2023年中考数学一轮复习考点 函数中的折叠问题（基础篇）

专题3.17函数中的折叠问题（基础篇）

一、单选题

4

1.如图，直线y=-§x+8分别交X轴、y轴于A、8两点，在y轴的负半轴上有一点£）,

若将348沿直线AO折叠得到ADAC,点C在X轴上，则点。的坐标为（）

A.（0,-12）B.（0,-10）C.（0,-8）D.（0,-6）

2.将抛物线y=（x-+2沿y轴折叠后得到的新抛物线的解析式为（）

A.y=（x+l）2-2B.y=（x-l）2-2C.y=-（x-l）2-2D.y=（x+l）2+2

3.如图，在平面直角坐标系9中，矩形CMBC的边。4、0c分别在*轴和＞轴上，

OA=8,0c=6,点。是BC边上一动点，过点。的反比例函数丫=々》＞0）与边A3交于点

X

E.若将ADBE沿OE折叠，点8的对应点F恰好落在对角线AC上.则反比例函数的解析

式是（）

4.如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOC。沿直线AE折叠（点E在边。C上）,

折叠后顶点。恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为（10,8）.则点E的坐标为（)

y

D

A.(10,3)B.(10,4)C.(10,5)D.(10,6)

5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（-3,0）,点B的坐标是（0,4）,点C是OB

则点C的坐标为（）

0,|

D.

6.如图，在平面直角坐标系xOy中，。为坐标原点，4（4,0）,8（4,2）,C（0,2）,将AQAB

沿直线。8折叠，使得点A落在点。处,OD与BC交于点、E,则点。的纵坐标为（）

A.—B.一D.4

55

7.如图，长方形AOBC中，点A的坐标为（0,8）,点D的纵坐标为3,若将矩形

沿直线4。折叠，则顶点C恰好落在边上的E处，那么图中阴影部分的面积为（）

A.30B.32C.34D.36

8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（-3,0）,点8的坐标是（0,4）,点C是

08上一点，将A3C沿AC折叠，点B恰好落在x轴上的点B'处，则点C的坐标为（）

二、填空题

9.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCZ）沿直线AE折叠（点E在边DC上），折

叠后顶点。恰好落在边OC上的点尸处，若点。的坐标为（5,4）,则点E的坐标为

10.如图，在平面直角坐标系中，正方形。48c的边OC、OA分别在x轴和＞轴上,

。4=5,点。是边AB上靠近点A的三等分点，将△043沿直线0。折叠后得到△OA'D,

若反比例函数y=V（女H0）的图象经过4点，则k的值为

X

11.如图，长方形ABCO的边AO,CO正好落在坐标轴上，且AB=4,04=2,点D

是线段0C上一点，点E为线段AB上一点，沿DE折叠，使点B与点O重合，点C落

到C处，则此时点D的坐标为—.

J

3

12.如图,一次函数安7+6的图象与x轴交于点4与y轴交于点8,C是x轴上

一动点，连接3C,将△ABC沿8C所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为

13.如图，在平面直角坐标系中，长方形A8CQ的边CO,0A分别在x轴、），轴上，点

E在边8c上，将该长方形沿AE折叠，点B恰好落在边0C上的F处.若A（0,8）,CF=4,

14.如图，在矩形0ABe中，BC=2AB,点4、C分别在无轴、y轴正半轴上，点C坐标

为（0,〃），连接4C,将矩形0ABe沿AC折叠，点B的对应点为点夕，CB，交x轴于点Q,

则点。的坐标为（用含。的式子表示）.

15.将抛物线y=d+3向上平移一个单位后，又沿x轴折叠，得新的抛物线，那么新

的抛物线的表达式是.

16.点在双曲线y=8(x>0)上，将双曲线y=色*>0)沿y轴折叠得到双曲线

XX

QQ

),=——(x<0),将线段绕点O旋转，点A刚好落在双曲线》=-一。<0)上的点。3,〃)

xx

处，则m和n的数量关系是.

