等比数列定义及性质课件

等比数列(1)

等比数列(1)1一、温故知新：1、等差数列定义：2、等差数列单调性：an－an－１=d(d为常数)d>0单调递增d<0单调递减d=0常数列用什么方法推出的呢？一、温故知新：1、等差数列定义：an－an－１=d(d为常数21.对于数列(1),从第2项起,每一项与前一项的比都等于____2.对于数列(2),从第2项起,每一项与前一项的比都等于____3.对于数列(3),从第2项起,每一项与前一项的比都等于____

1/2202观察以上数列各有什么特点：1,2,4,8,…(1)…(2)1，20，(3)202，203，

…

3

如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的_等于_一个常数，那么这个数列就叫做

这个常数叫做等

数列的_____1.等比数列定义：二比同等比数列公比等差数列定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差公差通常用字母d表示公比通常用字母q表示比如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的_4(1)你能用数学式子表示等比数列的定义吗？（2)既是等比数列又是等差数列的数列存在吗？如果存在，你能举出例子吗？等差数列等比数列或an+1-an=d(n≥1)an–an-1=d(n≥2))2(1³=-nqaann)1(1³=+nqaann或非零的常数数列既是等差数列又是等比数列(1)你能用数学式子表示等比数列的定义吗？（2)既是等比数列5（2）公比q能等于0吗？

等比数列

由于等比数列的每一项都有可能作分母，故an≠0且q≠0等差数列

由于等差数列是作差故an,d没有要求探究：（1）等比数列的各项能等于0吗？为什么？（2）公比q能等于0吗？等比数列由于等比数列的每一项都有6课堂互动(1)1，3，9，27，81，…(3)5，5，5，5，5，5，…(4)1，-1，1，-1，1，…是,公比q=3是,公比q=-1(2)

是,公比q=观察并判断下列数列是否是等比数列:是,公比q=1(5)

1，0，1，0，…(6)

0，0，0，0，…不是等比数列不是等比数列(７)

1,,，，……课堂互动(1)1，3，9，27，81，…(3)7等比数列的有关概念观察数列(1)

2，4，8，16，32，64.(2)1，3，9，27，81，243，…(3)(4)(5)5，5，5，5，5，5，…(6)1，-1，1，-1，1，…以上6个数列的公比分别为…公比q=2递增数列公比q=3递增数列公比d=x公比q=1非零常数列公比q=-1摆动数列因为x的正负性不确定，所以该数列的增减性等尚不能确定。公比q=递减数列等比数列的有关概念观察数列(1)2，4，8，8等比数列中：等比数列中：9叠乘法叠加法

等比数列通项公式推导:等差数列通项公式推导:设公差为d的等差数列{an}，则有:

a2－a1=da3－a2=da4－a3=d……an－an－1=d+)an－a1=(n－1)d(n≥2）等差数列{an}的首项为a1，公差为d的通项公式为________________an=a1+(n－1)d，n∈N+设公比为q的等比数列{an}，则有:…×)n－1个qqq首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式：an=a1qn－1(a1≠0且q≠0

n∈N+)(n≥2）n－1个叠乘法叠加法等比数列通项公式推导:等差数列通项公式推导:10(1)2，4，8，16，…(2)2，2,4,4…(4)5,5,5,5,

…(3)1,,,,…an=2nan=an=an=5练习:写出下列等比数列通项公式(1)2，4，8，16，…(2)2，2,4111.求下列各等比数列的通项公式：（1）练习解：解：1.求下列各等比数列的通项公式：练习解：解：12例2一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项。解：设这个等比数列的第1项是,公比是q，那么

把②的两边分别除以①的两边，得

③①

②把③代入①，得因此

答：这个数列的第1项与第2项分别是与8。例2一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它131.由下面等比数列通项公式,求首项与公比.(口答)(1).(2)2.设成等比数列,其公比为2,则的值为多少.课堂练习1410nna=1.由下面等比数列通项公式,求首项与公比.(口答)课堂练143．若x,2x+2,3x+3是一个等比数列的连续三项，则x的值为（）（A）－4（B）－1（C）1或4（D）－1或－4A3．若x,2x+2,3x+3是一个等比数列的连续三项，则151

