第1章-行列式课件

第1章行列式行列式是线性代数的一个重要组成部分.它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式的重要工具.本章介绍了n阶行列式的定义、性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用——克莱姆法则.1第1章行列式行列式是线性代数的一个重要组第1章行列式n阶行列式的定义行列式的性质行列式按行（列）展开克莱姆法则—行列式的一个简单应用2第1章行列式n阶行列式的定义2第1.1节n阶行列式的定义返回教学目的：掌握二、三阶、n阶行列式定义，排列及其

逆序数概念，转置行列式定义。教学重点：n阶行列式定义，排列及其逆序数概念。教学难点：n阶行列式定义，排列的逆序数求法。3第1.1节n阶行列式的定义返教学目的：掌握二、三阶、

1.二阶与三阶行列式(1)二阶行列式为求得上述方程组的解，可利用加减消元得到：41.二阶与三阶行列式(1)二阶行列式为求得上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得。为便于记忆，引进如下记号：称其为二阶行列式.据此，解中的分子可分别记为：5上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而例1解二元线性方程组解:方程组未知量的系数所构成的二阶行列式方程组有惟一解.又于是方程组的解为6例1解二元线性方程组解:方程组未知量的系数所构成的二阶行(2)三阶行列式称为三阶行列式.‘—’三元素乘积取“+”号；‘…’三元素乘积取“-”号。主对角线法7(2)三阶行列式称为三阶行列式.‘—’三元素乘积取“+”例2

计算三阶行列式解:由主对角线法，有8例2计算三阶行列式解:由主对角线法，有8例3

解线性方程组解：系数行列式方程组有惟一解.又于是方程组的解为9例3解线性方程组解：系数行列式方程组有惟一解.又于是方程思考与练习（三阶行列式）

1.方程化简为(x-1)2=4,其解为x=3或x=-1；答案10思考与练习（三阶行列式）1.方程化简为(x-1)22.排列及其逆序数(1)排列由自然数1,2,…,n组成的一个有序数组i1i2…in称为一个n级排列.如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：123132213231312321（总数为n!个）注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相反)——构成逆序.112.排列及其逆序数(1)排列由自然数1,2,…,n组成的一(2)排列的逆序数定义：在一个n级排列i1i2…in中，若某两数的前后位置与大小顺序相反，即is>it(t>s)，则称这两数构成一个逆序。排列中逆序的总数，称为它的逆序数，记为(i1i2…in)。奇偶排列:若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶）数，

称它为奇（偶）排列。=3=2例4

(2413)(312)例5

(n(n-1)…321)

(135…(2n-1)(2n)(2n-2)…42)=0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2=2+4…+(2n-2)=n(n-1)12(2)排列的逆序数定义：在一个n级排列i1i2…in中对换：

在一个排列i1…is…it…in中，若其中某两数is和it互换位置,其余各数位置不变得到另一排列i1…it…is…in,这种变换称为一个对换,记为(isit).例6结论：①对换改变排列的奇偶性.

②任意一个n级排列与标准排列12…n都可以经过一系列对换互变.13对换：在一个排列i1①的证明对换在相邻两数间发生，即设排列…jk…(1)经j,k对换变成…kj…(2)

此时，排列(1)、(2)中j,k与其他数是否构成逆序的情形未发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化：若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1)

若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)一般情形设排列…ji1…isk…(3)经j,k对换变成…ki1…isj…(4)

易知，(4)可由(3)经一系列相邻对换得到：

k经s+1次相邻对换成为…kji1…is

…j经s次相邻对换成为…ki1…isj…即经2s+1次相邻对换后(3)成为(4).相邻对换改变排列的奇偶性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变.||14①的证明对换在相邻两数间发生，即14思考练习（排列的逆序数）1.(542163)2.(24…(2n-2)(2n)(2n-1)(2n-3)…31）答案1.92.1+3+...+(2n-1)=n215思考练习（排列的逆序数）1.(542163)思考练习（排列的逆序数）1.(542163)(24…(2n-2)(2n)(2n-1)(2n-3)…31）2.若排列的x1x2…xn逆序数为I，求排列xn

