以2l为周期的函数的展开式课件

§15.2以为周期的函数的展开式一、以2l为周期的函数的Fourier级数二、奇偶函数的Fourier级数三、函数展开成正弦级数或余弦级数2l2023/8/21§15.2以为周期的函数的展开式一、以2l为周期一、以2l为周期的函数的Fourier级数2023/8/22一、以2l为周期的函数的Fourier级数2023/7/31～～即2023/8/23～～即2023/7/313其中2023/8/24其中2023/7/314定理若f(x)在[-l,l]按段光滑，则有相应的收敛定理。2023/8/25定理若f(x)在[-l,l]按段光滑，则有相应的收敛定理解2023/8/26解2023/7/3162023/8/272023/7/317解把f(x)延拓成周期为10的周期函数（如图）.这是一个奇函数，且满足收敛定理条件.2023/8/28解把f(x)延拓成周期为10的周期函数（如图）.这是一个奇函2023/8/292023/7/319另解2023/8/210另解2023/7/3110二、奇偶函数的Fourier级数一般说来，一个函数的Fourier级数既含有正弦项，又含有余弦项.但是，也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.定理2023/8/211二、奇偶函数的Fourier级数一般说来，一证明奇函数同理可证(2)偶函数2023/8/212证明奇函数同理可证(2)偶函数2023/7/3112定义2023/8/213定义2023/7/3113解所给函数满足收敛定理的条件.2023/8/214解所给函数满足收敛定理的条件.2023/7/3114和函数图象2023/8/215和函数图象2023/7/31152023/8/2162023/7/3116三、函数展开成正弦级数或余弦级数非周期函数的周期性延拓常用如下两种：延拓方式有无限多种，2023/8/217三、函数展开成正弦级数或余弦级数非周期函数的周期性延拓常用如奇延拓:2023/8/218奇延拓:2023/7/3118偶延拓:2023/8/219偶延拓:2023/7/3119注1：对f(x)作不同的延拓，得到不同的Fourier展开式，但限制在(0,l)上是相等的。因此，[0，l]上函数的Fourier展开有无限多种.常用奇延拓和偶延拓，从而得到正弦级数和余弦级数.求f(x)在[0，l]的Fourier展开式时，并不要求写出延拓后的函数表达式。注2：注3：2023/8/220注1：对f(x)作不同的延拓，得到不同的Fourier展开式

设函数

求的Fourier级数展开式.

是上的偶函级,其周期延拓后(如下图)xyo

由于是按段光滑函数,故可展开成余弦级数.2023/8/221设函数求的Fourier级数展开式.是所以2023/8/222所以2023/7/3122把在内展成(i)正弦级数;(ii)余弦级数.(i)为了把展成正弦级数,对作奇式周期延拓xyo2023/8/223把在内展成则所以当时,由收敛定理得

(ii)为了把展成余弦级数,对作偶式周期延拓如下图:2023/8/224则所以当时,由收敛定理得xyo则2023/8/225xyo则2023/7/3125xyo2023/8/226xyo2023/7/3126解(1)求正弦级数.2023/8/227解(1)求正弦级数.2023/7/3127(2)求余弦级数.2023/8/228(2)求余弦级数.2023/7/3128对f(x)作其他延拓，Fourier级数如何？例:2023/8/229对f(x)作其他延拓，Fourier级数如何？例:2022023/8/2302023/7/3130需澄清的几个问题.(误认为以下三种说法正确)a.只有周期函数才能展成傅氏级数;2023/8/231需澄清的几个问题.(误认为以下三种说法正确)a.只有周期函练习解对f(x)作延拓，使其定义区间长度为2，再做周期延拓。由于没有要求傅里叶级数的形式，因此有无穷多种解答，一般选择易于计算的方式。方式一将f(x)延拓成2023/8/232练习解对f(x)作延拓，使其定义区间长度为2，再做周期延拓。2023/8/2332023/7/3133方式二