材料力学12-能量法课件

112能量法12.1应变能与余能12.2卡氏定理12.3最小势能原理12.4瑞利-里兹法112能量法12.1应变能与余能12.2卡氏定理12212.1应变能与余能一、应变能(a)轴向拉（压）杆1.线弹性体（1）基本变形形式利用应变能在数值上等于外力功W，可得212.1应变能与余能一、应变能(a)轴向拉（压）杆1.3

(b)扭转12.1应变能与余能3(b)扭转12.1应变能与余能4(c)弯曲纯弯曲

横力弯曲12.1应变能与余能4(c)弯曲纯弯曲横力弯曲12.1应变能与余能5可以把应变能统一写成式中，P为广义力，可以代表一个力,一个力偶,一对力或一对力偶等。D为广义位移，可以代表一个线位移,一个角位移,一对线位移或一对角位移等。12.1应变能与余能5可以把应变能统一写成式中，P为广义力，可以代6（2）组合变形（用内力形式表示的应变能）M(x)

—只产生弯曲转角小变形时不计FQ产生的应变能，N

(x)

—只产生轴向线位移Mt(x)—只产生扭转角12.1应变能与余能6（2）组合变形（用内力形式表示的应变能）M(x)—7对于dx微段，N(x),Mt(x),M(x)均为外力。略去高阶微量后，dx段的应变能为杆的应变能为12.1应变能与余能7对于dx微段，N(x),Mt(x),M(x)8因为是弹性体，所以应变能在数值上仍等于外力功，即，但必须注意以及的非线性关系，不能再用线弹性体的公式计算外力功。（1）轴向拉伸与压缩2.非线性弹性体应变能为（P－D曲线和D轴之间的面积）应变能密度为（s－e曲线和e轴之间的面积）12.1应变能与余能8因为是弹性体，所以应变能在数值上仍等于外力功，即9①以上两式中，分别是以D和e为自变量，，。所以为位移状态的函数。

②

因为，为非线性关系，上两式积分后得不到1/2的系数，只能根据或的函数关系进行积分。应变能密度式中，为扭转力偶矩，为扭转角，为扭转切应力，为

切应变。注意：（2）扭转应变能12.1应变能与余能9①以上两式中，分别是以D和e为自变量，10式中，为外力偶矩，为弯曲转角，为正应力，为线应变。应变能密度应变能和应变能密度之间的关系为式中，V

为体积。（3）梁应变能12.1应变能与余能10式中，为外力偶矩，为弯曲转角，为正应力，11二、余能图a为非线性体弹性体的受拉杆，其P－D和s－e关系如图b,c所示。（1）余功的定义为12.1应变能与余能11二、余能图a为非线性体弹性体的受拉杆，12其大小为曲面OP1a的面积如图d所示。Wc

和外力功W

具有相同的量纲，且Wc

为矩形OP1aD1

的面积与曲面OaD1

的面积（W）之差（图d）,故称Wc

为余功。Wc只有几何图形上的意义，无物理概念，即没有什么力作的功为Wc。PP1WcaWD1Do(d)12.1应变能与余能12其大小为曲面OP1a的面积如图d所示。Wc和外力功W13余能密度为

由上述，D=f(P),e=f(s)。所以Vc=f(P)为受力状态的函数。VcVeP1PD

D1

a(e)o（3）线弹性体（图e）U和Uc

数值相等，但概念和计算方法不同，即U=f(D),Uc=

f(P)。仿照,余能为（2）余能余能为12.1应变能与余能13余能密度为由上述，D=f(P),e=f(s14ααBDεσ1P例1已知两杆的长度均为l、横截面面积均为A、材料单轴拉伸时的σ-ε曲线如图所示。求：荷载P1作用下的余能

Uc

12.1应变能与余能14ααBDεσ1P例1已知两杆的长度均为l、横截面面15ααBDεσ1P解：本题已知材料应力应变间的关系，故先求单位体积的余能。12.1应变能与余能15ααBDεσ1P解：本题已知材料应力应变间的关系，故先求16由于轴向拉伸杆内各点的应力状态相同，因此ααBD1P12.1应变能与余能16由于轴向拉伸杆内各点的应力状态相同，因此ααBD1P121712.2卡氏定理图示梁的材料为非线性弹性体，Pi为广义力，di为广义位移。各力同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值（简单加载）。各力在其相应的位移上做功,并注意到材料为非线性弹性体，梁的应变能为为位移状态函数。1.卡氏第一定理1712.2卡氏定理图示梁的材料为非线性弹性18假设与第i个荷载Pi相应的位移di有一微小位移增量ddi，而与其余荷载相应的位移,以及各荷载均保持不变。外力功和应变能的增量分别为（ddi不是由Pi产生的，Piddi为常力做的功

