四川省乐山市沐川实验中学高三数学文上学期期末试卷含解析

四川省乐山市沐川实验中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 巳知角a的终边与单位圆交于点，则sin2a的值为(

)A.

B.－

C.－

D.参考答案：C2.在中，，如果不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C3.下列四个命题，其中正确命题的个数（）①若a＞|b|，则a2＞b2②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d

③若a＞b，c＞d，则ac＞bd

④若a＞b＞o，则＞．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】直接由不等式的可乘积性判断①；举例说明②③④错误．【解答】解：①若a＞|b|，则a2＞b2，①正确；②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d错误，如3＞2，﹣1＞﹣3，而3﹣（﹣1）=4＜5=2﹣（﹣3）；

③若a＞b，c＞d，则ac＞bd错误，如3＞1，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＜1×（﹣3）；

④若a＞b＞o，则，当c＞0时，＜，④错误．∴正确命题的个数只有1个．故选：C．4.《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驾马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马．何日相逢，”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”现有三种说法：①驽马第九日走了93里路；②良马四日共走了930里路；③行驶5天后，良马和驽马相距615里．那么，这3个说法里正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【分析】据题意，良马走的路程可以看成一个首项a1=193，公差d1=13的等差数列，记其前n项和为Sn，驽马走的路程可以看成一个首项b1=97，公差为d2=﹣0.5的等差数列，记其前n项和为Tn，由等差数列的通项公式以及其前n项和公式分析三个说法的正误，即可得答案．【解答】解：根据题意，良马走的路程可以看成一个首项a1=193，公差d1=13的等差数列，记其前n项和为Sn，驽马走的路程可以看成一个首项b1=97，公差为d2=﹣0.5的等差数列，记其前n项和为Tn，依次分析3个说法：对于①、b9=b1+（9﹣1）×d2=93，故①正确；对于②、S4=4a1+×d1=4×193+6×13=850；故②错；对于；③S5=5a1+10×d1=5×193+10×13=1095，T5=5b1+10d2=580，行驶5天后，良马和驽马相距615里，正确；故选：C5.阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的的值是

（）A．102

B．

C．81

D．39参考答案：A略6.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两个等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直视图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助线）.当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为（

）A.

B. C. D.参考答案：B∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B．

7.已知关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围为（

）A．[3,+∞)

B．(3,+∞)

C.[2,+∞)

D．(2,+∞)参考答案：C8.某一考点有个试室，试室编号为，现根据试室号，采用系统抽样的方法，抽取个试室进行监控抽查，已抽看了试室号，则下列可能被抽到的试室号是A．

B．

C．

D．参考答案：C9.向量，则“x=2”是“"的A.充分但不必要条件

B.必要但不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A略10.对变量

有观测数据（，）（），得散点图1；对变量有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2.由这两个散点图可以判断。（A）变量x与y正相关，u与v正相关

（B）变量x与y正相关，u与v负相关（C）变量x与y负相关，u与v正相关

（D）变量x与y负相关，u与v负相关

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知x1，x2是函数f（x）=2sin2x+cos2x﹣m在[0，]内的两个零点，则sin（x1+x2）=．参考答案：

【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，运用和差化积公式和同角的基本关系式，计算即可得到所求值．【解答】解：x1，x2是函数f（x）=2sin2x+cos2x﹣m在[0，]内的两个零点，可得m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，即为2（sin2x1﹣sin2x2）=﹣cos2x1+cos2x2，即有4cos（x1+x2）sin（x1﹣x2）=﹣2sin（x2+x1）sin（x2﹣x1），由x1≠x2，可得sin（x1﹣x2）≠0，可得sin（x2+x1）=2cos（x1+x2），由sin2（x2+x1）+cos2（x1+x2）=1，可得sin（x2+x1）=±，由x1+x2∈[0，π]，即有sin（x2+x1）=．故答案为：．12.在△ABC中，若，，，则_____；_____．参考答案：

略13.在四面体ABCD中，且，当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为______参考答案：34π【分析】利用勾股定理得出△ABC是直角三角形，且AC为斜边，可知CD⊥平面ABC时四面体ABCD的体积取最大值，再求出外接球的半径R，利用球的表面积公式得答案．【详解】∵，由勾股定理可得，∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，当CD⊥平面ABC时，四面体ABCD的体积取最大值，此时，其外接球的直径为，∴外接球的半径为，因此，四面体ABCD的外接球的表面积为．故答案为：34π．【点睛】本题考查多面体外接球表面积的计算，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有