17.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOC。沿直线AE折叠(点E在边。C上)，

折叠后顶点。恰好落在边0C上的点尸处，已知AO=3,当点尸为线段0C的三等分点时,

点E的坐标为.

三、解答题

18.如图，ABC在平面直角坐标系中，AB/x轴，轴，?B90?,点8的坐

标为(1,3).将ABC沿AC折叠得到△AOC,点8落在点。的位置，A。交y轴于点E,

(1)求点D的坐标.

(2)求经过点A、。的直线的解析式.

19.如图，把矩形纸片。4BC放入直角坐标系中，使0Aoe分别落在x轴，y轴的正半

轴上，连接AC,且AC=4«,OA=2CO.

(1)求AC所在直线的解析式；

(2)将纸片04BC折叠，使点4与点C重合(折痕为EF),求折叠后纸片重叠部分的

面积；

(3)若过一定点M的任意一条直线总能把矩形(MBC的面积分为相等的两部分，则点

M的坐标为.

4

20.如图，直线y=-§x+8与x轴、y轴分别交于点A和8,M是OB上的一点，若将

△A8M沿AM折叠，点8恰好落在x轴上的点夕处，

(1)点M的坐标；

(2)求直线AM的解析式.

21.如图，梯形A8C3中，ABVDC,ZABC=90°,NA=45。.AB=30,BC=x,其

中54x<30.作于点E,将VADE沿直线QE折叠，点A落在尸处，DF交BC于

点G.

(1)用含有*的代数式表示瓦•的长；

(2)设四边形。EBG的面积为S,求S与x的函数关系式;

(3)当x为何值时，S有最大值，并求出这个最大值.

22.如图，折叠矩形OABC的一边BC,使点C落在0A边的点D处，己知折痕BE=5

不，且竺=金，以。为原点，0A所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛

0E3

物线1：y=—+(x+c经过点E,且与AB边相交于点F.

162

(1)求证：△ABD^AODE；

(2)若M是BE的中点，连接MF,求证：MF1BD；

(3)P是线段BC上一点，点Q在抛物线1上，且始终满足PDLDQ,在点P运动过

程中，能否使得PD=DQ?若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由.

23.如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B,OA：OB：AB=3：4：5,

且线段0A是方程2三=上]的解，M是线段0B上一点，若将\ABM沿直线4M折

龙+3x

叠，点B恰好落在x轴上的点P处.

(1)求点P的坐标：

(2)在y轴上是否存在点N，使MP2V是以PN为底的等腰三角形？若存在，请

直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由.

24.如图，己知直线4：＞=x+3与x轴交于点A,与》轴交于点B,与直线4：y=-；x交

于点p.直线/3：＞=-：》+4与x轴交于点c，与y轴交于点。，与直线4交于点Q，与直

线4交于点心

(1)点A的坐标是，点8的坐标是，点P的坐标

是;

(2)将一户08沿y轴折叠后，点P的对应点为尸，试判断点?是否在直线4上，并说

明理由;

(3)求二PQR的面积.

25.如图，已知直线4：y=x+3与X轴交于点A,与y轴交于点8,与直线4：y=-；x交

于点P.直线，3：y=-]x+4与X轴交于点c,与y轴交于点。，与直线4交于点。，与直

线4交于点R.

(1)点A的坐标是，点B的坐标是,点尸的坐标是;

(2)将APOB沿y轴折叠后，点尸的对应点为P,试判断点产是否在直线4上，并说

明理由；

(3)求0勿的面积.

参考答案

1.A

【分析】根据题意易得点B(0,8),A(6,0),则根据勾股定理可得AB=10,设点O(OM),

则有比>=8-a,AC=AB=10,0C=16,然后利用勾股定理可求解.

4

解：令x=0时，则有y=8,令y=0时，则有0=-^x+8,解得x=6,

.•.点3（0,8）,。（6,0）,

•*.0A=6,0B=8,

在RSAOB中,AB=yJOA2+OB2=10-

,将M）AB沿直线折叠得到ADAC,

.,.AB=AC=10,BD=DC,

/.OC=16,

设点。（0,。），则有3O=OC=8-a,OD=-a,

在RsDOC中，0£>2+℃2=℃2,BP（-«）2+162=（8-«）2,

解得：a=-12,

点。（0,—12）；

故选A.

