第二章回归分析课件

第二章回归分析Ch2.1回归分析与简单线性回归Ch2.2多元线性回归Ch2.3逐步回归Ch2.4非线性回归Ch2.5回归分析在气象上的应用海洋与气象学院大气科学专业第二章回归分析Ch2.1回归分析与简单线性回归海洋与气回归分析目前是所有统计分支中应用最广泛的一门学科，它被用于几乎所有的研究领域及工农业生产，包括产品的统计质量管理，市场预测，自动控制中数学模型的建立、气象预报、地质勘探、医学卫生等等。海洋与气象学院大气科学专业回归分析目前是所有统计分支中应用最广泛的一门学科，它被用于几Ch2.1回归分析与简单线性回归一、相关与回归的基本概念二、简单线性回归★1、相关关系的特点2、回归分析的基本概念1、一元线性回归模型2、回归系数的最小二乘法估计3、回归方程的方差分析4、相关系数与线性回归5、回归方程的显著性检验(F检验)海洋与气象学院大气科学专业Ch2.1回归分析与简单线性回归一、相关与回归的基本概

正相关

线性相关

不相关

相关系数：统计依赖关系

负相关

11££-XYr

有因果关系

回归分析

正相关无因果关系相关分析

非线性相关

不相关

负相关一、相关与回归的基本概念海洋与气象学院大气科学专业正相关线性相关不相关相关系数：统计依赖1、相关关系的特点一、相关与回归的基本概念（1）现象之间确实存在数量上的依存关系。（2）现象之间数量上的依存关系不是确定的。海洋与气象学院大气科学专业1、相关关系的特点一、相关与回归的基本概念（1）现象之间确实它是以直角坐标系的横轴代表变量X，纵轴代表变量Y，将两个变量间相对应的变量值用坐标点的形式描述出来，用来反映两变量之间相关关系的图形。

相关图：又称散点图正相关负相关曲线相关不相关xyxyxyxy海洋与气象学院大气科学专业它是以直角坐标系的横轴代表变量X，纵轴代表变量Y，将两个变量它是以直角坐标系的横轴代表变量X，纵轴代表变量Y，将两个变量间相对应的变量值用坐标点的形式描述出来，用来反映两变量之间相关关系的图形。

相关图：又称散点图北京3月下旬平均最低温度（Tm）环流指标A(3月16~20日500Pha候平均图上沿130°E，30~40°N的高度差)例海洋与气象学院大气科学专业它是以直角坐标系的横轴代表变量X，纵轴代表变量Y，将两个变量样本序12345678910Y(Tm)0.91.22.22.4-0.52.5-1.10.06.22.7X(A)32.025.020.026.027.024.028.024.015.016.0样本序11121314151617181920Y(Tm)3.2-1.12.51.21.80.62.42.51.2-0.8X(A)24.030.022.030.024.033.026.020.032.035.0北京Tm与A资料表海洋与气象学院大气科学专业样本序12345678910Y(Tm)0.2、回归分析的基本概念回归分析(regressionanalysis)是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。一、相关与回归的基本概念根据相关关系的数量表达式（回归方程式）与给定的自变量x，揭示应变量y在数量上的平均变化和求得应变量的预测值的统计分析方法即当自变量取某个确定值时，与之统计相关的应变量所有可能出现的对应值的平均值。海洋与气象学院大气科学专业2、回归分析的基本概念回归分析(regressionan北京Tm与A的相关图海洋与气象学院大气科学专业北京Tm与A的相关图海洋与气象学院大气科学专业或更一般地称为总体回归曲线是一线性函数。其中，0，1是未知参数，称为回归系数（regressioncoefficients）。回归模型（sampleregressionmodel）在给定自变量Xi条件下应变量Yi的期望轨迹(populationregressionline)(populationregressioncurve)称为总体回归线海洋与气象学院大气科学专业或更一般地称为总体回归曲线是一线性函数。其中，0，1是未回归分析按自变量个数分按回归曲线形式分一元回归多元回归线形回归非线性回归回归分析的类型（简单回归）（复回归）一元线性回归SimpleLinearregression海洋与气象学院大气科学专业回归分析按自变量按回归曲线一元回归多元回归线形回归非线性回归Ch2.1回归分析与简单线性回归一、相关与回归的基本概念二、简单线性回归★1、相关关系的特点2、回归分析的基本概念1、一元线性回归模型2、回归系数的最小二乘法估计3、回归方程的方差分析4、相关系数与线性回归5、回归方程的显著性检验(F检验)★海洋与气象学院大气科学专业Ch2.1回归分析与简单线性回归一、相关与回归的基本概二、简单线性回归1.一元线性回归模型