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株树木的底部周长小于100cm.参考答案：【考点】频率分布直方图．15.观察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，则的末四位数字为

.参考答案：312516.若存在正实数y，使得=，则实数x的最大值为．参考答案：【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】得到关于y的方程，4xy2+（5x2﹣1）y+x=0，根据△≥0，求出x的最大值即可．【解答】解：∵=，∴4xy2+（5x2﹣1）y+x=0，∴y1?y2=＞0，∴y1+y2=﹣≥0，∴，或，∴0＜x≤或x≤﹣①，△=（5x2﹣1）2﹣16x2≥0，∴5x2﹣1≥4x或5x2﹣1≤﹣4x，解得：﹣1≤x≤②，综上x的最大值是，故答案为：．17.函数的图象如右图所示，则的表达式是

.

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（1）证明：a，c，b成等比数列；（2）若△ABC的外接圆半径为，且4sin（C﹣）cosC=1，求△ABC的周长．参考答案：【考点】正弦定理；等比数列的通项公式．【分析】（1）+=，由余弦定理可得：+=，化简即可证明．（2）4sin（C﹣）cosC=1，C为锐角，利用积化和差可得：=1，C∈（0，），∈．解得C=．利用余弦定理可得a2+b2﹣c2=2abcos，又c2=ab，解得a=b．再利用正弦定理即可得出．【解答】（1）证明：∵+=，由余弦定理可得：+=，化为c2=ab，∴a，c，b成等比数列．（2）解：4sin（C﹣）cosC=1，∴C为锐角，2=1，化为：=1，C∈（0，），∈．∴2C﹣=，解得C=．∴a2+b2﹣c2=2abcos，又c2=ab，∴（a﹣b）2=0，解得a=b．∴△ABC的周长=3a==9．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、积化和差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.已知Sn为各项均为正数的数列{an}的前n项和，a1∈（0，2），an2+3an+2=6Sn．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，若对?n∈N*，t≤4Tn恒成立，求实数t的最大值．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）把n=1代入an2+3an+2=6Sn求得首项a1=1．结合已知条件an2+3an+2=6Sn得到：（an+1+an）（an+1﹣an﹣3）=0．由此求得公差d=3，根据等差数列的通项公式推知an=3n﹣2．（2）利用裂项求和求得Tn，然后根据不等式t≤4Tn实数t的最大值．【解答】解：（1）当n=1时，由，得，即．又a1∈（0，2），解得a1=1．由，可知．两式相减，得，即（an+1+an）（an+1﹣an﹣3）=0．由于an＞0，可得an+1﹣an﹣3=0，即an+1﹣an=3，所以{an}是首项为1，公差为3的等差数列．所以an=1+3（n﹣1）=3n﹣2．（2）由an=3n﹣2，可得=．因为，所以Tn+1＞Tn，所以数列{Tn}是递增数列．所以，所以实数t的最大值是1．20.（12分）

设点A、B是直线与抛物线的两个交点，抛物线上的动点M在A、B两点间移动，如图所示。

（1）试求M的坐标，使得△MAB的面积最大；

（2）试证明：抛物线上平行于AB的弦恒被一条定直线平分。

参考答案：解析：（1）设点M的坐标为,由于线段AB的长是定值,所以只要点M到直线AB的距离最大即可.平行移动AB到与抛物线相切的位置时,切点到直线AB的距离最大.因为,,于是代入中得,因此当点M的坐标为时,使得△MAB的面积最大.

……………6分（2）设抛物线平行于直线AB的弦的方程为弦的两个端点为、，则所以即.若设弦的中点为,则x=－1,即弦的中点的轨迹方程为x=－1,因此抛物线上平行于AB的弦恒被一条直线平分

.....12分21.(本小题满分12分)在△ABC中，三个内角是的对边分别是，其中，且

（1）求证：是直角三角形；

（2）设圆过三点，点P位于劣弧AC上，，求四边形的面积.参考答案：【知识点】解三角形

C8（1）略：（2）.（1）证明：根据正弦定理得，整理为：因为所以所以，或者

3分由于所以所以故是直角三角形。

5分（2）由（1）可得：在中，

8分连结，在中，.

10分【思路点拨】根据正弦定理得，即，根据三角形内角的特点可得，或者，由于所以所以即证得三角形为直角三角形；由（1）可得：在中而利用两角差的正弦展开式可得的值，再有可求得结果.22.已知：，为常数）若，求的最小正周期；若在上的最大值与最小值之和为3，求的值．参考答案：（1）；（2）试题分析：（1）利用两角和正弦公式