第7章-相关与回归分析讲课教案课件

第7章--相关与回归分析第7章--相关与回归分析学习目标1、了解相关关系的概念、种类以及相关分析与回归分析的区别及联系，明确相关与回归分析的任务与程序；2、掌握相关系数的概念及常用计算公式；了解相关性的检验、相关系数的取值范围及相关关系密切程度的判断标准；3、掌握一元线性回归的基本原理，熟练应用最小二乘法求估计的回归方程，理解参数的经济含义，利用回归方程进行预测；4、了解多元线性回归分析的基本方法；5、了解估计标准误差的计算方法与应用。学习目标1、了解相关关系的概念、种类以及相关分析与回归分析的7.1相关关系概述函数关系相关关系7.1相关关系概述函数关系函数关系是一一对应的确定关系设有两个变量x和y，变量y随变量x一起变化，并完全依赖于x

，当变量x取某个数值时，

y依确定的关系取相应的值，则称y是x的函数，记为y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量各观测点落在一条线上

xy函数关系是一一对应的确定关系xy函数关系(几个例子)某种商品的销售额y与销售量x之间的关系可表示为y=px(p为单价)圆的面积S与半径R之间的关系可表示为S=R2

企业的原材料消耗额y与产量x1、单位产量消耗x2、原材料价格x3之间的关系可表示为y=x1x2x3

函数关系(几个例子)某种商品的销售额y与销售量x之间的关系可相关关系(correlation)变量间关系不能用函数关系精确表达。一个变量的取值不能完全由另一个变量唯一确定。各观测点分布在直线周围。

xy相关关系(correlation)变量间关系不能用函数关系精相关关系(几个例子)父亲身高x与子女身高y之间的关系收入水平y与受教育程度x之间的关系粮食单位面积产量y与施肥量x1、降雨量x2、温度x3之间的关系商品的消费量y与居民收入x之间的关系商品销售额y与广告费支出x之间的关系相关关系(几个例子)父亲身高x与子女身高y之间的关系7.2一元线性相关分析7.2一元线性相关分析7.2一元线性相关分析7.2.1相关关系的描述与测度

7.2.2相关系数的显著性检验

7.2一元线性相关分析7.2.1相关关系的描述与测度7.2.1相关关系的描述与测度相关分析要解决的问题变量之间是否存在关系？变量之间的关系强度和方向如何？样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系？为解决这些问题，在进行相关分析时，对总体有以下两个主要假定两个变量之间是线性关系两个变量都是随机变量7.2.1相关关系的描述与测度相关分析要解决的问题主要内容相关关系的描述与测度——散点图相关关系的描述与测度——相关系数主要内容相关关系的描述与测度——散点图散点图描述变量间的相关性最简单最直观的方法就是画出两个变量的散点图。散点图显示了同一个个体上度量到的两个数量变量之间的关系。其中一个变量的值在横轴上标示，两一个变量的值在纵轴上标示，点的位置由该个体两个变量的值决定。散点图能描述两变量间的大致关系，直观地看出变量之间关系形式、方向和强弱。散点图描述变量间的相关性最简单最直观的方法就是画出两个变量的散点图(scatterdiagram)不相关负线性相关正线性相关非线性相关完全负线性相关完全正线性相关散点图(scatterdiagram)非线性相关（曲线相关）.

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相关关系种类单相关（一元相关）复相关（多元相关）线性相关（直线相关）正相关负相关完全相关（函数关系）相关（不完全相关）不相关（一)按相关关系涉及的变量多少

（二)按相关的形式.

（三)按相关的方向

（直线相关）.

（四)按相关的程度.