【点拨】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的性质及勾股定理、

折叠的性质是解题的关键.

2.D

【分析】关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此解答即可.

解：根据题意，得

翻折后抛物线的解析式的解析式为：y=（-x-l）2+2.

即y=（x+l『+2.

故选：D.

【点拨】本题考查了二次函数图象与儿何变换.总结:关于x轴对称的两点横坐标相同，

纵坐标坐标互为相反数.关于y轴对称的两点纵坐标相同，横坐标坐标互为相反数.关于原

点对称的两点横、纵坐标均互为相反数.

3.C

（K、（K\KKKK

【分析】设〃丁，46,-，求得DC=；,AE=g得到DB=6・；,BE=4-j根据三

4646

角函数的定义得到tan/BAC=tanZBED,根据平行线的判定定理得到DE〃AC,连接BF,

根据折叠的性质得到BH=FH,根据平行线分线段成比例得到AE=BE=2,于是得到结论.

,/四边形OABC是矩形，OA=6,OC=4,

BC=OA=6,AB=OC=4,

.♦.6(6,4),

设噌力“6,"

.ccK〜K

♦・DC=—.AE=一,

46

KK

・・・DB=6•一,BE=4■一,

46

uK

o------

3

**-tan/BED二---____4,=

.K

BE4——2

6

tanNBAC二”^63

AB42

/.tanZBAC=tanZBED,

/.ZBED=ZBAC,

，DE〃AC,

连接BE

・・•将ADBE沿DE折叠,点B的对应点F正好落在对角线AC上,

ABH=FH,

.'.AE=BE=2,

k

1-,I-22*

/.k=12.

12

.••反比例函数的解析式y=

X

故选C.

【点拨】本题主要考查反比例函数的图像性质，结合了矩形的性质和翻转折叠的知识点.

4.A

【分析】先根据点。的坐标得到AD=OC=10,OA=CD=8,再由折叠的性质得到

DE=EF,AF=AD=W,利用勾股定理求出。尸=6,则C尸=4,设CE=x,贝U

DE=EF=8-x,由勾股定理得（8-x）2=f+42,解方程即可得到答案.

解：；四边形AOCD是长方形，点的坐标为（10,8）,

AAD=OC=\0,OA=CD=8,

由折叠的性质可得=AF=AD=\0,

OF=YAF-04=6,

，CF=OC-OF=4,

设CE=x,则。E=E尸=8-x,

在RtZ\C£F中，由勾股定理得£：尸=（7£2+0产，

（8-X）2=X2+42,

解得x=3,

：.CE=3,

：.E（10,3）,

故选A.

【点拨】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，坐标与图形，灵活运用所学知识是解

题的关键.

5.A

【分析】根据折叠的性质可得WAB,CS=CB,再求出AB=5,可得=2,然

后在RtZXB'OC中，由勾股定理，即可求解.

解：根据题意得：Aff=AB,CS=CB,

•••点A的坐标是（-3,0），点B的坐标是（0,4）,

AOA=3,03=4,

AB=^Jo^+OB2=5>

AB'=AB=S,

，OB'=2,

在Rt^B'OC中，0C?+OB'2=B'C2,

00+22=（4-0。）:

3

解得：

.,.点c（o，|）.

故选：A.

【点拨】本题主要考查了坐标与图形，图形的折叠，勾股定理，熟练掌握折叠的性质,

勾股定理是解题的关键.

6.A

【分析】根据矩形的性质结合折叠的性质可得出ZEOB=ZEBO,进而可得出OE=BE,

设点E的坐标为（也2）,则。E=BE=4T”，CE=m,利用勾股定理即可求出m值，再根据

点E的坐标，过点。作轴于点F,利用“,可以求出DF

的长，进而可以解决问题.

解：44,0）,3（4,2）,C（0,2）,0（0,0）,

••・四边形&4BC为矩形，

:.^EBO=ZAOB.

