概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布课件

第三章一维随机变量及其分布

概率论与数理统计

概率论与数理统计第三章一维随机变量及其分布ppt课件随机变量的分布函数2连续型随机变量3离散型随机变量1第三章一维随机变量及其分布随机变量的分布函数2连续型随机变量3离散型随机变量1第三章第一节离散型随机变量12随机变量的概念离散型随机变量的分布律3常用的离散型分布12随机变量的概念离散型随机变量的分布律3常用的离散型分布一、随机变量的概念定义1对于给定的随机试验，是其样本空间，对中每一样本点，有且只有一个实数与之对应，则称此定义在上的实值函数X为随机变量（Randomvariable）．通常用大写英文字母表示随机变量，用小写的英文字母表示其取值．一、随机变量的概念定义1对于给定的随机试验，是其样本空一、随机变量的概念投掷一枚均匀硬币，观察硬币的着地面，此时观察对象是硬币的面，因而是定性的，我们可引进如下的量化指标（记之为X）：设X为一次投掷中出现正面的次数，即一、随机变量的概念投掷一枚均匀硬币，观察硬币的着地面，此时观二、离散型随机变量的分布律定义2设X为随机变量，可能取的值是有限个或可数多个数值，这样的随机变量称为离散型随机变量，它的分布称为离散型分布．二、离散型随机变量的分布律定义2设X为随机变量，可能取的二、离散型随机变量的分布律设X为一个离散型随机变量，它可能取的值为，事件的概率为，那么，可以用下列表格来表达X取值的规律：其中N．这个表格所表示的函数称为离散型随机变量X的分布律（或称为概率分布）．二、离散型随机变量的分布律设X为一个离散型随机变量，它可能取二、离散型随机变量的分布律例1在装有m个红球，n个白球的袋子中，随机取一球，观察取出球的颜色，此时观察对象为球的颜色，因而是定性的，我们可引进如下的量化指标（记之为X）：二、离散型随机变量的分布律例1在装有m个红球，n个白球的二、离散型随机变量的分布律则有于是X的分布律为二、离散型随机变量的分布律则有二、离散型随机变量的分布律例2设随机变量的分布律为：求(1)(2)Y=2X+3的分布律。二、离散型随机变量的分布律例2设随机变量的分布律为：二、离散型随机变量的分布律解：由X的分布律可列出下表二、离散型随机变量的分布律解：由X的分布律可列出下表二、离散型随机变量的分布律由上表可定出的分布律为：(2)的分布律为：二、离散型随机变量的分布律由上表可定出三、常用的离散型分布1.（0－1）分布如果X的分布律为其中，则称X的分布为（0－１）分布或两点分布（Two-pointdistribution）．三、常用的离散型分布1.（0－1）分布三、常用的离散型分布2.二项分布在n重伯努利试验中，如果以随机变量X表示n次试验中事件A发生的次数，则X可能取的值为，且由二项概率得到x取k值的概率因此，X的分布律为称这个离散型分布为参数为n,p的二项分布(Binomialdistribution)，记作，这里三、常用的离散型分布2.二项分布三、常用的离散型分布例3一个袋子中装有4个球，3个白球，1个黑球。从中任意取出1球，观察其颜色，放回袋中。共取出三次。设为取出黑球的次数，求随机变量的分布律及至多取出一次黑球的概率．解每次取出黑球的概率为1/4，可认为做3次重复独立的试验，每次试验中事件发生的概率为1/4，因此取出黑球的次数X服从参数为3,1/4的二项分布，其分布律为三、常用的离散型分布例3一个袋子中装有4个球，3个白球，三、常用的离散型分布即为至多取出一次黑球的概率为三、常用的离散型分布即为三、常用的离散型分布3.几何分布设随机变量X的分布律为P则称X服从参数为p的几何分布(Geometricdistribution)，记作三、常用的离散型分布3.几何分布三、常用的离散型分布几何分布具有下列无记忆性：因此代入即得结论。三、常用的离散型分布几何分布具有下列无记忆性：三、常用的离散型分布4.超几何分布设N，M，k为正整数，且,,若随机变量X的分布律为则称X服从参数为n，M，N的超几何分布(Hype-geometricdistribution)，记作三、常用的离散型分布4.超几何分布三、常用的离散型分布一个袋子装有N个球，其中有N1个白球，N2个黑球（N=N1+N2）,从中不放回地抽取n个球，设X表示取得白球的数目，则X的分布为超几何分布。即三、常用的离散型分布一个袋子装有N个球，其中有N1个白球，N三、常用的离散型分布5.泊松分布设随机变量X的分布律为

其中，则称随机变量X服从参数为的泊松分布(Poissondistribution)，记作三、常用的离散型分布5.泊松分布三、常用的离散型分布例4设每分钟来到某医院就诊的急诊病人数X服从泊松分布，且已知在一分钟内没有急诊病人与恰有一个急诊病人的概率相同，求在一分钟内至少有两个急诊病人前来就诊的概率．三、常用的离散型分布例4设每分钟来到某医院就诊的急诊病人三、常用的离散型分布解设X服从参数为的泊松分布，由题意知即可解得因此，至少有两个急诊病人前来就诊的概率为三、常用的离散型分布解设X服从参数为的泊松分布，由三、常用的离散型分布定理1（泊松定理）三、常用的离散型分布定理1（泊松定理）三、常用的离散型分布例5设某人进行射击，每次射击的命中率为0.005，独立射击1000次，试求1000次射击中集中次数不超过10次的概率．解设X为1000次射击中的击中次数，对每次射击而言，相当于做一次伯努利试验，1000次就是做1000重伯努利试验，因此，而这1000次射击中击中次数不超过10次的概率为三、常用的离散型分布例5设某人进行射击，每次射击的命中率第二节随机变量的分布函数12分布函数的概念分布函数的性质12分布函数的概念分布函数的性质一、分布函数的概念定义3设X是一个随机变量，称定义域为，函数值在区间[0,1]上的实值函数