相关关系的种类结合散点图理解非线性相关（曲线相关）..相关关系种类单相关（一散点图(例题分析)【例1】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的增长，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清不良贷款形成的原因，管理者希望利用银行业务的有关数据进行定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。散点图(例题分析)【例1】一家大型商业银行在多个地区设有分行散点图

(不良贷款与其他变量的散点图)散点图

(不良贷款与其他变量的散点图)相关系数通过散点图可以初步判断变量之间是否存在相关关系，但不能准确反映变量之间的关系密切程度，因此可以计算相关系数来准确度量相关关系。相关系数是度量变量之间关系强度和方向的一个统计量。对两个变量之间线性相关的度量称为简单相关系数。相关系数通过散点图可以初步判断变量之间是否存在相关关系，但不相关系数(correlationcoefficient)Pearson相关系数：线性相关，常用于数量型数据。Spearman等级相关系数：秩相关，常用于定序数据，也可以用于数量性数据。若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为若相关系数是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，简称为相关系数，记为r相关系数(correlationcoefficient)P.

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样本相关系数

样本相关系数的计算公式或化简为..样本相关系数样本相关系数的计算公式或化简相关系数的意义1：r的取值范围是[-1,1]

|r|=1，为完全相关r=1，为完全正相关r=-1，为完全负正相关

r=0，不存在线性相关关系-1≤r<0，为负相关0<r≤1，为正相关|r|越趋于1表示关系越强；|r|越趋于0表示关系越弱相关系数的意义1：r的取值范围是[-1,1]相关系数的取值及其意义的图解-1.0+1.00-0.5+0.5完全负相关无线性相关完全正相关负相关程度增加r正相关程度增加相关系数的取值及其意义的图解-1.0+1.00-0.5+0.相关系数的经验解释

|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关0.5|r|<0.8时，可视为中度相关0.3|r|<0.5时，视为低度相关|r|<0.3时，说明两个变量之间的相关程度极弱，可视为不相关上述解释必须建立在对相关系数的显著性进行检验的基础之上相关系数的经验解释|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关系数的性质2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间的相关系数相等，即rxy=ryx3：仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用于描述非线性关系。这意味着，r=0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有任何关系4：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不一定意味着x与y一定有因果关系相关系数的性质2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与.

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【例2】某企业某产品产量与单位成本资料如下：

月份产量（千件）单位成本（元／件）123456234345737271736968

（1）计算相关系数，说明产量与单位成本相关关系的密切程度。（2）配合单位成本与产量的直线回归方程，并解释参数a、b

的经济含义。（3）当产量为6000件时。试问单位成本为多少元？（4）计算估计标准误。..【例2】某企业某产品产量与单位成本资料如下：.

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月份产量（千件）单位成本（元／件）123456234345737271736968合计21426