/EOB=ZAOB,

/.NEOB=NEBO,

OE=BE.

设点E的坐标为（见2）,则。石=3七=4-相，CE=m,

在放AOCE中，OC=2,CE=m,OE=4—m,

/.（4-w）2=22+in2,

3

.•.1%=一,

2

.••点E的坐标为弓，2}

/.OE=BE=4—m=—,

2

:.DE=OD-OE=4--=-,

22

/tx.IJrji=2-xBDDE2=-xBEDF,

35

:.2x-=-DF,

22

„_6

DF=—,

/.DF+OC=-+2=—,

55

即点。的纵坐标为g.

故选：A.

【点拨】本题主要考查了矩形的判定和性质，图形的折叠，等腰三角形的判定和性质,

勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，图形的折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，勾

股定理是解题的关键.

7.A

【分析】根据A、。的纵坐标即可求得CD的长，根据勾股定理即可求得BE的长，然

后在直角AOAE中，利用勾股定理即可得到方程求得AC的长，则根据

S阴影=S矩形A0BC-S^ACD即可求解.

解：设AC=xf贝!JAC=AE=OB=xt

二点4的坐标为（0,8）,

：.OA=BC=Sf

•・,点。的纵坐标为3,

JCD=DE=BC-BD=8・3=5,

在直角中，BE=NDE?-BD?=4,

则OEr-4,

在直角ZkAOE中，OA2+OE2=AE2,BP82+（X-4）2=X2,

解得：x=10,

则SMC。=1AC-CD=；x10x5=25,

S矩形OA8C=10x8=80,

则S阴影=^m^AOBc~~=80-25-25=30.

故选：A.

【点拨】本题考查了矩形的性质，以及折叠的性质，勾股定理，正确求得AC的长是关

键.

8.B

【分析】根据折叠的性质可得=CB，=CB,再求出A8=5,可得O9=2,然

后在用"OC中，由勾股定理，即可求解.

解：根据题意得：AB=AB,CB=CB,

:点4的坐标是（-3,0）,点B的坐标是（。,4）,

：.0A=3,08=4,

・•・AB=yJoA2+OB2=5»

•,AB'=5，

08'=2,

在RtABfC>C中，0C?+OB'-=B'C1,

二（9C2+22=（4-OC）2,

3

解得：oc=1,

.••点

故选：B.

【点拨】本题主要考查了坐标与图形，图形的折叠，勾股定理，熟练掌握折叠的性质,

勾股定理是解题的关键.

3

9.(5,-)

【分析】根据折叠的性质得到AF=A力，所以在直角△AOk中，利用勾股定理求得0尸=3,

然后设£C=x,则E尸=O『-x,CF=5-3=2,根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标.

解：：四边形AOCQ为矩形，。的坐标为(5,4),

：.AD=OC=5,DC=AO=4,

•..矩形沿AE折叠，使。落在BC上的点尸处，

：.AD^AF=5,DE=EF,

在RtziAOF中，OFTAF-ACP=3，

：.FC=5-3=2,

设EC=x,贝ij£>E=£F=4-x,

在RIACEF中，EF2=EC2+FC2,

BP(4-X)2=JC2+22,

33

解得产;，即EC的长为

22

3

・••点E的坐标为(5,-).

3

故答案为：(5,—).

3

【点拨】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理，根据题意求出EC的长为:，是

解题的关键.

10.12

【分析】过A作E「_LOC于尸，交AB于E,设4(八〃)，0F=m,A'F=n,通过证明

m_n_5_

AA'OFsAZDYE,得到。=—5=5=,解方程组求得相与〃的值，即可得到A的

m———

33

坐标进而得到反比例函数中A的值.

解：如图所示

过4作£/J_OC于尸，交A8于£,由折叠性质以及正方形性质可得:

/QVD=NQ4O=90\

NQ4F+ZDAE=90°

,NOAb+NAOb=90°

^A!OF=Z.DA!E

ZA,FO=ZDEA,

:.M!OF^\ADAE,

设⑷（小，〃）,

：・OF=m,A'F二〃.