xn-1…x1的逆序数.答案详解继续16思考练习（排列的逆序数）1.(542163)思考练习（排列的逆序数详解）方法1在排列x1x2…xn中，任取两数xs和xt(s<t),则它们必在排列x1x2…xn或xnxn-1…x1中构成逆序，且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列x1x2…xn中取两数的方法共有依题意，有故排列x1x2…xn与xnxn-1…x1中逆序之和为此即17思考练习（排列的逆序数详解）方法1在排列x1x方法2

n个数中比i大的数有n-i个(i=1,2,…,n),若在排列x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中对i构成的逆序为(n-i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和为li+[(n-i)-li]=n-i(i=1,2,…,n)此即18方法2n个数中比i大的数有n-i个(i3.n阶行列式定义分析：(i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的乘积构成，除符号外可写为(ii)符号为“+”123231312（偶排列）“-”321213132（奇排列）(iii)项数为3！=6193.n阶行列式定义分析：(i)每一项均是由取自不同行、不同推广之，有如下n阶行列式定义定义：

n阶行列式是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积并冠以符号的项的和.(i)是取自不同行、不同列的n个元素的乘积；(ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性决定每一项的符号；(iii)表示对所有的构成的

n!个排列求和.20推广之，有如下n阶行列式定义定义：n阶行列式是所有取自不例4

证明上三角行列式证：由定义和式中,只有当所以上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积.21例4证明上三角行列式证：由定义和式中,只有当所以上三角例5计算解由行列式定义,和式中仅当22例5计算解由行列式定义,和式中仅当22由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n个元素的顺序可以任意交换.一般，可以证明定理:n阶行列式D=Det(aij)的项可以写为其中i1i2…in和j1j2…jn都是n级排列.或另一定义形式另一定义形式推论:n阶行列式D=Det(aij)的值为23由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n4.转置行列式定义：如果将行列式D的行换为同序数的列，得到的新行列式称为D的转置行列式，记为DT.即若244.转置行列式定义：如果将行列式D的行换为同序数的列，得24

1.用定义计算思考练习（n阶行列式定义）答案251.用定义计算思考练习（n阶行列式定义）答案25

2.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项。3.在六阶行列式|aij|中，下列各元素乘积应取什么符号？(1)a15a23a32a44a51a66(2)a11a26a32a44a53a65(3)a21a53a16a42a65a34思考练习（n阶行列式定义）262.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项。思考练习第1.2节n阶行列式的性质教学目的：掌握行列式的性质并用之求解行列式习题。教学重点：行列式性质2，3，4，5。教学难点：行列式性质3，4，5

及怎么样利用性质求解习题。返回27第1.2节n阶行列式的性质教学目的：掌握行列式的性质并性质1

行列式与它的转置行列式相等.（D=DT）证：事实上,若记DT=Det(bij),则解例1计算行列式28性质1行列式与它的转置行列式相等.（D=DT）证：事实上性质2互换行列式的两行(rirj)或列(cicj)，

行列式的值变号.推论若行列式D的两行（列）完全相同,则D=0.性质3

行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面，即推论(1)D中一行(列)所有元素为零，则D=0；(2)D的两行(列)对应元素成比例，则D=0.29性质2互换行列式的两行(rirj)或列(cicj)性质4若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数

的和,则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同.即证30性质4若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数

的和性质5

行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以数k加到另一行(列)的相应元素上,行列式的值不变,即31性质5行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以数k加到另例2

计算行列式解32例2计算行列式解32解33解33解34解34例3

计算n阶行列式解(2)解(3)解(1)35例3计算n阶行列式解(2)解(3)解(1)35解(1)

注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a,有返回36解(1)注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a解(2)注意到行列式各行元素之和等于有返回37解(2)注意到行列式各行元素之和等于有返37解

(3)返回箭形行列式38解(3)返箭形行列式38例4

证明证

39例4证明证39证40证401.计算行列式思考练习（行列式的性质）411.计算行列式思考练习（行列式的性质）41思考练习（行列式性质答案）42思考练习（行列式性质答案）42]第1.3