或

回归常数回归系数

(2.1)海洋与气象学院大气科学专业二、简单线性回归1.一元线性回归模型或回归常数回()2

2、回归系数的最小二乘法估计最小二乘法(OrdinaryLeastSquares)即达最小值(2.2)

Q是待定回归系数b0和b的函数。OLS基本思想：所有散点离回归线最近，即残差平方和最小。使观测值y与估计值的误差(残差)平方和达最小值的求回归系数b0和b的方法。海洋与气象学院大气科学专业()22、回归系数的最小二乘法估计最小二乘法(

根据微积分学的极值原理，有即海洋与气象学院大气科学专业根据微积分学的极值原理，有即海洋与气象学院大气科学专业整理，有②①(2.3)求回归系数的标准方程组（正规方程组）海洋与气象学院大气科学专业整理，有②①(2.3)求回归系数的标准方程组海洋与气象学院

解标准方程组有：由①式得(2.4a)

将b0代入②式整理(2.4b)

海洋与气象学院大气科学专业解标准方程组有：由①式得(2.4a)将b0代入②对北京Tm与A

建立一元线性回归模型根据所得观测资料，计算有关统计量海洋与气象学院大气科学专业对北京Tm与A

建立一元线性回归模型根据所得观测资料，计算计算b和b0回归方程海洋与气象学院大气科学专业计算b和b0回归方程海洋与气象学院大气科学专业复习提问1.OLS的基本思想是什么?2.说出求一元回归方程系数的公式所有散点离回归线最近，即残差平方和最小。海洋与气象学院大气科学专业复习提问1.OLS的基本思想是什么?2.说出求一元回归方对于某一个样本点yi的值，可分解成对上式两端平方3、回归方程的方差分析

从x与y的相关回归图上可以发现：整理上式=0海洋与气象学院大气科学专业对于某一个样本点yi的值，可分解成对上式两端平方3、回归方结果总离差平方和,记为Lyy。表示样本本身的变化。回归平方和，记为U。其表示由自变量X的变化而引起Y的变化残（误）差平方，记为Q。其表示排除自变量x影响以外的其他偶然因素引起对Y的影响。海洋与气象学院大气科学专业结果总离差平方和,记为Lyy。表示样本本身的变化。回归平方总离差平方和,记为Lyy。表示样本本身的变化。回归平方和，记为U。其表示由自变量X的变化而引起Y的变化残（误）差平方，记为Q。其表示排除自变量x影响以外的其他偶然因素引起对Y的影响。原式写为海洋与气象学院大气科学专业总离差平方和,记为Lyy。表示样本本身的变化。回归平方和，记对于给定的样本，Lyy是定值。当Q增大时，U减小；Q减小时，则U增大。当U较大时，表明用这种线性关系解释y与x的关系比较符合实际情况，回归模型就比较好。原式写为海洋与气象学院大气科学专业对于给定的样本，Lyy是定值。当Q增大时，U减小；Q减小时，将代入上式4、相关系数与线性回归海洋与气象学院大气科学专业将代入上式4、相关系数与线性回归海洋与气象学院大气科学专业得意义：反映了预报因子x与预报量y的的线性关系程度。说明所有实测点y全在直线回归方程上。当r=0时，即当预报因子x与预报对象y的|r|越大,则U越大,回归效果越好.当r=±1时，说明x与y无线性关系。海洋与气象学院大气科学专业得意义：反映了预报因子x与预报量y的的线性关系程度。说明所有5、回归方程的显著性检验(F检验)假设H0:总体的回归系数β=0

引入F统计量其中

思考:为什么分子自由度是1,分母的是n-2?～F(f1,f2)海洋与气象学院大气科学专业5、回归方程的显著性检验(F检验)假设H0:总体的回归系数β五、回归方程的显著性检验(F检验)取信度α(0.1，0.05,0.01),查F分布表。若F＜