49169162553295184504147615329462414621628421927634030268791481即：产量与单位成本之间存在着高度负相关。..月份产量（千件）单位成本（元／件）1273相关系数(例题分析)相关系数(例题分析)7.2.2相关系数的显著性检验7.2.2相关系数的显著性检验当求出样本相关系数不为0时，并不能真正表明变量之间的相关，通常需要进行显著性检验，来判别是否相关系数显著不为0。一般要先判断相关系数是否通过显著性检验，通过后再根据相关系数的大小讨论相关程度。可以推出当两个变量服从正态分布，简单线性相关系数服从自由度为n-2的t分布，利用该分布来检验相关系数是否显著不为0。相关系数的显著性检验当求出样本相关系数不为0时，并不能真正表明变量之间的相关，通相关系数的显著性检验(检验的步骤)1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系采用R.A.Fisher提出的t检验检验的步骤为提出假设：H0：；H1：0计算检验的统计量：确定显著性水平，并作出决策若t>t，拒绝H0若t<t，不拒绝H0相关系数的显著性检验(检验的步骤)1. 检验两个变量之间是否相关系数的显著性检验(例题分析)对不良贷款与贷款余额之间的相关系数进行显著性检验(0.05)提出假设：H0：；H1：0计算检验的统计量3.根据显著性水平＝0.05，查t分布表得t(n-2)=2.069由于t=7.5344>t(25-2)=2.069，拒绝H0，不良贷款与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系相关系数的显著性检验(例题分析)对不良贷款与贷款余额之间7.3一元线性回归分析7.3一元线性回归分析主要内容7.3.1一元线性回归模型7.3.2一元线性回归方程的建立7.3.3一元线性回归方程的检验7.3.4利用回归方程进行预测（点估计）主要内容7.3.1一元线性回归模型什么是回归分析回归分析就是对具有相关关系的多个变量之间的数量变化进行数量测定，配合一定的数学方程模型，以便由自变量的数值对因变量的可能值进行估计或预测的一种统计方法。回归分析是研究一个被解释变量（又称应变量或因变量）对一个或多个解释变量（自变量）之间的统计依赖关系；其目的是通过后者的已知的数值去估计和预测前者的值。什么是回归分析回归分析就是对具有相关关系的多个变量之间的数量趋向中间高度的回归回归这个术语是由英国著名统计学家FrancisGalton在19世纪末期研究孩子及其父母的身高时提出来的。Galton发现身材高的父母，他们的孩子身材也高。但这些孩子平均起来并不像他们的父母那样高。对于比较矮的父母情形也类似：他们的孩子比较矮，但这些孩子的平均身高要比他们的父母的平均身高高。Galton把这种孩子的身高向平均值靠近的趋势称为一种回归效应，而他发展的研究两个数值变量的方法称为回归分析趋向中间高度的回归回归这个术语是由英国著名统计学家Franc回归分析与相关分析的区别相关分析中，变量x变量y处于平等的地位；回归分析中，变量y称为因变量，处在被解释的地位，x称为自变量，用于预测因变量的变化。相关分析中所涉及的变量x和y都是随机变量；回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x是非随机的确定变量。相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制。回归分析与相关分析的区别相关分析中，变量x变量y处于回归分析的种类按照回归线的形状按自变量的个数多元回归非线性（曲线）回归线性（直线）回归回归模型的类型一元回归回归分析的种类按照回归线的形状按自变量的个数多元回归非线性（7.3.1一元线性回归模型7.3.1一元线性回归模型一元线性回归涉及一个自变量的回归因变量y与自变量x之间为线性关系被预测或被解释的变量称为因变量(dependentvariable)，用y表示用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independentvariable)，用x表示

一元线性回归涉及一个自变量的回归一元线性回归模型一元线性回归模型可表示为

y=b0+b1x+ey是x的线性函数(部分)加上误差项线性部分反映了由于x的变化而引起的y的变化误差项

是随机变量反映了除x和y之间的线性关系之外的随机因素对y的影响是不能由x和y之间的线性关系所解释的变异性0和1称为模型的参数变量要求：y—数值型数据x—数值型数据一元线性回归模型一元线性回归模型可表示为y=b0一元线性回归模型(基本假定)1.误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E(ε)=0（零均值）。对于一个给定的x值，y的期望值为

E(y)=0+

1x2.误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即ε~N(0,σ2)（正态性）（无自相关）独立性意味着对于一个特定的x值，它所对应的ε与其他x值所对应的ε不相关对于一个特定的x值，它所对应的y值与其他x所对应的y值也不相关3.对于所有的x值，ε的方差σ2都相同（同方差）一元线性回归模型(基本假定)1.误差项ε是一个期望值为回归方程(regressionequation)描述y的平均值或期望值如何依赖于x的方程称为回归方程一元线性回归方程的形式如下E(y)=0+1x方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程0是回归直线在y轴上的截距;1是直线的斜率，称为回归系数，表示当x变动一个单位时，y的平均变动值回归方程(regressionequation)描述y估计的回归方程一元线性回归中估计的回归方程为用样本统计量和代替回归方程中的未知参数和，就得到了估计的回归方程总体回归参数和

是未知的，必须利用样本数据去估计其中：是估计的回归直线在y轴上的截距，是直线的斜率，它表示对于一个给定的x的值，是y的估计值，也表示x每变动一个单位时，y的平均变动值估计的回归方程一元线性回归中估计的回归方程为用样本统计量7.3.2一元线性回归方程的建立7.3.2一元线性回归方程的建立最小二乘估计使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得和的方法。即2.用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的离差比其他任何直线都小。最小二乘估计使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小KarlGauss的最小化图xy(xn,yn)(x1,y1)(x2,y2)(xi,yi)ei=yi-yi＾KarlGauss的最小化图xy(xn,yn)(x1最小二乘法(

和的计算公式)

根据最小二乘法，可得求解和的公式如下最小二乘法(和的计算公式)根据最小二乘.

