2022年高考数学解答题解法荟萃 全国甲卷

编者按本刊“2022年高考数学解答题解法荟萃”主题征稿已于6月15日截稿。对于所有来稿，本刊

编辑部在经过分类和初选后邀请一线优秀教师进行整理，栏目组最后定稿。本期刊登了全国甲卷和全国

乙卷部分解答题的解法荟萃,其他卷解答题的解法荟萃将在后几期陆续刊发。

参加本期文稿审理的老师有：于雷（云南）、郭博（陕西）、角碧波（云南）、刘鹏飞（陕西）、陈良骐（安徽）。

本刊编辑部对以上五位老师的辛苦工作及作者的积极供稿表示衷心的感谢！

2022年高考数学解答题解法荟萃

■

文章编号：1002-2171(2022)7-0054-12

_S“+lSnI1_4+i+SnSn11

a—干二+歹二二有一一7+I

【全国甲卷1a”+iSn

币—〃5+1)2。

理科第17题（文科第18题）：记S”为数列｛%｝由已知彳吟一「尹宏代入上式得

的前“项和，已知"1+"=2a”+l。

n

（I）证明：｛七｝是等差数列；

（11）若4，卬，如成等比数列，求S“的最小值。

解：（1）证法1由已知及a“=S“-S“_i（”22）

得生+〃=2（$”一>7）+1,所以（《一2）S”=于是二上（&+i—%）=17,由于〃GN+,故a”一1—

〃+1〃十1

a”=l。

—2S“r+1-”,即^^S”=-S”-i+《（1—”）（〃》2）。

nL所以｛%｝是以1为公差的等差数列。

（云南省曲靖市赵麟高级中学俞永先）

两边同时除以1一”,得&=J+枭仑2）。

nn—1L（II）由题意得a?—a｝a9.BP（ai+6）2=（.+3）,

解得用=一。

所以数列令I是首项为9〜，公差为4的等（R+8）,12

In]12解法1a„=—12+（n—l）Xl=n—130

S1当l^n^l3,n€N.时，%&0；当，?>13,”GN+

差数列,所以也=4+春（〃-1）。

n2时,a”>0。

所以当n=12或13时，S.最小，最小值为S=

代入+〃=2%+1,得2al+（〃-1）+〃=12

S13=-78O

（安徽省安庆市第一中学洪汪宝；陕西省麟游县

+1，整理得an=a\+n-l（nGN+）o

所以%+i—a”=L中学韩红军；陕西省西安市田家炳中学冯恒仁）

因此｛七｝是以为公差的等差数列。权上。e_125_1/25T625

1解法2S„-J2-Tw-7（n-y）―-

（成都师范学院德阳高级中学王强善;云南省安H

宁中学朱建;陕西省榆林市榆林高新中学徐永强）注意到”6N+,所以当"=12或13时，S.最小，

证法2由已知得&=2+£•^，&+1=兰苦+最小值为SI2=S13=—78.