时，接受H0，方程回归效果不显著若F≥时，拒绝H0，方程回归效果显著海洋与气象学院大气科学专业五、回归方程的显著性检验(F检验)取信度α(0.1，0.05对北京3月下旬Tm与A的回归方程进行显著检验对于一元线性回归,其U的表达式海洋与气象学院大气科学专业对北京3月下旬Tm与A的回归方程进行显著检验对于一元线性回归对北京3月下旬Tm与A的回归方程进行显著检验根据所给资料计算海洋与气象学院大气科学专业对北京3月下旬Tm与A的回归方程进行显著检验根据所给资料计算则F统计量值取信度α=0.05,查F分布表,结果:回归方程显著Fα=4.41海洋与气象学院大气科学专业则F统计量值取信度α=0.05,查F分布表,结果:回归方程小结相关与回归分析的概念一元线性回归分析一元线性回归的模型最小二乘法估计回归系数回归方程效果分析与检验海洋与气象学院大气科学专业小结相关与回归分析的概念一元线性回归分析一元线性回归的样本序12345678910Y(Tm)0.91.22.22.4-0.52.5-1.10.06.22.7X(A)32.025.020.026.027.024.028.024.015.016.0样本序11121314151617181920Y(Tm)3.2-1.12.51.21.80.62.42.51.2-0.8X(A)24.030.022.030.024.033.026.020.032.035.0北京Tm与A资料表海洋与气象学院大气科学专业样本序12345678910Y(Tm)0.北京Tm与A的相关图海洋与气象学院大气科学专业北京Tm与A的相关图海洋与气象学院大气科学专业北京Tm与A的相关图海洋与气象学院大气科学专业北京Tm与A的相关图海洋与气象学院大气科学专业北京Tm与A的相关图基本数学要求海洋与气象学院大气科学专业北京Tm与A的相关图基本数学要求海洋与气象学院大气科学专业北京Tm与A的相关图海洋与气象学院大气科学专业北京Tm与A的相关图海洋与气象学院大气科学专业北京Tm与A的散布图海洋与气象学院大气科学专业北京Tm与A的散布图海洋与气象学院大气科学专业Ch2.2多元线性回归(MultipleRegression)一、多元线性回归方程模式二、用最小二乘法估计回归系数三、回归效果分析五、多元线性回归方程建立步骤四、多元线性回归方程因子数目★★海洋与气象学院大气科学专业Ch2.2多元线性回归(MultipleRegre一、多元线性回归方程模式设y与多个变量x1，x2，x3，，，，，xp的关系是线性的，则其线性回归表达式为多元线性回归的几何意义：不是一条直线，而是一个回归平面海洋与气象学院大气科学专业一、多元线性回归方程模式设y与多个变量x1，x2，x3，，，二、用最小二乘法估计回归系数建立正规方程组OLS基本思想：所有散点离回归线最近，即残差平方和最小。即

由微分极值定理知必有………...……海洋与气象学院大气科学专业二、用最小二乘法估计回归系数建立正规方程组OLS基本思想：所得P+1个方程，组成确定回归系数的方程组。………………海洋与气象学院大气科学专业得P+1个方程，组成确定回归系数的方程组。………海洋与气象学院大气科学专业海洋与气象学院大气科学专业