节

行列式按行（列）展开教学目的：掌握行列式余子式及代数余子式概念，

行列式按行（列）展开定理。教学重点：行列式按一行（列）展开定理。教学难点：拉普拉斯展开定理。43第1.3节行列式按行（列）展开教学目的：掌握行列式观察三阶行列式定义=a11(a22a33-a23a32)+a12(a23a31-a21a33)+a13(a21a32-a22a31)a33a32a23a22a11=a31a33a21a23-a12a32a331a22a21+a1344观察三阶行列式定义=a11(a22a33-a23a32)+a1.行列式按一行（列）展开余子式与代数余子式在n阶行列式中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作Mij；而Aij=(-1)i+jMij称为元素aij的代数余子式.返回返回451.行列式按一行（列）展开余子式与代数余子式在n阶行列式中例1

求出行列式解46例1求出行列式解46行列式按一行（列）展开定理n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即47行列式按一行（列）展开定理n阶行列式等于它的任意一行（列）的证(i)D的第一行只有元素a110，其余元素均为零,即而A11=(-1)1+1M11=M11,故D=a11A11;48证(i)D的第一行只有元素a110，其余元素均为零,即而(ii)当D的第i行只有元素aij0时，即

将D中第i行依次与前i-1行对调,调换i-1次后位于第1行

D中第j列依次与前j-1列对调,调换j-1次后位于第1列经(i-1)+(j-1)=i+j-2次对调后,aij位于第1行、第1列,即(iii)一般地由(i)49(ii)当D的第i行只有元素aij0时，即将D中第i行依由(ii)50由(ii)50推论

n阶行列式的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即51推论n阶行列式的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应证考虑辅助行列式0=t列j列52证考虑辅助行列式0=t列j列52例2

计算行列式解法1法2选取“0”多的行或列53例2计算行列式解法1法2选取“0”多53例3

计算行列式解计算时，性质与按行（列）展开定理结合使用.54例3计算行列式解计算时，性质与按行（列）展开定理结合使用例4

计算n阶行列式解55例4计算n阶行列式解55解56解56例5

证明范得蒙行列式（Vandermonde)证

用数学归纳法57例5证明范得蒙行列式（Vandermonde)证用数学假设对n-1阶范德蒙行列式结论成立，以下考虑n阶情形.58假设对n-1阶范德蒙行列式结论成立，以下考虑5959例6

已知4阶行列式解法1法2利用行列式的按列展开定理，简化计算.60例6已知4阶行列式解法1法2利用行列式的按列展开定理，简6161思考练习（按行展开定理）计算行列式62思考练习（按行展开定理）计算行列式62思考练习（按行展开定理详解1）63思考练习（按行展开定理详解1）63思考练习（按行展开定理详解2）64思考练习（按行展开定理详解2）642.拉普拉斯（Laplace）定理k阶子式

在n阶行列式中，任意选定k行、k列（1≤k≤n）位于这些行列交叉处的k2个元素按原来顺序构成的一个k阶行列式N，称为行列式D的一个k阶子式.k阶子式N的余子式及代数余子式在D中划去k行、k列后，余下的元素按原来顺序构成的一个n-k阶行列式M，称为k阶子式N的余子式;而为其代数余子式.这里i1,i2,…,ik,j1,j2,…,jk分别为k阶子式N的行标和列标.652.拉普拉斯（Laplace）定理k阶子式在n阶行列式中在n阶行列式拉普拉斯（Laplace）定理任意取定k行(1kn),由这k行元素组成的k阶子式N1,N2,…,Vt与它们的代数余子式

的乘积之和等于D，即66在n阶行列式拉普拉斯（Laplace）定理任意取定k行(1解例7计算行列式67解例7计算行列式67第1.4节

克莱姆法则教学目的：掌握克莱姆法则教学重点：克莱姆法则教学难点：克莱姆法则68第1.4节克莱姆法则教学目的：掌握克莱姆法则68下面以行列式为工具,研究含有n个未知量、n个方程的n元线性方程组的问题.定理（克莱姆法则）如果n元线性方程组则方程组有惟一解.的系数行列式返回返回69下面以行