:正方形048C的边。C、04分别在x轴和y轴上，。4=5,点。是边A8上靠近点A

的三等分点,

/.DE=m~—,A'E=5-n.

3

.AA'OF^AZZM'E

mn

竺="=如即5.〃3

51=

A'EDEA'Dtn——

33

解得：m=3,/?=4.

・・・A'(3,4)

反比例函数中k=xy（心。）=12,

故答案为：12.

【点拨】本题考查了反比例函数与几何问题的综合运用，涉及到正方形的性质、折叠性

质、反比例函数图像上点的坐标特征以及三角形相似的判定和性质，运用相关知识求得4的

坐标是解决本题的关键.

II.(2.5,0)

【分析】由折叠的性质可得BE=OE,ZBED=ZOED,然后可得OE=OD,设BE=OE=x,

则AE=4-x,进而根据勾股定理可建立方程求解x,最后问题可求解.

解：'."AB//OC,

:.NBED^NEDO,

由折叠的性质可得8E=0E,ZBED=ZOED,

,NEDO=NOED,

：.OE=OD,

设BE=OE=x,则AE=4-x,

.•.在RSAE。中，由勾股定理得：22+(4-X)2=X2,

解得：x=2.5,

：.OE=OD=2.5,

二点D的坐标为(2.5,0)；

故答案为(2.5,0).

【点拨】本题主要考查坐标与图形、矩形的性质、勾股定理及折叠的性质，熟练掌握坐

标与图形、矩形的性质、勾股定理及折叠的性质是解题的关键.

12.(-12,0)或(3,0)##(3,0)或(-12,0)

【分析】分两种情况讨论：当4点落在y轴坐标轴上A处时，在放AA'C。中，(8-〃力

2=162+/n2,求出/«；当A点落在y轴负半轴上A'处时,在RrA/TC。中，(8-/n)2=42+m2,求

出”?；即可求解.

解：*•*y=—■7x+6，

4

(8,0),B(0,6),

.♦.04=8,OB=6,

设C(w,0),

如图1,当A点落在y轴坐标轴上A，处时，连结4V,A'C,

y

图i

・.・A与/T关于8c对称，

,

：.AC=AC1AB=AB=\Ot

：.OA'=\6f

,

：.AC=S-mfAC=AC=S-m,

在即△A'CO中，（8-m）2=162W,

C.m=~12,

：.C（-12,0）；

如图2,当从点落在y轴负半轴上H处时，连结4V,AC,

由对称可得，AC=A'C=S-mfA'B=AB=\0f

：.OA'=4,

在Rt^A,CO中，（8一〃?）2=42W,

m=3,

：.C（3,0）；

综上所述：C点坐标为（-12,0）或（3,0）,

故答案为：（-12,0）或（3,0）.

【点拨】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，灵活应用

轴对称的性质，勾股定理解题是关键.

13.（-10,3）

【分析】设AB=x,CE=y,根据题意可得3C=AO=8,5E=EF=8-y,AF=AB=x，在

心△AFO中，在田△AFO中勾股定理分别求得的值，进而即可求得E点的坐标.

解：A（0,8）

.-.GW=8

四边形A8CO是长方形

/.AB=CO,AO=BC,ZAOC=NOCB=NB=90°

根据折叠的性质可得BE=AF=AB

设A8=x,CE=y,根据题意可得8c=AO=8,8E=£尸=8-y,A尸=A8=x,

CF=4

FO=x-4

在RfzXAFO中，AF2=FO1+AO2

g|Jx2=（x-4）2+82

解得x=10

:.CO=AB=\0

在/中，EF-=EC2+CF1

BP（8-y）2=y2+42

解得＞=3

:.EC=3

E点在第二象限

.'.£（-10,3）

故答案为：（T0,3）

【点拨】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理，坐标与图形，利用勾股定理

建立方程是解题的关键.

3

14.（一。，0）

4

【分析】首先证明△ACQ是等腰三角形，在直角△OC。中利用勾股定理即可求得

的长，即可求得。的坐标.