正规方程组P个方程公式小结海洋与气象学院大气科学专业正规方程组P个方程公式小结海洋与气象学院大与原始变量的相同距平变量的多元回归模式：标准化变量的多元回归模式：其正规方程组其正规方程组相关系数取代了协方差为什么方程中没有系数b0海洋与气象学院大气科学专业与原始变量的相同距平变量的多元回归模式：标准化变量的多元回归2．解正规方程组（1）当为二元方程组时，可用代入法、行列式法解。（2）当为三元以上时，则用高斯-约当消元法（求解求逆）解方程。(具体见教材P260～263)海洋与气象学院大气科学专业2．解正规方程组（1）当为二元方程组时，可用代入法、行列式法初始步：将正规方程组的系数、常数项组成系数的增广矩阵为（1）消元法的基本思路及步骤海洋与气象学院大气科学专业初始步：将正规方程组的系数、常数项组成系数的增广矩阵为（1）第一步：令k=1，先把第一列中的元素变换为第二步：令k=2，再把第列中的元素变换为第三步：依此类推，直到把所有的系数矩阵的元素都转换成0、1,使得增广矩阵的系数矩阵变为单位矩阵。求出系数值。（1）消元法的基本思路及步骤此时称为对第1列消元称为对第2列消元海洋与气象学院大气科学专业第一步：令k=1，先把第一列中的元素变换为第二步：令k=2，（2）消元法的计算公式(B.1)高斯约当消元求解求逆计算公式(B.2)高斯约当消元求解求逆紧凑公式海洋与气象学院大气科学专业（2）消元法的计算公式(B.1)高斯约当消元求解求逆计算公Ch2.2多元线性回归(MultipleRegression)一、多元线性回归方程模式二、用最小二乘法估计回归系数三、回归效果分析五、多元线性回归方程建立步骤四、多元线性回归方程因子数目★★★海洋与气象学院大气科学专业Ch2.2多元线性回归(MultipleRegre三、回归效果分析（一）总回归效果分析海洋与气象学院大气科学专业三、回归效果分析（一）总回归效果分析海洋与气象学院大气科学(二)复相关系数表示一个变量与多个变量的综合作用。几何意义上是一超几何空间的、由多个变量形成的“面”用“R”表示,取值范围是[0，1]R=1表示实际点子与理论上配合的面完全重合R越大，表示各自变量与预报对象相关越紧密，回归效果越好。定义（MultipleCorrelation）海洋与气象学院大气科学专业(二)复相关系数表示一个变量与多个变量的综合作用。几何意F检验公式也可以用R计算求得海洋与气象学院大气科学专业F检验公式也可以用R计算求得海洋与气象学院大气科学专业（三）各因子重要性检验(偏回归平方和的检验)前面讲的有关多元线性回归的内容，纯属一元情形的推广，只是形式上复杂一些而已，而各因子的重要性检验则是多元回归分析所特有的。在实际工作中,建立多元回归方程的同时,我们还关心Y对x1,x2,···xk的线性回归中,哪些预报因子(自变量)更重要些,哪些不重要。海洋与气象学院大气科学专业（三）各因子重要性检验(偏回归平方和的检验)前面讲的有怎栏来衡量某个特定因素（ｋ=１,２,…p）的影响呢?1．标准回归系数法该方法不用适用于因子间关系太密切的情况。bzp消除了因子量纲bzp标准回归系数越大，因子对Y的影响越大，也就越重要。海洋与气象学院大气科学专业怎栏来衡量某个特定因素（ｋ=１,２,…p）的影响呢?1．标准对于Y的总的线性影响,记作U(k)2．偏回归平方和检验法前面学过的知识回归平方和U刻划了全体自变量对Y总的线性影响考察xk的作用当从原来ｋ个自变量中删除xk变量时U-U(k)则有Vk=假定原方程中有x1,x2,···xk因子,方程的回归平方和为U海洋与气象学院大气科学专业对于Y的总的线性影响,记作U(k)2．偏回归平方和检验法前面对于Y的总的线性影响,记作U(k)2．偏回归平方和检验法前面学过的知识回归平方和U刻划了全体自变量对Y总的线性影响考察xk的作用当从原来ｋ个自变量中删除xk变量时U-U(k)则有Vk=假定原方程中有x1,x2,···xk因子,方程的回归平方和为U海洋与气象学院大气科学专业对于Y的总的线性影响,记作U(k)2．偏回归平方和检验法前面U-U(k)Vk=这个差值可看作是由xk产生的、对回归平方和的作用(贡献)。一般我们就称为x1,x2,···xk中xk的偏回归平方和。偏回归平方和定义当取消(引入)一个自变量Xi后，方程总回归平方和的减少(增加)的数值称为Y对Xi的偏回归平方和，记为Vi。其计算公式为其中Cii为系数矩阵的逆矩阵中对角线上对应的元素。海洋与气象学院大气科学专业U-U(k)Vk=这个差值可看作是由xk产生的、对回归平从偏回归平方和的意义可以看出,凡是对Y作用显著的因素一般具有较大的Vi值。Vi愈大,该因素对Y的作用也就愈大,这样通过比较各个因素的Vｉ值就可以大致看出各个因素对因素变量作用的重要性。大到什么程度才算显著偏回归平方和的检验：若F计≥Fα，则认为Xi因子对Y作用显著，不能剔除。反之亦然k是方程中的因子数；取信度α大海洋与气象学院大气科学专业从偏回归平方和的意义可以看出,凡是对Y作用显著的因素一（三）预报对象的置信区间估计95%的置信区间：σ的无偏估计量从一元线性回归模型的假定中可知：预报对象yi是遵从正态分布的。