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月份产量（千件）单位成本（元／件）123456234345737271736968

（1）计算相关系数，说明产量与单位成本相关关系的密切程度。（2）配合单位成本与产量的直线回归方程，并解释回归系数的经济含义。（3）当产量为6000件时，试问单位成本为多少元？（4）计算估计标准误。【例3】某企业某产品产量与单位成本资料如下：

..月份产量（千件）单位成本（元／件）12.

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月份产量（千件）单位成本（元／件）123456234345737271736968合计21426

491691625146216284219276340791481解：（2）配合单位成本与产量的简单直线回归方程为：..月份产量（千件）单位成本（元／件）12.

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单位成本与产量的直线回归方程为：b：回归系数。它表示产量每增加1000件，单位成本平均降低1.82元。（3）当产量为6000件时，则单位成本为：..单位成本与产量的直线回归方程为：b：估计方程的求法(例题分析)【例4】某公司11年来销售收入（万元）和广告费（万元）进行调查，得到资料如下，试拟和销售收入与广告费的回归方程。年销售收入4058336580805630339072广告费用1314122028261812123022估计方程的求法(例题分析)【例4】某公司11年来销售收入（万估计方程的求法(例题分析)年销售收入y4058336580805630339072广告费用x1314122028261812123022估计方程的求法(例题分析)年销售收入y40583365808.

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广告费用与年销售收入的线性回归方程为：自变量的回归系数表示当广告费每增加1万元，年销售收入平均增加3.00万元。..广告费用与年销售收入的线性回归方程为7.3.3一元线性回归方程的检验7.3.3一元线性回归方程的检验1、回归模型的拟和优度和标准误差2、回归系数显著性的检验3、回归方程显著性的检验1、回归模型的拟和优度和标准误差1、回归模型的拟合优度和标准误差1、回归模型的拟合优度和标准误差变差因变量y的取值是不同的，y取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面：由于自变量x的取值不同造成的；除x以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响。对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差来表示。变差因变量y的取值是不同的，y取值的这种波动称为变误差的分解(图示)xyy误差的分解(图示)xyy误差平方和的分解(三个平方和的关系)SST=SSR+SSE总平方和(SST){回归平方和(SSR)残差平方和(SSE){{误差平方和的分解(三个平方和的关系)SST=SSR误差平方和的分解(三个平方和的意义)总平方和(SST—totalsumofsquares)反映因变量的n个观察值与其均值的总离差平方和。回归平方和(SSR—sumofsquaresofregression)反映自变量x的变化对因变量y取值变化的影响，或者说，是由于x与y之间的线性关系引起的y的取值变化，也称为可解释的平方和残差平方和(SSE—sumofsquaresoferror)反映除x以外的其他因素对y取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和误差平方和的分解(三个平方和的意义)总平方和(SST—to判定系数（拟和优度）R2

回归平方和占总离差平方和的比例反映回归直线的拟合程度取值范围在[0,1]之间

R21，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差判定系数等于相关系数的平方，即R2＝r2判定系数（拟和优度）R2回归平方和占总离差平方和的比例反映判定系数(例题分析)【例5】计算产量对成本回归的判定系数，并解释其意义

判定系数的实际意义是：在成本取值的变差中，有82.64%可以由产量与成本之间的线性关系来解释，或者说，在成本取值的变动中，有82.64%是由产量所决定的。判定系数(例题分析)【例5】计算产量对成本回归的判定系数，判定系数(例题分析)【例6】计算不良贷款对贷款余额回归的判定系数，并解释其意义

判定系数的实际意义是：在不良贷款取值的变差中，有71.16%可以由不良贷款与贷款余额之间的线性关系来解释，或者说，在不良贷款取值的变动中，有71.16%是由贷款余额所决定的。判定系数(例题分析)【例6】计算不良贷款对贷款余额回归的判估计标准误差实际观察值与回归估计值误差平方和的均方根反映实际观察值在回归直线周围的分散状况对误差项的标准差的估计，是在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小