解：,矩形OA8C中，BC//OA,

...N8CA=NC4O,

根据折叠的性质得N8CA=NACD

:.ZACD=ZCAOf

：.CD=ADf

•・•点C坐标为（0,d）,_aBC=2AB,

OC=AB=a,BC=OA=2a,

设CD=AD=x,则OD=2a-x,

在直角△OCD中，。。2+。。2=82,则。2+（2〃-）2=/,

解得：户3。，

4

533

则。。=2〃——a=—a,则。的坐标是（二〃，0）.

444

3

故答案为：（了〃，0）.

4

【点拨】本题考查了折叠的性质和勾股定理的应川，熟练掌握性质和定理是关键.

15.y=-x2-4

【分析】先确定抛物线y=/+3的二次项系数。=1,顶点坐标为（0,3）,向上平移一

个单位后顶点坐标为（0,4）,翻折后二次项系数。=-1,顶点坐标变为（0,-4）,然后根

据顶点式写出新抛物线的解析式.

解：抛物线y=r+3的顶点坐标为（0,3）,点（0,3）向上平移一个单位所得对应点

的坐标为（0,4）,点（0,4）关于x轴的对称点的坐标为（0,-4）,

:原抛物线。=1,则开口向上，

.,•翻折之后，新抛物线开口向下，。=-1,

二新抛物线的解析式为：y=-x2-4,

故答案为：y=—x2—4.

【点拨】此题考查抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，翻折后开口方向改变，但

是大小没变，因此二次项系数改变的只是符号，正确掌握平移的规律并运用解题是关键.

16.m=n或mn=8

【分析】分两种情况讨论：①当点A与点D关于y轴对称时，A（a,m）,D（d,n）

易得m、n的关系;

Q

②当A绕点O逆时针旋转90。时，得到DID布y=-一，作DH_Ly轴，△ABOgaDHO,

x

Q

找出D坐标，代入y=即可.

x

解：如图所示，①当点A与点D关于y轴对称时，A(a,m),D(d,n),

/.m=n

Q

②当A绕点0逆时针旋转90。时，得到D，，。在y=--h,作DHLy轴，

x

△ABO畛△D'HO,；.OB=OH,AB=D'H,VA(a,m),AD'(-m,a)即D'(-m,n)

o

♦.•/在?=-一上，；.mn=8

x

综上所述，满足条件的m,n的关系式是m=n或mn=8.

【点拨】本题考查一次函数的图象和性质、直角三角形的边角关系，分类讨论是解题的

关键.

17.(3,-V5)或(3,—).

52

【分析】设CE=x,分两种情况讨论：①当CF=1时，。尸=2；②当CF=2时，OF=1,在

&ACEF中,依据勾股定理可得CE2+CF2=E产，据此可得方程，即可得到CE的长，进而得

出点E的坐标.

解：：AO=OC=3=A凡而点尸为线段OC的三等分点，

.".CF=1或2,

设CE=x,当CF=1时，OF=2,

在R/AAO尸中，AO=ylAF2-OF2>

CD->/5,DE=5/5-x-EF,

/??△CEF中，CE2+CF2=EF2,

Ax2+12=(y/5-x)2,

解得足|石，

即C£=|A/5,

：.E（3,I万）；

②当C尸=2时,OF=\,

在尸中，AO=[AP_。严=2G,

：.CD=2y[2.DE=2日x=EF,

'：RsCEF中，CE?+CF2=EF2,

.,.x2+22=（2应-x）2,

解得尸

2

即CE=e

2

：.E（3,—）；

2

故答案为：（3,马亚）或（3,交）.

52

【点拨】本题考查折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等.也

考查了矩形的性质以及勾股定理.解题时，设要求的线段长为x,然、根据折叠和轴对称的

性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程

求出答案.