为随机变量X的分布函数（Distributionfunction）．一、分布函数的概念定义3设X是一个随机变量，称定义域为一、分布函数的概念例6

设一口袋有六个球，其中一个白球、3个红球、2个黑球．从中任取一球，记随机变量

为取得球上的颜色（白色、红色、黑色一次记为1、2、3），求X的分布函数．解

X可能取的值为1,2,3，由古典概型的计算公式，可知

取这些值的概率依次为

．一、分布函数的概念例6设一口袋有六个球，其中一个白球、3一、分布函数的概念F(x)点表达式为一、分布函数的概念F(x)点表达式为一、分布函数的概念按分布函数的定义可知F(x)x-112301图4-1一、分布函数的概念按分布函数的定义可知F(x)x-11230二、分布函数的性质1.2.对于任意二点x1，x2，当x,<x2时，有即任一分布函数都是单调不减的3.及4.即任一分布函数是一个右连续函数二、分布函数的性质1.第三节连续型随机变量12连续型随机变量概念连续型随机变量函数的分布3常见的连续型分布12连续型随机变量概念连续型随机变量函数的分布3常见的连续型一、连续型随机变量概念定义4如果随机变量X的分布函数可表示为其中，则称X为连续型随机变量，为X的概率密度函数(Probabilitydensityfunction),简称密度函数(Densityfunction)，并称X的分布为连续型分布．一、连续型随机变量概念定义4如果随机变量X的分布函数可表一、连续型随机变量概念密度函数f(x)具有下列性质：(1)(2)(3)一、连续型随机变量概念密度函数f(x)具有下列性质：一、连续型随机变量概念例7假设X是连续型随机变量，其密度函数为求：⑴c的值；⑵解(1)(2)一、连续型随机变量概念例7假设X是连续型随机变量，其密度二、连续型随机变量函数的分布定理2设连续型随机变量X的密度函数为，是一个单调函数，且具有一阶连续导数，是的反函数，则的密度函数为二、连续型随机变量函数的分布定理2设连续型随机变量X的密二、连续型随机变量函数的分布例8设随机变量X～

，求随机变量的密度函数。解：随机变量X的密度函数为～二、连续型随机变量函数的分布例8设随机变量X～二、连续型随机变量函数的分布例9设随机变量X的密度函数为求：Y=2X+3的密度函数。二、连续型随机变量函数的分布例9设随机变量X的密度函数为二、连续型随机变量函数的分布解：由分布函数的定义得Y的分布函数为：==由此可得Y的密度函数=二、连续型随机变量函数的分布解：由分布函数的定义得Y的分布函三、常见的连续型分布1.均匀分布设随机变量X的密度函数为则称X服从区间(A,B)上的均匀分(Uniformdistribution)，记为三、常见的连续型分布1.均匀分布三、常见的连续型分布均匀分布的分布函数为三、常见的连续型分布均匀分布的分布函数为三、常见的连续型分布例10试用均匀分布来求解下题：某城际轻轨从上午7时起，每隔15分钟来一趟车，一乘客在9:00到9:30之间随机到达该车站，⑴该乘客等候不到5分钟乘上车的概率；⑵该乘客等候时间超过10分钟才乘上车的概率．三、常见的连续型分布例10试用均匀分布来求解下题：三、常见的连续型分布解设该乘客于上午9时过X分钟到达该车站，由于乘客在9:00到9:30之间随机到达，因此X服从区间(0，30)上的均匀分布，即X的密度函数为⑴该乘客等候时间不到5分钟，必须且只需在9:10到9:15之间或在9:25到9:30之间到达车站，因此所求概率为⑵同⑴的分析方法类似可得到所求概率为三、常见的连续型分布解设该乘客于上午9时过X分钟到达该车三、常见的连续型分布2.指数分布如果X的密度函数为

为常数称随机变量X服从参数为的指数分布(Exponentiallydistribution)，记为服从指数分布的随机变量X的分布函数为三、常见的连续型分布2.指数分布三、常见的连续型分布定理3非负连续型随机变量X服从指数分布的充分必要条件是：对任意正实数r和s，有三、常见的连续型分布定理3非负连续型随机变量X服从指数分三、常见的连续型分布例11设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位:min）服从参数为0.2的指数分布，如果有人刚好在你前面走进银行并开始办理业务（假定银行只有一个窗口提供服务），试求你将等待⑴超过5分钟的概率，⑵5分钟到10分钟之间的概率．三、常见的连续型分布例11设顾客在某银行的窗口等待服务的三、常见的连续型分布解令X表示银行中正在办理业务的人所用的时间，由题意可知，X服从参数为0.2的指数分布，因此X的密度函数为所求概率分别为：三、常见的连续型分布解令X表示银行中正在办理业务的人所用三、常见的连续型分布3.正态分布定义5若随机变量X的密度函数为则称X服从参数为的正态分布(Normaldistribution)，或高斯分布（Ga