因此，预报对象的95%置信区间为剩余标准差海洋与气象学院大气科学专业（三）预报对象的置信区间估计95%的置信区间：σ的无偏估计Ch2.2多元线性回归(MultipleRegression)一、多元线性回归方程模式二、用最小二乘法估计回归系数三、回归效果分析五、多元线性回归方程建立步骤四、多元线性回归方程因子数目★★★★海洋与气象学院大气科学专业Ch2.2多元线性回归(MultipleRegre四、多元线性回归方程因子数目从多元线性回归的方差分析中知，某一固定的预报对象Y的总离差平方和是一常数，它所分解的U与Q成反比例。且U越大时，复相关系数也越大，方程的残差均方差估计值就越小。一般当增加进入回归方程的因子数目时，残差平方和就下降，U增大，R也增大。海洋与气象学院大气科学专业四、多元线性回归方程因子数目从多元线性回归的方差分析④因子之间近似独立时(即因子间的相关系数较小时)，对残差平方和下降的贡献较大经统计分析与推导可知有(见教材P57～58页的表2.4和表2.5)①单相关系数愈高的因子，对残差平方和下降的贡献愈大。即r愈大，Q愈小②多引入一个因子，残差平方和就下降一些。③当因子增加到一定数目时，残差平方和下降的幅度就很小，现增加因子对提高方程的精度已不起很大作用。一般方程的因子数以5～6左右为适宜。通常可取样本数n的1/5～1/10为方程的因子数。海洋与气象学院大气科学专业④因子之间近似独立时(即因子间的相关系数较小时)，对残差平方Ch2.2多元线性回归(MultipleRegression)一、多元线性回归方程模式二、用最小二乘法估计回归系数三、回归效果分析五、多元线性回归方程建立步骤四、多元线性回归方程因子数目★★★★★海洋与气象学院大气科学专业Ch2.2多元线性回归(MultipleRegre1．确定预报对象，选择适当的因子。2．根据数据计算回归系数正规方程组所包含的有关统计量。3．解正规方程组。（紧凑求解求逆法）4．建立回归方程，并进行回归效果显著性检验。5．求回归方程预报置信区间。6．根据所得到的方程，进行历史回代，计算拟合率。7．利用剩余的样本进行试报。五、多元线性回归方程建立步骤海洋与气象学院大气科学专业1．确定预报对象，选择适当的因子。五、多元线性回归方程建立步例2:预报北京1982年1月气温y,选取三个因子(取自1951～1980年500hPa高度场),具体见教材P47～48.1．确定预报对象，选择适当的因子。2．根据数据计算回归系数正规方程组所包含的有关统计量。步骤3．解正规方程组。（紧凑求解求逆法）海洋与气象学院大气科学专业例2:预报北京1982年1月气温y,选取三个因子(取自1954．建立回归方程，并进行回归效果显著性检验。5．求回归方程预报置信区间。6．根据所得到的方程，进行历史回代，计算拟合率。7．利用剩余的样本进行试报。海洋与气象学院大气科学专业4．建立回归方程，并进行回归效果显著性检验。海洋与气象学院大第二章回归分析Ch2.1回归分析与简单线性回归Ch2.2多元线性回归Ch2.3逐步回归Ch2.4非线性回归Ch2.5回归分析在气象上的应用海洋与气象学院大气科学专业第二章回归分析Ch2.1回归分析与简单线性回归海洋与气Ch2.3逐步回归(MultipleRegression)一、问题的提出二、逐步回归的基本思想三、逐步回归模式和基本计算公式四、逐步回归举例★海洋与气象学院大气科学专业Ch2.3逐步回归(MultipleRegress一、问题的提出它们的F统计量值分别计算得所以F1、F2、F3三因子均小于查表值，不能通过检验。说明因子对预报对象的贡献并不重要。见教材P49页例2，方程三因子的偏回归平方和分别是：取信度0.05，查F分布表，F(1,26)=4.23问题一海洋与气象学院大气科学专业一、问题的提出它们的F统计量值分别计算得所以F1、F2、F3见教材P59页例4问题二取x1、x2、x4与y建立方程标准化变量的多元线性回归方程。方程的F值是166.4,在显著水平为0.05水平下，该回归方程是显著的。同样我们也计算三个因子的偏回归平方和并求出它们的F值，分别是取信度0.05，查F分布表，F(1,9)=5.12所以F2、F4二因子均小于查表值，不能通过检验。说明尽管方程是显著的，但不能说明所有因子对预报量有显著影响。海洋与气象学院大气科学专业见教材P59页例4问题二取x1、x2、x4与y建立方程标准化3.增多了与预报量无关的随机因素，影响回归方程的稳定性。一般情况下回归方程中的因子个数越多，U越大，Q越小，Sy就愈小，预报值的置信区间就愈小，方程一般也较容易通过检验。可能增加了与预报量关系不大的因子增多因子的缺点1.增大计算量2.增大预报值置信区间估计值若方程中含有对Y不起作用或作用极小的因子，则Q不会因变量的增加而减少多少，相反由于Q的自由度的减少，使残差方差估计增大因子个数越多海洋与气象学院大气科学专业3.增多了与预报量无关的随机因素，影响回归方程的稳定性。既要选择对预报量影响显著的因子，也就是说方程中每个因子对预报对象的影响都很重要，各因子间关系、作用相互协调，回归效果又显著，回归方程的残差方差Sy估计很小的。即所谓的最优回归方程解决问题的关键要点：