n22〃十1（洪汪宝；王强善；韩红军；冯恒仁；陕西省汉中市

〃+11四。五学校侯有岐；陕西省礼泉第一中学张虎；

~~~2°云南省昆明市第三中学周跃佳,李毅梅）

参考文献：43-45.

[1]o.Bottema等著,单博译，几何不等式[M].北京：北京[4]安振平.以三正数为边长可构成三角形的充要条件及应

大学出版社，1991.

用口1湖南数学通讯.1985（3）:17-19.

[2]安振平.问题与解答问题40m.蛙鸣（中国科技大学），

[5]安振平.W.Janous不等式的简证口].中学数学教与学.

1987（12）:12.

C3]安振平.Catulan不等式的加强口],数学通报.2008（5）：1993（6）:61-62.

理科第18题：如图1,在四棱利用等体积法，三棱锥PABD与三棱锥D-PAB

锥P-ABCD中，PD1底面ABCD,的体积相等。

CD//AB,AD=DC=CB=1,设三棱锥D-PAB的高（点D到平面PAB的距

AB=2,DP=6\离）为人，所以:x日x6'=5xg5x/I,所以/1=

（I）证明：BDJ_PA；

（n）求PD与平面PAB所成争。设PD与平面PAB所成的角为a,则sina=

的角的正弦值。

解：（1）证法1如图2.取ABh_V5

中点E,联结CE.DE,有AE=PD__r°

EB=DC=1Q所以PD与平面PAB所成角的正弦值为喀。

又因为CD〃AB,所以四边形0

AECD,四边形BCDE都是平行四（洪汪宝；周步俊；云南省曲靖市麒麟区第九中学

边形。许素娜）

又AD=DC=CB=1,所以平解法2由（I）的证法2知，

行四边形AECD,平行四边形BCDE都是菱形，所以如图4,联结PE,过点D作DGJ_

BD±ECQPE,交PE于点G。

又因为EC〃AD,所以BD±ADa因为PD_L平面ABCD,所以

由PDJ_平面ABCABDU平面ABCD,所以PD±AB,

PD±BD.又DE±.AB,PD（｝DE=D,

因为AE）nPD=D，所以BDJ_平面PAD。所以AB,平面PDE。

因为PAU平面PAD,所以BD±PAO又ABU平面PAB,所以平面PAB_L平面PDE。

（四川省成都市成华区教育科学研究院周步俊）因为平面PABD平面PDE=PE,所以DG1

证法2由已知可得底面平面PAB。

ABCD是等腰梯形。如图3,过点于是PG是DP在平面PAB内的射影，所以

。作DE_LAB,垂足为E,则AE=/DPG为PD与平面PAB所成角。

又AD=1,所以DE=^，而又PE=J(&■)一(,『二空，

8E=1"，所以BD=V3.根据DP-DE=PE-DG=^xg=^.解得DG=

在△ABD中,AB?=4,AD2+BD2=产+（6）z=4,

空，所以sin/DPG=^=§。

所以ABZnAO+BD2,所以ADJ_BD。下同证法1。

（洪汪宝；内蒙古三浩皿第一中学武丽）

因此PD与平面PAB所成角的正弦值为喀。

证法3设示=a.皮=心"=以则|a|=|b|,O

旧=曲,根据平面几何知识可知NADC=120°,于是（洪汪宝）

理科第20题（文科第21题）：

a,b=一：,a•c=b•c=0o又DB=a+2b,AP=

设抛物线仁丁=2"（»>0）的焦点为F,点

c-a,所以DB,AP=（a+2b）,（c-a）—a,c—a2+。（60）,过F的直线交C于M,N两点。当直线MD

2b•c-2b-a=0,于是BDJ_PA。垂直于m轴时，|MF|=3。

（洪汪宝）（I）求（?的方程；

（II）解法1由（I）知AD_LBD,在四棱锥（II）设直线MD,ND与C的另一个交点分别为

PABCD中，PD_L底面ABCD,CD//AB,AD=DC=A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为a,3当a-B

取得最大值时，求直线AB的方程。

CB=1,AB=2,DP=V^，所以PA=2,DB=V3,

解：（I）由题意可知，当z=P时，/=2^,不妨

。8=正，又△PAB是等腰三角形，故PB边上的高

设点M在i轴上方，则yu=鱼力，可知|MD|=g6

为季，所以△ABD的面积Si=寺•BD•AD=

|FD|=1O

yXV3X1=等，△PAB的面积Sz=tX.X在RtAMFD中，|FD「+|DM|?=|FM|"得

（6）+/））z=9,解得4=2。

/To_715

~227°所以C的方程为/=4z。

（陕西省礼泉县第一中学魏文宏；广西全州二由题意可知，直线MN的斜率不为0,设ZMN：X=

中蒋连军）

7”+1,由'二[得1y2—4叫y—4=0。

（11）解法1设直线MN的方程为工=my+l.

当m=0时.a-0=O;当m>0时，a-g>0;当m<0

故'1+'2=4»»,?1»2=-4.则tanff=^-=—.

时,a—，V0。故令，，?>0。

设M借,”）,N停,山）,将工=吟+1代入_-4_1

tan夕n=一2义4»1=病

丁=4才整理得/一4加、-4=0。①tanQ—tanB_]

所以tan(a-p')

所以v+y2=47〃，v・”=一4。1+tanatan/?〜〃+_!_

设直线MA的方程为/=”+2,代入/=4］整in

