a2<[n优因此不正确.

其中正确的不等式是①③.

故选C.

导航

拉）

9.（2020•广东湛江期中）若不等式/+心+120的解集为R,则实

数用的取值范围是（D)

AM22B.MW—2

CMW—2或阳22D・—

【解析】不等式炉+阳n+120的解集为R,

则A=/w2—4W0,

解得一

,实数用的取值范围是一2WMW2.

故选D.

导航

拉）

10.若关于X的不等式2枭2—8*—4+〃W0在1WX忘3内有解,则实

数〃的取值范围是（A）

A.〃W12B/212

C.〃W10D・心10

【解析】原不等式2/—8*—4+aW0,化为aW—2x2+8x+4,

设函数尸一2*2+8*+4淇中1WxW3;

对称轴为x=2,

则x=2时函数尸—2*2+8*+4取得最大值为12,

所以实数〃的取值范围是〃W12.故选A.

导航

11.下列函数中，最小值为2的是(C)

A.v=vX2+6+I-----

,"+6

Bj=lgAH-^(1<X<10)

C.y=3x+3~x(x^R)

导航

【解析】对于选项Aj-//+6+，

设+6=/（，2V6）,

所以加尸*所以加）=1一%0,所以函数加单调递增,

所以7m『历+4=萼故选项A错误；

66

对于选项B:由于IRVIO,所以y=lgx+122,Jlgx•上=2（当且仅当x=10等号

成立），由于1VYV1O,故选项B错误；

对于选项（2:产3计：，2斤口=2,当且仅当x=O时，等号成立.故选项C正确;

3人3人

对于选项D:j=sinx+—^2]siiix・」-=2,当且仅当x三时，等号成立，由于

smxNsmx2

OVYV：故选项D错误故选C.

导航

12.J(3-a)(a+6)(—6W〃W3)的最大值为(B)

9

A.9

2

【解析】因为一6W〃W3,所以J(3—a)(a+6))(上①学山)=*

当且仅当3—〃=°+6,即4=一|时等号成立故选B.

4

导航

13.(2017•广东湛江高二检测)若实数〃乃满足〃+〃=2,则3〃+3力的

最小值是(B)

A.18B.6

C.2V3D.2V3

【解析】〃+。=2,故，+3"22巧争=2回存=6,

当且仅当折〃=1时等号成立.故3〃+3b的最小值是6・

导航

14.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.

X

若每批生产X件,则平均仓储时间为后天,且每件产品每天的仓

储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费

用之和最小，每批应生产产品(B)

A.60件B.80件C.100件D.120件

【解析】每批生产X件,则平均每件产品的生产准备费用是产元,

每件产品的仓储费用是2元，”

O

则驷+白22I吧・工20,当且仅当驷==即尸80时等号成立，

x8\x8x8

所以每批应生产产品80件，故选B.

导航

15.已知函数兀¥)=心2—X—G且不等式收2—%—c>0的解集为

出一2CV1},则函数尸/(—2的图象为(B)

导航

L解析】:,函数/(*)=依2—X—G且不等式〃N—*—C>O的解集

为凶一2V*V1},

・・・4<0,方程依2—x—C=0的两个根为一2和1,

—2+1=-,—2x1=--

aa

•\a=­l,c=-27

•，/(—x)=—W+x+2淇图象开口向下，与工交点为(-1期(2,0%

故选B.