18.⑴（-41争12⑵经过点A、。的直线的解析式为：y=--4x+-4

【分析】（1）过点。作£>H_LOC,根据点3的坐标为（1,3）得40=1,AB=3,根据

?B90?,将qMC沿AC折叠得到△ADC得NADC=N5=90。，CD=CB=OA,即可得

ZADE=ZAOE=90°,利川AAS证明△CDE/AAQE,得0E=DE,设OE=x,则=

4

CE=3-x,在RVDCE中，根据勾股定理得，CE2=DE、CD2,进行计算即可得》=1,

即可得OE=；4,CE=3-4；=5W，根据三角形的1面积得=1计算得

33322

4在RtaCOH中，根据勾股定理得8=]3,即可得0"=3-31=（12,根据点D在

第二象限内，即可得;

(2)根据AB上x轴，点B的坐标为(1,3)得A的坐标为：(1,0),设经过点A、。的直线

412

的解析式为y=h+6(AH0),将A(l,0),£>(-:,1)代入y=fcc+6/x0),进行计算即可得.

(1)解：如图所示，过点。作

:点8的坐标为(1,3),

•*.AO=1,AB=3,

V?B90?,将45C沿AC折叠得到八4。。，

AZADC=ZB=90°,CD=CB=OA,

：.ZADE=ZAOE=90°f

在-CDE和ZSOE中，

ZCDE=ZAOE

<Z.CED=NAEO

CD=AO

：.^CDE^/XAOE(AAS),

：.OE=DE,

设OE=x,则DE—x,CE=3-x,

在用VOCE中，根据勾股定理得，CE2=DE2+CD2,

(3-X)2=X2+12

9-6X+X2=X2+1

6x=8

4

x=­

445

DE=—,CE=3——=-,

333

•/DH-LOC,

：.-CExDE=-CDxDE,

在RtaCQH中，CH=Jm-DH?=

・・,点。在第二象限内，

412

，点。的坐标为;

(2)解：轴，点8的坐标为(1,3),

.•.点A的坐标为：(1,0),

设经过点A、。的直线的解析式为y=h+b(kx0),将41,0),£>(_：1)代入

y=kx+b(k0),得

k+b=0®

<41?

—k+b=一②

55

①-②，得k+wk=--—,

3

将％=-三4代入①中，得吟4,

44

即经过点A、。的直线的解析式为：>>=--x+-.

33

【点拨】本题考查了坐标与图形，勾股定理，全等三角形的性质，一次函数解析式，解

题的关键是理解题意，掌握并灵活运用这些知识点.

19.(1)y=-gx+4：(2)10；(3)(4,2).

【分析】(1)首先根据勾股定理求出0c=4,0A=8,然后利用待定系数法求解AC所在

直线的解析式即可；

（2）首先由折叠的性质得到AE=CE,然后在/?/△OCE中，根据勾股定理求出AE=CE=5,

然后根据等腰三角形的性质求出CF=CE=5,最后根据三角形面积公式求解即可；

（3）根据矩形的中心对称性质可得点M为矩形ABC。对角线的交点，然后根据中点坐

标公式求解即可.

解：⑴；0A=2C0,

设OC=x,则0A=2x

在/?/△AOC中，由勾股定理可得OC2+OA2=AC2,

二/+⑵)2=(46)2

解得x=4(x=-4舍去)

；.0C=4,0A=8

(8,0),C(0,4)

设直线AC解析式为y=kx+b,

Sk+b=0

b=4'解得'~~2,

b=4

/.直线AC解析式为产-y.r+4；

在RmOCE中，由勾股定理可得OE2+OC2=CE2,

：.(8-y)2+42寸

解得）=5

：.AE=CE=5

在矩形OA3C中,

VBC/OA,

Z.NCFE=NAEF,

由折叠得N4EF=NCEF,

NCFE=NCEF

：.CF=CE=5

，SACEF=yCF，OC=yx5x4=10

即重叠部分的面积为10；

(3)•••矩形是一个中心对称图形，对称中心是对角线的交点，

,任何一个经过对角线交点的直线都把矩形的面积平分，

所以点M即为矩形ABCD对角线的交点，即例点为AC的中点，

VA(8,0),C(0,4),

.••M点坐标为(4,2).