计算公式为注：例题的计算结果为1.9799估计标准误差实际观察值与回归估计值误差平方和的均方根注：例题2、回归方程显著性的检验检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著均方回归：回归平方和SSR除以相应的自由度(自变量的个数k)均方残差：残差平方和SSE除以相应的自由度(n-k-1)2、回归方程显著性的检验检验自变量与因变量之间的线性关系是否线性关系的检验(检验的步骤)提出假设H0：1=0H1：b1

0

2.计算检验统计量F确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F

作出决策：若F>F

,拒绝H0；若F<F

,不拒绝H0线性关系的检验(检验的步骤)提出假设2.计算检验统线性关系的检验(例题分析)提出假设H0：1=0不良贷款与贷款余额之间的线性关系不显著计算检验统计量F确定显著性水平=0.05，并根据分子自由度1和分母自由度25-2找出临界值F

=4.28作出决策：若F>F,拒绝H0，线性关系显著线性关系的检验(例题分析)提出假设确定显著性水平=0.线性关系的检验(方差分析表)Excel输出的方差分析表线性关系的检验(方差分析表)Excel输出的方差分析表3、回归系数显著性的检验在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验采用t检验检验x与y之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量x对因变量y的线性影响是否显著理论基础是回归系数

的抽样分布3、回归系数显著性的检验在一元线性回归中，等价于线性关系的显回归系数显著性的检验

(样本统计量的分布)

是根据最小二乘法求出的样本统计量，它有自己的分布的分布具有如下性质分布形式：正态分布数学期望：标准差：由于未知，需用其估计量se来代替得到的估计的标准差回归系数显著性的检验

(样本统计量的分布)是根回归系数显著性的检验(检验步骤)提出假设H0:b1=0(没有线性关系)H1:b1

0(有线性关系)计算检验的统计量确定显著性水平，并进行决策t>t，拒绝H0；t<t，不拒绝H0回归系数显著性的检验(检验步骤)提出假设确定显著性水平回归系数显著性的检验(例题分析)对例题3的回归系数进行显著性检验(＝0.05)提出假设H0：b1=0H1：b1

0计算检验的统计量

t=-4.37<-t=2.201，拒绝H0，表明产量与单位成本之间有显著的线性关系回归系数显著性的检验(例题分析)对例题3的回归系数进行显回归系数显著性的检验(例题分析)对例题1的回归系数进行显著性检验(＝0.05)提出假设H0：b1=0H1：b1

0计算检验的统计量

t=7.533515>t=2.201，拒绝H0，表明不良贷款与贷款余额之间有显著的线性关系回归系数显著性的检验(例题分析)对例题1的回归系数进行显回归系数显著性的检验(例题分析)P值的应用P=0.000000<=0.05，拒绝原假设，不良贷款与贷款余额之间有显著的线性关系回归系数显著性的检验(例题分析)P值的应用P=0.00回归分析的检验建立的模型是否合适？或者说，这个拟合的模型有多“好”？要回答这些问题，可以从以下几个方面入手：估计的回归系数的符号是否与理论或事先预期相一致。在不良贷款与贷款余额的回归中，可以预期贷款余额越多不良贷款也可能会越多，也就是说，回归系数的值应该是正的，在上面建立的回归方程中，我们得到的回归系数为正值。x与y之间的线性关系在统计上是否是显著的。在不良贷款与贷款余额的回归中，二者之间为正的线性关系，而且，对回归系数的t检验结果表明二者之间的线性关系是统计上显著的。回归分析的检验建立的模型是否合适？或者说，这个拟合的模型有多回归模型在多大程度上解释了因变量y取值的差异？可以用判定系数R2来回答这一问题在不良贷款与贷款余额的回归中，得到的R2=71.16%，解释了不良贷款变差的2/3以上，说明拟合的效果还算不错考察关于误差项的正态性假定是否成立。因为我们在对线性关系进行F检验和回归系数进行t检验时，都要求误差项服从正态分布，否则，我们所用的检验程序将是无效的。正态性的简单方法是画出残差的直方图、散点图或正态概率图回归模型在多大程度上解释了因变量y取值的差异？可以用判定系数【例7】某公司对11年来销售收入和年广告费用进行调查，得到资料如下表，试分析年广告费用对销售收入的影响，并估计当广告费用为15万元是销售收入能达到多少？做散点图，看是否是线性关系；建立估计的回归方程；方程显著性的检验；利用拟和优度判定方程拟和优劣。【例7】某公司对11年来销售收入和年广告费用进行调查，得到资年份年销售收入y/万元广告费用x/万元y2x2xy1401316001695202581433641968123331210891443964652042254001300580282240784224068026640067620807561831363241008830129001443609331210891443961090308100900270011722251844841584合计63720741486412913012年份年销售收入y/万元广告费用xy2x2xy140131601、估计参数，建立回归方程广告费用与销售收入的直线回归方程为：X的回归系数（3.00）表示广告费用每增加1万元，销售收入平均增加3.00万元。1、估计参数，建立回归方程广告费用与销售收入的直线回归方程为2、回归系数显著性的检验对回归系数进行显著性检验(＝0.05)提出假设H0：b1=0H1：b1