“最优”的回归方程就是包含所有对Y有影响的变量,而不包含对Y影响不显著的变量的回归方程。海洋与气象学院大气科学专业既要选择对预报量影响显著的因子，也就是说方程中每个因子对（4）“有进有出”的双重逐步回归分析。（1）从所有可能的因子（变量）组合的回归方程中选择最优者；（2）从包含全部变量的回归方程中逐次剔除不显著因子；（3）从一个变量开始，把变量逐个引入方程；选择“最优”的回归方程有以下几种方法：P61～P65

以第四种方法，即逐步回归分析法在筛选变量方面较为理想.见表2.7海洋与气象学院大气科学专业（4）“有进有出”的双重逐步回归分析。（1）从所有可能的因子Ch2.3逐步回归(MultipleRegression)一、问题的提出二、逐步回归的基本思想三、逐步回归模式和基本计算公式四、逐步回归举例★★海洋与气象学院大气科学专业Ch2.3逐步回归(MultipleRegress这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。从一个自变量开始，视自变量x作用的显著程度，从大到小地依次逐个引入回归方程。当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉。引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步。对于每一步都要进行V值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对Y作用显著的变量。二、逐步回归的基本思想(见P64)海洋与气象学院大气科学专业这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，Ch2.3逐步回归(MultipleRegression)一、问题的提出二、逐步回归的基本思想三、逐步回归模式和基本计算公式四、逐步回归举例★★★海洋与气象学院大气科学专业Ch2.3逐步回归(MultipleRegress方程模式：三、逐步回归模式和基本计算公式1.逐步回归模式变量形式：标准化变量确定系数的正规方程组海洋与气象学院大气科学专业方程模式：三、逐步回归模式和基本计算公式1.逐步回归模式2.基本计算公式方程系数的增广矩阵m:是指待引入的因子数,而不是最终方程中的因子数为了检验方便而增加的海洋与气象学院大气科学专业2.基本计算公式方程系数的增广矩阵m:是指待引入的因子数,逐步回归方程的基本统计量的计算公式方程因子的偏回归平方和：第l步时方程因子的标准回归系数：第l步时方程的残差平方和：