2

理得y—4ny—8=0o

当加>0时,ian（Q一9=-------5"4一

所以力一=一8~八=常〃=4=寮同理

2m-\—

m2乙

—r，曰_-8_16,当m<0时，ian（Q—£）均取负值。

口I得yn=—，4=

”yztnXH-JCA

所以当且仅当2,〃=上，即，“=§时，等号成立,

V•”2_1mL

2(v+y2)2m

lan（a—£）取最大值。

^MN-"1

因此tan(a—£)=4

l+^MN•kyt2/n2+1此时直线AB的方程为y-）3=-T-（①一

丁3十加

率当且仅当211,即时,

1V173),即4]—(y+2)y+yy<=0。

2—、2933

8____§_一8(31+”)=

m又因为“+==

上式取等号，lan（a—0）取最大值,从而a—0也取最

大值。8m=4含,y3y4=~-•--=-16

—yzo

此时心=y，方程①为V—2氏-4=0,解得所以AB的方程为4]-4』y-16=0.即x

y/2y—4=0

y\=5/6+\/20o

（魏文宏）

所以）A=M=2（g-笈），皿=8-4相。

解法3根据题意设M（牛，孙N（*）,

所以直线AB的方程为>-2（72-76）=^［T-

A（~,a）其中a,b,m,n互不相等。

（8—4遍）］,化简得J•一々y—4=0。

令M=tana，S=tan由由直线的两点式方程可

（周跃佳；李毅梅；陕西省旬邑县中学杜海洋;

得直线MN的方程为。

陕西省汉中市龙岗学校唐宜钟；四川省资阳市外国（"i+"）y=,”"+4i

同理可得直线MA的方程为

语实验学校蔡勇全）（,"+a）y=ma+

4z,直线BN的方程为S+的y=6”+4z,直线AB的

解法2当直线MN斜率不存在时,a-S=0;当

MN斜率存在时，设M（©,g）,N（Hz，”），A（H3,方程为（。+〃）》=。〃+47.故k=tana=也=

tm1十〃

y3）,B（x4,乂），由（I）知F（l,0）,D（2,0）,则tana=

,_V一一_V一”_4,ank不^。

位MN22_l_o

”】一12y±_y1v十）2

TT因为直线MN过点F(l,0),故=同理可

QO

又三点共线.则—即三得ma=-8,〃〃=-8,即a=——,b=——。

N,D,Bmn

L.i,__4_4_2_1,

忌亦即^=死故莅=tan/n?=.,=z鼠=­77-=方舟，

a~rb_8__"m十7?2

4Z4Zmn

即tana=2tan0。

化简得“弘=-8,即乂=一肚；同理由M,D,A

yz所以lanQ-tan0_tan/?

tan(a—£)2

三点共线，得以=一刍。14-tanatanl+2tan^°

y\若tan£<0,则tana=2tan/?<Ctan夕，即a—0V

4_0因本题是求最大值，不符合题意。

贝I]tanB=o

41力“十乂-2(yi+”)为求最大值•只考虑tan^>0.

2z9小_二t用anB导_与1方丽_1=彳_V2故直线AB的方程为》=刍三孕Lr一（9+

H‘3

tan°产舟21+2（&+@=3Cr-（8+2々）1+2常）。

tana=V2,25/2

当且仅当《t尸考时取等号'此时lS取得最大值。化简得J-V2>—4=0.

（蒋连军）

3

由卜'可得AB方程为工-夜厂4=0。文科第20题：已知函数/（T）=j-x,g（x）=

ltz6=—16•r'+a.曲线》=/（工）在点（HI））处的切线也是

（湖北省宜都市第一中学刘宜兵，蔡欣翱,晏砚）曲线y=g（x）的切线。

解法4：直线MN,AB的倾斜角分别为a,d由（I）若工1=-1,求a；

（I）知F（l,0）,D（2,0）,由点的坐标可以设M（zJ,（n）求a的取值范围。

解：（I），（工）=3/-1,g'（H）=2工，了|=—1时

24），^?（《，2,2）,4（4,24），8（。，2，<）,且人/4，否则

/（x）=0,/（x）=2

假设4=。，由对称性得。-0=0。1Io

所以曲线y=/（z）在点（©，八毛））处的切线方

当a一£取得最大值时，不妨假设点M在点F的

程为了=2（工+1）。

右侧，点N在点F的左侧.则/3<«2<0<Z1<t4.

联立尸=21r1），得/-2z+a—2=0,由判别

由直线MN过点F得答二^=字学，化简得

\y=x-ra

式△=（）•解得a=3

a血+1）（“一滑）=。。故八"=一1。o

（周跃佳；李毅梅;云南省昆明市第八中学角碧波）

由直线MA过点D得第二=字4,化简得

（11）/（xi）=z；—JC\,/（为）=3xi—1

防一2发一2o

所以曲线y=/（z）在点（不，“为））处的切线为

（"£3+2）（1—4）=0。故Z"3=—2。

y—（宕一力）=（36—1）（］—力）•即y=（3jj—1）x_Zr?

由直线NB过点D得§弓=虻），化简得o

解法1设直线、=（36—1）“一24与曲线y=

（£2〃+2）（£2—右）=0。故，2,4=—2。屋外相切于点（72，g（q）），则

，

（g（x2）=2x2=3xj—1,②

直线MN的斜率为tana=刍二孕=74/，直Ig（l2）=4+。=（3竹一1）12—2百。③