0计算检验的统计量

t=10.1>t=2.201，拒绝H0，表明销售收入与广告费用之间有显著的线性关系。2、回归系数显著性的检验对回归系数进行显著性检验(＝03、判定系数计算广告费用对销售收入回归的判定系数，并解释其意义

判定系数的实际意义是：在销售收入的变差中，有91.9%可以由广告费用与销售收入之间的线性关系来解释，或者说，在销售收入变动中，有91.9%是由广告费用所决定的。所以模型拟和较好。3、判定系数计算广告费用对销售收入回归的判定系数，并解释其4、估计并预测可以估计，当投入15万元的广告费用，销售收入为46.46万元。4、估计并预测可以估计，当投入15万元的广告费用，销售收入为7.3.4利用回归方程进行预测7.3.4利用回归方程进行预测点估计2.点估计值有y的平均值的点估计y的个别值的点估计在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的的点估计是一样的，但在区间估计中则不同对于自变量x的一个给定值x0，根据回归方程得到因变量y的一个估计值点估计2.点估计值有对于自变量x的一个给定值x0，根

y的平均值的点估计在前面的例子中，假如我们要估计贷款余额为100亿元时，所有分行不良贷款的平均值，就是平均值的点估计。根据估计的回归方程得y的平均值的点估计在前面的例子中，假如我们要估计贷款余7.4多元线性回归分析7.4多元线性回归分析多元回归模型一个因变量与两个及两个以上自变量的回归描述因变量y如何依赖于自变量x1，x2，…，xk

和误差项

的方程，称为多元回归模型涉及k个自变量的多元回归模型可表示为

β0，β1，β2

，，βk是参数

是被称为误差项的随机变量y是x1,，x2，，xk

的线性函数加上误差项

包含在y里面但不能被k个自变量的线性关系所解释的变异性多元回归模型一个因变量与两个及两个以上自变量的回归β0多元回归模型(基本假定)误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E()=0（零均值）对于自变量x1，x2，…，xk的所有值，的方差2都相同（同方差）误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，即ε~N(0,2)，且相互独立（正态性）（无自相关）自变量见不存在较强的相关性（无多重共线性）。多元回归模型(基本假定)误差项ε是一个期望值为0的随机变量多元回归方程描述因变量y的平均值或期望值如何依赖于自变量x1，x2

，…，xk的方程多元线性回归方程的形式为E(y)=0+1x1

+2x2

+…+

k

xkβ1，β2，，βk称为偏回归系数

βi

表示假定其他变量不变，当xi

每变动一个单位时，y的平均变动值多元回归方程描述因变量y的平均值或期望值如何依赖于自变量估计的多元回的方程是估计值是y的估计值用样本统计量