辽宁省丹东市黄海学校2022年高三数学理测试题含解析

辽宁省丹东市黄海学校2022年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合,则等于(

)A．{-1,0,1} B．{1} C．{-1,1} D．{0,1}参考答案：【知识点】集合及其运算.

A1【答案解析】B

解析：B={x|0},所以,故选B.【思路点拨】先化简集合B，再根据交集意义求.2.已知变量x，y满足，则的最大值是(

)A．4

B．2

C．1

D．

参考答案：C3.△的内角,,的对边分别为,,,已知,,,则△的面积为（）A． B． C． D．参考答案：B略4.已知条件p：，条件q：，则p是q的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既非充分也非必要条件参考答案：5.设集合A={x|x＞a}，集合B={﹣1，1，2}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞） B．（﹣∞，1） C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）参考答案：D【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】由A与B的交集为B，得到B为A的子集，由A与B，确定出a的范围即可．【解答】解：∵A∩B=B，∴B?A，∵A={x|x＞a}，集合B={﹣1，1，2}，∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．6.已知是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点.若为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A7.已知函数f（x）=lnx﹣x3与g（x）=x3﹣ax的图象上存在关于x轴的对称点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e） B．（﹣∞，e] C． D．参考答案：D【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】由题意可知f（x）=﹣g（x）有解，即y=lnx与y=ax有交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知a的范围．【解答】解：函数f（x）=lnx﹣x3与g（x）=x3﹣ax的图象上存在关于x轴的对称点，∴f（x）=﹣g（x）有解，∴lnx﹣x3=﹣x3+ax，∴lnx=ax，在（0，+∞）有解，分别设y=lnx，y=ax，若y=ax为y=lnx的切线，∴y′=，设切点为（x0，y0），∴a=，ax0=lnx0，∴x0=e，∴a=，结合图象可知，a≤故选：D．8.已知实数满足,且.若为方程的两个实数根,则的取值范围为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.复数Z=1－i的虚部是(

)(A).i

(B)－i

(C)－1

(D)1参考答案：B由复数虚部定义：复数的虚部为，得的虚部为，故选.10.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点的抛物线的标准方程是(A)

(B) (C)或

(D)或参考答案：【知识点】抛物线的标准方程．H7D

解析：设抛物线方程为，代入点可得，，解得，则抛物线方程为，设抛物线方程为，代入点可得，解得，则抛物线方程为，故抛物线方程为或．故选：D．【思路点拨】设抛物线方程分别为，或，代入点，解方程，即可得到m，n．进而得到抛物线方程．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，则实数的值为

。参考答案：12.若等比数列的各项均为正数，且，则

.参考答案：12略13.从数列中可以找出无限项构成一个新的等比数列，使得该新数列的各项和为，则此数列的通项公式为

参考答案：14.已知，直线，，则直线的概率为

．参考答案：由已知，若直线与直线垂直，则，使直线的，故直线的概率

15.已知两定点和，动点在直线l：上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为

．参考答案：由题意知c=1，离心率e=，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，∵P在直线l：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A作直线y=x+2的对称点C，设C（m，n），则由，解得，即有C（﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a有最小值，对应的离心率e有最大值．故答案为：

16.设函数，则满足的的取值范围是

.参考答案：17.在中，若，，，则

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1?如何组拼？试证明你的结论；（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点为E,求平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值.参考答案：解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD是边长为6的正方形，高为CC1=6，故所求体积是

------------------------4分

（Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，其拼法如图2所示.------------------------6分

证明:∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的

正方形，于是

故所拼图形成立.---8分（Ⅲ）方法一：设B1E，BC的延长线交于点G，

连结GA，在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H，连结HB1，则B1H⊥AG，故∠B1HB为平面AB1E与平面ABC所成二面角或其补角的平面角.--------10分

在Rt△ABG中，，则，，，故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为.---14分

方法二：以C为原点，CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系（如图3），∵正方体棱长为6，则E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）.

设向量n=（x，y，z），满足n⊥，n⊥，于是，解得.

--------------------12分

取z=2，得n=（2，-1，2）.又（0，0，6），故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为.----------------14分19.（本小题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III）求二面角的大小。参考答案：解析:解法一：（Ⅰ）因为平面⊥平面,平面，平面平面，所以⊥平面所以⊥.因为为等腰直角三角形，

，所以又因为，所以，即⊥,所以⊥平面。

……4分（Ⅱ）存在点,当为线段AE的中点时，PM∥平面

取BE的中点N，连接AN,MN，则MN∥＝∥＝PC

所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN

因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，

所以PM∥平面BCE

……8分

（Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角因为FA=FE,∠AEF=45°,所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.设AB=1,则AE=1,AF=.

FG=AF·sinFAG=在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,GH=BG·sinGBH=·=在Rt△FGH中，tanFHG==故二面角F-BD-A的大小为arctan.

………………12分解法二:(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,所以AE⊥AB.又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF∩平面ABCD=AB,所以AE⊥平面ABCD.所以AE⊥AD.因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系A-xyz.设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0).因为FA=FE,∠AEF=45°,所以∠AFE=90°.从而，.所以,,.,.所以EF⊥BE,EF⊥BC.因为BE平面BCE,BC∩BE=B,所以EF⊥平面BCE.

(Ⅱ)M（0，0，）.P（1,,0）.从而=（，）.于是所以PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，故PM∥平面BCE.

………………8分(Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为，并设=（x，y，z）=(1，1，0)，

即去y=1，则x=1，z=3，从=（0，0，3）取平面ABD的一个法向量为=（0，0，1）故二面角F-BD-A的大小为.

……12分20.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连结EC、CD.（Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；（Ⅱ）若tan∠CED=,⊙O的半径为3，求OA的长.参考答案：（1）证明过程详见解析；（2）.试题分析：本题主要以圆为几何背景，考查三角形中边和角的关系、相似三角形问题等数学知识，考查学21.已知在时有极值0。

（I）求常数a、b的值；（II）求的单调区间。参考答案：解析：（I），由题知：

联立<1>、<2>有：或………………4分

当时，

这说明此时为增函数，无极值，舍去………………6分

当时，

故方程有根或x＋0－0＋↑极大值↓极小值↑