由②式得4=吗二!，代人③式中，整理得。=

线BA的斜率为tan0=2g._，2,tan（。—⑶=

芍—&*3'H

22-y(9x{-8z；—6x1+1)。

tana-tanB_4+二4+-=2（］+"-（一卜）=

设ACr)=9H«-8X3-6—+ICrWR),则Az(x)=

1+tanatan01+2.2（&+z2）&+。）+4

»］+224+公36/—24/—12x=12x(3x+l)(x—1)0

c（.,2,2\A'(H),A(N)的变化情况如下表:

-2（6+r2+-+-）_-八（-1）

-

—…"再一X(i.一})-T(T,°)0(0,1)1(1.4-00)

\tz/

A'(H)—0+0—0+

设fCQ=”3），6>1，则Z（/（）=

20

（片+1）（，-47+1）A(«r)、/1-4Z

27

（rl+1）20

令/储）=0,解得G=”在>1血=约在V所以A（工）在区间（-8,一内单调递减，在

1（舍）。区间（一5，0）内单调递增,在区间（0,1）内单调递

由函数的单调性得/出）（/（隹岁）=条

减，在区间（1,+8）内单调递增，所以［A（z）11nm=

A（D=-4,从而a2一L

所以当，产气也时,tan(a—£)取得最大值，。（角碧波；周跃佳；李毂梅；陕西省礼泉县第一中

学康锋艳）

4

此时t3=-^-=-=V2-V6,t4=-7-=解法2联立产=”£—。］-2彘得二一。6一

A76+72h\y=jr~ra

2Zi=也+乃。l）z+a+2z；=0o

由判别式△=()得a=9(9z；一8百一6式+1)。InZ=jr—Inz,故/(z)〉。㈡a&z+lnto

又故函数，=，在区间(0,口内单

下同解法L

(角碧波；周跃佳；李毅梅)调递减.在区间［1,+8)内单调递增=

解法3设》=/(工)在点P(4，/(4))与g(z)设3(l)=e+ln，.则3(，)在［e,+8)内单调递

在点Q(q，g(Hz))处的共同的切线斜率为3则出=增，［w(，)］m,n=e+l,故aC(—8.e+l］。

(陈亚聪；张远雄；康锋艳；赵世念；唐宜钟)

/(71)=g(x)=,即3/-1=2x=

2不一不2解法4先证e，)工+1(当且仅当工=0时取等)。

J*2+4-/：+X|设g(x)=e*x—X—1.则g/(x)=er—1.

“2-©令g'Gr)=0得2=0,当工6(-8,0)时,g'(z)V

整理得a=-j-(9—8JTI—6x5+1)o0,g(H)单调递减；当工，(0,+8)时,g'(工)>0,g(工)

单调递增。

下同解法1.所以g(z)>g(0)=0,即e，>z+l(当且仅当

(康锋艳；陕西省白河高级中学田世广)Z=0时取等)得证。

理科第21题：已知函数/(工)=/一Inz+z-a。于是工(当且仅当j=l时取等)

(当且仅当z=l时取等).

(1)若/(工)》0,求a的取值范围；当了>0时，对两边同时取自然对数得

(U)证明:若义工)有两个零点©,4,则皿“VI。x^l+lnz,即T-Inz)l(当且仅当z=l时取等)。

解：(I)解法1/(工)>00^In1+工一a)所以/(x)=eT-1"i+x_In1一a'e(z—In工)+工一

X

Inr—a=(e+l)(x—Inz)—a2e+l—a(当且仅当

px

O0a4——Inn+n。x=l时取等)。

x

所以实数a的取值范围为(-8,e+l］.

设=J—Inz+z(«r>0),，(z)=(陈亚聪；张远雄；洪汪宝)

x

J

(e+x)(x-l)a因为i>0,所以e，+z>O,>>o.解法5/(x)=---In7+工一aiO0/(z)=

X

因此当工6(0,1)"'(工)<0"(工)单调递减；当--e+z-1-lnz+e+1-a>0。④

单调递增。

此时［/1(Z)］而“=［八(工)」板小值=A(1)=e+1,故a令g(x)=----e(T>0),A(x)=T—1—In工，则

的取值范围是(一8屋+1，-1)x-1

gt(.r)=2(x>0)./iz(X)=^-L(T>0)

(陕西省汉中市汉台中学魏帼；浙江省平湖市x2IO

当湖高级中学李璜,曹春健；四川省成都市铁路中所以8(幻工(工)单调性一致,在区间(0,1)内单

学校王琳；陕西省靖边中学赵世念；浙江省宁波调递减，在区间(1,+8)内单调递增。

市镇海中学虞哲骏；华南师范大学附属中学南海实所以，g(z)>g(D=0"(z)>/i(l)=0,

验高级中学李志刚)当e+l-a20时，④式恒成立，满足题意；

解法2/(H)=e‘T"'+工一In工一”》0㈡a4当e+l-a<0时./(DV0,④式不恒成立，故此

ei-lnx+x—Inz。时不满足题意。

，综上,a的取值范围是为(-8,e+l1。

设A(.JC)=x—In工(工>0),贝i］A(J)=1——=

X(甘肃省兰州市第七中学魏国斌)

£

^(x>0)o(口)证法1若八公有两个零点©Uz,则/(©)=

fS)O

A(z)在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,十8)

假设OVniVIVhz，则X>—,X>1.

内单调递增，所以A(z)2A(1)=1。2