【点拨】此题考查了矩形的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数表达式等知识，.

解题的关键是熟练掌握矩形的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数表达式.

20.(1)(0,3),(2)尸-yx+3.

【分析】(1)由解析式求出8(0,8),A(6,0)；由勾股定理和折叠的性质，可求得

AB'OB'的长，BM=B'M,然后设MO=x,由在中，OM2+O夕2=所加2,求

出例的坐标；

(2)设直线AM的解析式为y=&+〃，再把A、仞坐标代入就能求出解析式.

4

解：(1)当戈=0时，y=8,即3(0,8),当y=0时，0=-§工+8,解得x=6,BPA

(6,0)；

.・・。4=6,OB=8,

VZAOB=90°,

.•.A8=yJo/r+OB2=1。，

由折叠的性质，得：AB—AB'=10,

：.OB'=AB'-0A=10-6=4,

设MO=x,则MB=MB'=8-x,

在RtZ\0M8'中，OM2+OB'2=B'M2,

即/+42=(8-x)2,

解得：x=3,

点坐标为(0,3),

(2)设直线AM的解析式为y=心:+%,把(0,3)；(6,0),

(b=3

■o,=3o

代入得k,，「解得，1，

\6k+b=0k=——

2

宜线AM的解析式为y=-yx+3.

【点拨】此题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点

的坐标特征、勾股定理等知识，解答本题的关键是求出OM的长度.

3

2

21.(1)BF=2x-30；(2)5=--x+60x-450;(3)当x=20时，S有最大值，最

大值为150

【分析】(1)由等腰直角三角形的性质解题；

(2)由等腰直角三角形的性质及三角形面积公式解题；

(3)将函数关系配方成顶点式，结合二次函数图象与性质解题.

解：(1)由题意，得EF=AE=DE=BC=x,48=30,

二8/=2尤一30.

(2)VZF=ZA=45°,ZCBF=ZABC=90°,

：.ZBGF=ZF=45°.BG=BF=2x-30,

S=-S△枷弓砥弓犷=#_#2X_30)2=-9+60X-450；

(3)5=-尹+60》-450=-1"-20)-+150；

3

Va=--,54x<30,...当x=20时，S有最大值，最大值为150.

【点拨】本题考查二次函数与几何综合，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题

关键.

22.(1)见分析；(2)见分析；(3)(-4,0)或(12,0)

试题分析：由折叠和矩形的性质可知/EDB=NBCE=90。，可证得NEDO=NDBA,可

证明AABDSAODE；由条件可求得OD、OE的长，可求得抛物线解析式，结合(1)由相

似三角形的性质可求得DA、AB,可求得F点坐标，可得到BF=DF,又由直角三角形的性

质可得MD=MB,可证得MF为线段BD的垂直平分线，可证得结论；过D作x轴的垂线交

BC于点G,设抛物线与x轴的两个交点分别为M、N,可求得DM=DN=DG,可知点M、

N为满足条件的点Q,可求得Q点坐标.

解：(1)证明：•.•四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知△BCE丝ABDE,

，NBDE=NBCE=90°,VZBAD=90°,

，ZEDO+ZBDA=ZBDA+ZDAB=90°,

.,.ZEDO=ZDBA,且NEOD=/BAD=90。,

/.△ABD^AODE；

(2)证明：•.•变=9,

OE3

.•.设OD=4x,OE=3x,则DE=5x,

；.CE=DE=5x,.\AB=OC=CE+OE=8x,

又•.,△ABDS^ODE,

.DA_OE_3

>•——

ABOD4

DA=6x,BC=OA=1Ox,

在RtABCE中，由勾股定理可得BE2=BC2+CE2，即(5舟=(10X)2+(5X)2，解得x=l,

AOE=3,OD=4,DA=6,AB=8,OA=10,

.•.抛物线解析式为y=-±x2+gx+3,

7

当x=10时，代入可得丫二:，

4

7725

・•・AF=一,BF=AB-AF=8——二一，

444

在RtAAFD中，由勾股定理可得DF=JAR2+AQ2=(%+6?=竺