）（a）(b)式中，为应变能对位移的变化率。12.2卡氏定理18假设与第i个荷载Pi相应的位移di有19上式为卡氏第一定理。它说明，弹性结构的应变能，对于结构上与某一荷载相应的位移之变化率，等于该荷载的值。以上推导中并没有涉及到梁的具体性质，故卡氏第一定理适用于一切受力状态的弹性体。对于线弹性体也必须把U写成给定位移的函数形式。令12.2卡氏定理则19上式为卡氏第一定理。它说明，弹性结构202.卡氏第二定理图示为非线性弹性杆，Pi为广义力，di为广义位移。各力按简单加载方式作用在梁上。梁的余能为

表明(1)余能定理12.2卡氏定理202.卡氏第二定理图示为非线性弹性杆，Pi21令上式称为余能定理。可用于求解非线性弹性结构与Pi相应的位移。得设第i个力Pi有一个增量dPi，其余各力均保持不变，各位移均不变。余功和余能的改变量分别是12.2卡氏定理21令上式称为余能定理。可用于求解非线性弹性结构与Pi相应的22(2)卡氏第一定理和余能定理的比较

卡氏第一定理

余能定理di→di+ddi，其他位移均不变，所有的力均不变。Pi→Pi+dPi，其他力均不变，所有的位移均不变。12.2卡氏定理22(2)卡氏第一定理和余能定理的比较卡氏23

卡氏第一定理

余能定理

续表(平衡方程)（变形的几何关系）适用于非线性和线性弹性体适用于非线性和线性弹性体12.2卡氏定理23卡氏第一定理余能定24(3)卡氏第二定理当结构为线弹性体时，由于力P和位移d成正比，Uc在数值上等于应变能U（如图）。若把用力表示，即余能定理可以写成上式称为卡氏第二定理，它是余能定理在线弹性情况下的特殊情况。仅适用于线弹性体，它将是研究的重点。UcP1Pd

d1

a(e)O12.2卡氏定理24(3)卡氏第二定理当结构为线弹性体时25它表明，线弹性结构的应变能，对于作用其上的某一荷载的变化率，等于与该荷载相应的位移。注意:组合变形（不计剪力的影响）时也可以写成用该式计算时，可减少计算工作量。12.2卡氏定理25它表明，线弹性结构的应变能，对于作用其上26

例2图a所示为一等截面开口圆环，弯曲刚度为EI，材料为线弹性。用卡氏第二定理求圆环开口处的张开量d。不计剪力和轴力的影响。12.2卡氏定理26例2图a所示为一等截面开口圆环，弯曲刚度为EI27圆环开口处的张量就是和两个F力相对应的相对线位移，即（←→）用

角表示圆环横截面的位置，并规定使圆环内侧受拉时弯矩为正，则弯矩方程及其对P的偏导数分别为解：，12.2卡氏定理27圆环开口处的张量就是和两个F力相对应的相对线位移，即（←28结果为正，表示广义位移方向和广义力的指向一致。（）←→利用对称性，由卡氏第二定理，得12.2卡氏定理28结果为正，表示广义位移方向和广义力的指向一致。（29

例3三杆的材料相同，s

=Ke1/n(n>1)，横截面面积均为A，1,2两杆长度为l。用余能定理求各杆的轴力。12.2卡氏定理29例3三杆的材料相同，s=Ke1/n(n>30解：以铰链D的支反力X为多余未知力，基本静定系如图b所示，F，X看作基本静定系上独立的外力，所以

Uc=Uc

(P,X)

（不能含有其它未知力）因为铰链D处沿铅垂方向的位移为零，应有由该式求出X后，再利用平衡方程求各杆的轴力。12.2卡氏定理30解：以铰链D的支反力X为多余未知力，31(1)（轴力均用P和X表示）由平衡方程得各杆的轴力分别为各杆的应力分别为(2)(3)由

得12.2卡氏定理31(1)（轴力均用P和X表示）由平衡方程得各杆的轴力分32结构的余能为(4)三杆的余能密度分别为12.2卡氏定理32结构的余能为(4)三杆的余能密度分别为12.2卡氏定理33（4）式包含了平衡方程和物理方程，而，表示变形的几何关系。由，得将X值代入（1），得

以力为基本未知量解超静定问题的方法，称为力法。12.2卡氏定理33（4）式包含了平衡方程和物理方程，而，表示34

例4刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求支反力。CABqll(a)12.2卡氏定理34例4刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计35解：该题为一次超静定。以铰链C的铅垂支反力X为多余未知力，基本静定系如图b所示。由于,但是在中，出现(U也将出现)，必须把CABqll(a)l(b)yVCxxXVAxVAyCABql用q,X