逐步回归方程的残差方差的标准均差：逐步回归方程的复相关系数：标准回归系数与原始变量的回归系数的转换：此时求的是原始值的置信区间估计值海洋与气象学院大气科学专业逐步回归方程的基本统计量的计算公式方程因子的偏回归平方和：引入或剔除一个因子时的偏回归平方和及检验的计算公式l-1：前一步设第l步引入因子，则需计算在l-1步骤时，方程中已引入的因子个数说明海洋与气象学院大气科学专业引入或剔除一个因子时的偏回归平方和及检验的计算公式l-1：前设第l步剔除因子，则需计算海洋与气象学院大气科学专业设第l步剔除因子，则需计算海洋与气象学院大气科学专业引入或剔除因子时求解回归系数的矩阵转换计算公式

设经偏回归平方和计算和检验，第l步引入或剔除第k个因子，则矩阵求解转换计算公式(B.2)

海洋与气象学院大气科学专业引入或剔除因子时求解回归系数的矩阵转换计算公式设经偏回归平因子引入和剔除的方差检验标准的确定逐步回归方法在计算过程中，由于因子个数在每一步是不相同的。为了避免麻烦，以及为了在计算机中运行方便，一般选取固定的F方差检验值。该值往往是粗略估计值。在信度为0.05时，F的变化值通常在4～5之间。故可一般选4为因子引入或剔除的方差检验临界值。事先估计方程中入选的因子数，然后通过查表确定n=13，估计方程因子数为13/5～13/10=2～3个因子，则f1=2～3，f2=13-(2~3)-1=10~9若按自由度(2,10)查F分布表，得F0.01=3.28，则可确定F检验值取3即可方法例如海洋与气象学院大气科学专业因子引入和剔除的方差检验标准的确定逐步回归方法在计算过程中Ch2.3逐步回归(MultipleRegression)一、问题的提出二、逐步回归的基本思想三、逐步回归模式和基本计算公式四、逐步回归举例★★★★海洋与气象学院大气科学专业Ch2.3逐步回归(MultipleRegress四、逐步回归举例以教材P70页例子说明建立R(0)矩阵。即相关系数增广矩阵。确定方差检验标准临界值。在信度为0.05水平下，约为4。n=13,m=4初始步：海洋与气象学院大气科学专业四、逐步回归举例以教材P70页例子说明建立R(0)矩阵。即③对要引入的第k因子进行消元矩阵转换，得R(1)第一步：引入第一个因子①计算待选因子中各个因子的偏回归平方和(方差贡献值)②选偏回归平方和最大者进行F方差检验。若能通过检验，则认为该因子可引入①计算余下的各待选因子的偏回归平方和②选偏回归平方和最大者进行F方差检验。若能通过检验，则认为该因子可引入③对要引入的新k因子进行消元矩阵转换，得R(2）第二步：考虑引入第二个因子海洋与气象学院大气科学专业③对要引入的第k因子进行消元矩阵转换，得R(1)第一步：引①计算余下的各待选因子的偏回归平方和②选偏回归平方和最大者进行F方差检验。若能通过检验，则认为该因子可引入③对要引入的k因子进行消元矩阵转换，得R(3)

第三步：考虑引入第三个因子（重复第二步）第四步：考虑有无因子剔除①计算已引入方程中的各个因子的偏回归平方和②选偏回归平方和最小者进行F方差检验。若能通过检验，则认为无因子可剔除，否则对不能通过的检验的因子进行剔除。③对要剔除的k因子进行消元矩阵转换，得R(4)海洋与气象学院大气科学专业①计算余下的各待选因子的偏回归平方和第三步：考虑引入第三个因第五步：考虑有无新因子可引入(重复第三步)如此反复引入--剔除--引入--剔除，直到无因子可引入也无因子可剔除为止。最后一步：整理写出回归方程：标准方程原始变量方程（距平变量方程）写出方差分析中:原始变量方程的各种统计量值海洋与气象学院大气科学专业第五步：考虑有无新因子可引入(重复第三步)如此反复引入--剔海洋与气象学院大气科学专业海洋与气象学院大气科学专业

求解求逆的几个性质：①每消去一列，就得到对应该列因子的回归方程的解及系数矩阵的逆矩阵②解的结果与消去列的顺序无关。如果消去次序变化，仅相当于方程组行两列系数交换，不影响方程组解。对已消去的列进行再消去等于恢复该列未消去前的元素。当方程组的系数矩阵为对称矩阵时，矩阵具有下列对