在等比数列中a1+a2=3,a4+a5=24,求q和a1。解：由已知得：

答：

q和a1分别是2和1。等比数列的通项公式练习1在等比数列中a1+a2=3,a4+a5=24,求q和a16例题讲解:在等比数列中,例题讲解:在等比数列中,17例4．在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数。解：依题意，a1=4，由等比数列通项公式得所以因此插入的3个数依次是2，1，或－2，1，－例4．在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，183、等比中项的定义：

探究：类比等差数列，等差数列有等差中项公式，请你给出等比中项公式。等比数列等差数列

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。等比数列所有奇数项符号相同；所有偶数项符号相同。3、等比中项的定义：探究：类比等差数列，等差数列有等差中项19练习：练习：20

练习：求下列各组数的等比中项（1）1，，9（2）-1，，-4（3）-12，，-3（4）1，，1±3±2±6±1（2）任何两数一定有等差中项。2、判断（1）若b2=ac，则b一定是a、c的等比中项。（3）任何两数一定有等比中项。若a，b异号则无等比中项；若a，b同号则有两个等比中项练习：求下列各组数的等比中项（1）1，212.已知数列的前n项和为Sn=an-1(a为不为零的实数),则此数列()A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或是等差数列或是等比数列D.既不是等差数列,也不是等比数列CA３，Ｂ４，Ｃ５，Ｄ６1、在等比数列中，已知首项为，末项为，公比为，则项数为（）B2.已知数列的前n项和为Sn=an-1(a为不为零的实数),223.若数列{an}的前n项和为,那么这个数列的通项公式是()an=2×3n-1B.an=3×2nC.an=3n+3D.an=2×3nD3.若数列{an}的前n项和为234.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=()A.－4B.－6C.－8D.－10B5.已知a,b,c成等比数列,a,x,b和b,y,c都成等差数列,且xy≠0,那么的值为()A.1B.2C.3D.4B4.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比246.已知a1,a2,…,a8是各项为正数的等比数列,公比q≠1,则()A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8<a4+a5C.a1+a8=a4+a5

D.a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定.A7.已知数列－1,a1,a2,－4成等差数列,－1,b1,b2,b3,－4成等比数列,则的值是

.6.已知a1,a2,…,a8是各项为正数的等比数列,公比q25等比数列由于等比数列的每一项都有可能作分母，故a1≠0且q≠0等差数列由于等差数列是作差故a1d没有要求

判断数列是等差数列的方法判断数列是等比数列的方法或an+1-an=d(n≥1)an

–an-1=d(n≥2)等比数列由于等比数列的每一项都有可能作分母，等差数列由26、例3已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列。证明：设数列的首项为，公比为p；的首项为，公比为q，

那么数列的第n项与第n+1项分别为与，

，

因为它是一个与n无关的常数，所以是一个以pq为公比的等比数列。即为与()npqba11、例3已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列。证明：设27

结论：如果是项数相同的等比数列，那么也是等比数列．

特别地，如果是等比数列，c是不等于０的常数，那么数列也是等比数列．结论：如果是项数相同的等比数列，那么也是等比281.求证若数列

{an}

是等差数列,则

{ban}

是等比数列2求证若数列

{an}

是正项等比数列,则

{logban}

是等差数列.1.求证若数列{an}是等差数列,则{ba291.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).(1)求证:数列{an+1}是等比数列.(2)求{an}的通项公式.1.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈302.已知数列{an}满足(1)求证:数列{an}是等比数列.(2)求{an}的通项公式.2.已知数列{an}满足31补充:有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数补充:32

等差数列等比数列定义数学表达如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。an+1-an=d(常数)符号表示首项a1,

公差d如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。首项a1,公比q(q≠0)d与{an}q与{an}d＞0{an}递增d＜0{an}递减d＝0{an}为常数列q＞0{an}中各项同号q＜0{an}中的项正负相间q＝1{an}为非零常数列通项公式an=a1+（n-1）dan=a1·qn-1an+1an=q(常数)等比中项a,A,b成等差数列,2A=a＋ba,G,b成等比数列,G2=ab等差33判定等比数列常用方法(1)定义法:(2)等比中项法:(3)通项法:判定等比数列常用方法(1)定义法:(2)等比中项法:(3)通34等比数列(2)

等比数列(2)35二.学以致用已知等比数列的公比为q,第m项为,求.二.学以致用已知等比数列的公比为q,第m项为,求36练习已知等比数列练习已知等比数列37若n+m=p+q,则anam=apaq证明:若n+m=p+q,则anam=apaq证明:38练习:

⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=16，a8=

.⒉在等比数列{an}中，且an＞0，a2

a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5=_

.⒊在等比数列{an}中，若则a10=

-1286练习:⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=16，a8391、若等比数列{an},a4=1,a7=8,则a6与a10的等比中项是______.±162、若等比数列{an}中,⑴若已知a2=4,a5=,求an;⑵若已知a3a4a5=8,求a2a6的值.1、若等比数列{an},a4=1,a7=8,则a6与a140

2、在等比数列中，，求该数列前七项之积。3、在等比数列{an}中,,,求a8.1、在等比数列{an}中，已知,,求练习：2、在等比数列中，3、在等比41二.新课讲授例2．在等比数列{an}中，（1）a5=2,a10=10，则a15（2）那么（3）若则a5a16+a9a12=30,求例3．已知在等比数列中且q=2，求a1和n.二.新课讲授例2．在等比数列{an}中，那么（3）若则a542解（一）解（一）43解（二）利用等比性质解（二）利用等比性质44例5、等比数列{an}中，a4·a7=－512，a3+a8=124,公比q为整数，求a10.法一：直接列方程组求a1、q。法二：在法一中消去了a1，可令t=q5法三：由a4·a7=a3·a8=－512∵公比q为整数∴a10=a3×q10－3=－4×(-2)7=512例5、等比数列{an}中，a4·a7=45三个正数成等比数列，他们的和等于21，倒数的和等于，求这三个数。解：设三个正数为：得：三个正数成等比数列，他们的和等于21，解：设三个正数为：得：463、有三个数成等比数列，若它们的积等于64，和等于14，求此三个数？4：有四个数，若其中前三个数成等比数列，它们的和等于19，后三个数成等差数列，它们的和等于12，求此四个数？3、有三个数成等比数列，若它们的积等于64，和等于14，求此47二.新课讲授等比中项的应用例1．有四个数，前三个成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其平方和为56，求这四个数。注意：（1）等比数列中若三个数成等比数列，可以设为

（2）等比数列中若四个数成等比数列，不能设为

因为这种设法表示公比大于零。二.新课讲授等比中项的应用例1．有四个数，前三个成等比数列，48等比数列定义及性质ppt课件49等比数列定义及性质ppt课件50例2、三数成等比数列,积为27,和为13,求这三个数。（三维）解：设所求三数为所以三数为1，3，9或9，3，1注意：三数成等比数列且积一定，设为a/q,a,aq。同号四数成等比数列且积一定，设为例2、三数成等比数列,积为27,和为13,求这三个数。解：设51等比数列定义及性质ppt课件52

1.四个正数,前三个数成等差数列,其和为

48,后三个数成等比数列,其最后一个数是

25,求此四数.解:由已知可设前三个数为

a-d,a,a+d(d

为公差)且

a+d>0.∵后三数成等比数列,其最后一个数是

25,解得:a=16,d=4.故所求四数分别为

12,16,20,25.∴a-d+a+a+d=48,且(a+d)2=25a.

∴a-d=12,a+d=20.

课后练习题1.四个正数,前三个数成等差数列,其和为453已知2a=3,2b=6,2c=12,则a,b,c()ＡA.成等差数列不成等比数列B.成等比数列不成等差数列C.成等差数列又成等比数列D.既不成等差数列又不成等比数列结论：若数列{an}为等比数列，则数列{logaan}(a>0且a≠1)为等差数列.已知2a=3,2b=6,2c=12,则a,b,c54二.新课讲授例4．已知数列{an}是各项为正数的等比数列，且q<1，设bn=log2an,且b1+b3=6,b1·b3=8,(1)求{an}的通项公式；(2）设{bn}的前n项和为Sn，当

最大时，求n的值

二.新课讲授例4．已知数列{an}是各项为正数的等比数列，(554.已知{an}是各项均为正的等比数列,求证:{lgan}为等差数列.5.已知{bn}是等比数列,与数列{an}满足bn=,n∈N*.(1)求证:数列{an}是等差数列(2)若a8+a13=1/2,求b1b2…b20.4.已知{an}是各项均为正的等比数列,求证:{lgan}为563.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=()A.－4B.－6C.－8D.－10B4.已知a,b,c成等比数列,a,x,b和b,y,c都成等差数列,且xy≠0,那么的值为()A.1B.2C.3D.4B3.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比57补充作业：1．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的立方和为81，求这三个数。2．有四个数，其中前