表示。由，得12.2卡氏定理35解：该题为一次超静定。以铰链C的铅垂36CB,AB段的弯矩方程及其对X的偏导数分别为，由，得l(b)yVCxxXVAxVAyCABql12.2卡氏定理36CB,AB段的弯矩方程及其对X的偏导数分别为37解得（↓）和图示方向相反。（↑）（←）（←）由平衡条件得l(b)yVCxxXVAxVAyCABql12.2卡氏定理37解得（↓）和图示方向相反。（↑）（38

例5半圆环的弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求对称截面上的内力。12.2卡氏定理38例5半圆环的弯曲刚度为EI，不计剪力和39解：沿半圆环的对称截面处截开，取两个1/4圆环为基本静定系（图b)，多余未知力为轴力X1,弯矩X2,剪力X3。该题为三次超静定。(a)

但由于结构与荷载均是对称的，内力也应该是对称的，但X3是反对称的，故X3＝0，问题简化为二次超静定。半圆环的应变能只能为P，X1，X2的函数，即12.2卡氏定理39解：沿半圆环的对称截面处截开，取两个140与X1，X2相应的位移条件分别为两截面的相对线位移和相对角位移为零，即(b)弯矩方程及其对X1，X2的偏导数分别为(c)12.2卡氏定理40与X1，X2相应的位移条件分别为两截面的相对线位移和相41注意到基本静定系为两个1/4圆环，(b)式成为(d)(e)将(c)式代入(d)和(e)式，可解得12.2卡氏定理41注意到基本静定系为两个1/4圆环，(b)式成为(d)(e4212.3最小势能原理1.势能取结构在未受力时的状态作为参考状态，势能为U——拉杆变形过程中所积蓄的应变能；△——拉杆受力后的变形。势能的一般表达式：这一表达式适用于任何弹性结构，为广义力，为相应的广义位移。4212.3最小势能原理1.势能取结构在未受力时的状态作为432.最小势能原理当任一位移有一个微小增量时，忽略高阶微量，势能的改变量为由卡氏第一定理得，上式是表示结构平衡的充分必要条件，且适用于一切弹性结构。驻值原理12.3最小势能原理432.最小势能原理当任一位移有一个微小增量时，忽略高阶微量44结构平衡形态的稳定性可由下述规则判断：取最小值，稳定的平衡；取最大值，中稳定的平衡；取恒定值，中性的或临界的平衡。对于稳定平衡的弹性结构，最小势能原理等价于平衡条件，适用于一切弹性结构。12.3最小势能原理44结构平衡形态的稳定性可由下述规则判断：取最小值，稳定的平4512.3最小势能原理例6如图所示超静定杆系中，三杆材料相同且横截面面积均为A，材料为线弹性，弹性模量为E，试求各杆应力。解：由于对称性，E点只有铅垂位移，设为D。3杆的应变为其比能为3杆的应变能为4512.3最小势能原理例6如图所示超静定杆系中，4612.3最小势能原理1、2杆的应变为其比能为其应变能为该杆系结构的总应变能为4612.3最小势能原理1、2杆的应变为其比能为其应变能为47结构的势能为由最小势能原理三杆应力分别为12.3最小势能原理47结构的势能为由最小势能原理三杆应力分别为12.3最小势4812.4瑞利-里兹法瑞利-里兹法主要思路：（1）用假设的变形形状近似表示变形的真实形状；（2）用形状函数表示假设的变形形状，形状函数含有一个或多个不定的位移参数；（3）将势能表示成上述位移参数的函数；（4）根据势能驻值原理，令势能对每一位移参数的偏导数为零，得到一组以未知的位移参数表示的联立方程组；（5）求解方程组，得出各个位移参数，所假设的变形形状即可得到；（6）求出内力。4812.4瑞利-里兹法瑞利-里兹法主要思路：（1）用假设49例7试确定如图所示阶梯状梁中央处挠度的近似值。解：取形状函数为由边界条件：于是由对称性条件：12.4瑞利-里兹法49例7试确定如图所示阶梯状梁中央处挠度的近似值。解：取50全梁的弯曲应变能为将代入：该梁总势能为12.4瑞利-里兹法50全梁的弯曲应变能为将51应用最小势能原理，得求得12.4瑞利-里兹法51应用最小势能原理，得求得12.4瑞利-里兹法52例8试用瑞利-里兹法计算如图所示两端简支阶梯状压杆的临界压力。已知材料的弹性模量为E。解：在临界压力Pcr作用下，压杆可在微弯状态下维持中性平衡