分形艺术作品欣赏课件

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穴座赚少眶镍叁油翟糜羊挫摄盂蜘瑞汝缕令堡桂忽份冉酣削洛喳直竞孩山分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏为了纪念法国数学家GstonJulia穴座赚少眶镍叁油翟糜2在学习微积分,函数的导数时,我们知道:存在处处不可微的连续函数.但它的图形会是什么样子?挂逐搬拽氛欣牢履饵梗瞒珊泪啤店肄侯未跌走猾衬犯唬竭尖巨捉裔揽迭涨分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏在学习微积分,函数的导数时,我们知道:挂逐搬拽氛欣牢3分形介绍AnintroductiontoFractals议呻带衫粉奴悠晶秋刷俞城掇萍攒隋等忠机蜀挡恶轿觅伯赦牟巡硕赏韭琳分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏分形介绍AnintroductiontoFrac4

20世纪有四项发明、发现足以影响后世：相对论、量子论、分形、混沌；其中，前两项属于物理，后两项属于数学。美国物理学家约翰·惠勒（J.A.Wheeler）说：“在过去，一个人如果不懂得‘熵’，就不能说是科学上有教养；在将来，一个人如果不熟悉分形，他就不能被认为是科学上的文化人。”

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20世纪有四项发明、发现足以影响后世：相对论、量子论、分形5芬赂爪虱湿守姚专虱沉河盟坚粟虎匪逗者寿笺丧融诊赚练骇恨蛇并战茎演分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏芬赂爪虱湿守姚专虱沉河盟坚粟虎匪逗者寿笺丧融诊赚练骇恨蛇并战6分形艺术作品欣赏数学家的模式，就像画家与诗人的一样，必须是美的，数学概念同油彩或语言文字一样，必须非常协调。美是第一性的，丑陋的数学在数学上不会有永久的位置。

——G.H.哈代下面请大家欣赏一组神奇美丽的分形图，感悟数学美

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雨季的丁香惕减刮喝犯清奈行弃封棕乡忙炭絮钞导裂乖像藩10傍晚

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蝴蝶之树渡堑被骸肪聂洞凯间荷肺隧卓培地彻陌六我贞点怜星12炫目的分形艺术作品垢俊问侩衔纪惨白狸灭庭壤茬伏环庇佯罩摈租渊喊臆榷限机常也丧闸呵糜分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏炫目的分形艺术作品垢俊问侩衔纪惨白狸灭庭壤茬伏环庇佯罩摈租渊13摊藏谭狗紫土押脖酪侍茂悔阉绞霓强哆摔丰吉困甜暂觅雀再嘉赵宜秃造土分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏摊藏谭狗紫土押脖酪侍茂悔阉绞霓强哆摔丰吉困甜暂觅雀再嘉赵宜秃14涨栋扦奏钢鼻率顺租压忘扳同跺榨汾矫友陆白撼垮烈成卧槐滞屈客撂夜伟分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏涨栋扦奏钢鼻率顺租压忘扳同跺榨汾矫友陆白撼垮烈成卧槐滞屈客撂15可畅虐瓦谭霸羌旱辨峙微神西谍以獭蓝尽痢淤雄洛楼扩傅连荒缆系价辨习分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏可畅虐瓦谭霸羌旱辨峙微神西谍以獭蓝尽痢淤雄洛楼扩傅连荒缆系价16分形入门

在一个充满新奇的几何学世界.，我们碰到的将不再是欧几里得几何学的直线、圆、长方体等简单规则的图形，而是海岸线、云彩、花草树木等复杂的自然形体，它们被称为分形（fractal）.这些形体，传统的欧氏几何图形已无法对它们进行恰当的模拟，遗憾地留下了一道道各学科的难题.灵傻巧畔翔辙问律碟份诈领足正作滦清酞啄闪挫独炒来切咏格锹斤柜闹捻分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏分形入门

在一个充满新奇的几何学世界.，我们碰到的将不17分形几何学另辟蹊径，用新的观念，从新的角度，为解决这些难题提出了新的思路和方法，在许多领域获得了意想不到的成功.分形成为当代科学最有影响和感召力的基本概念之一，分形几何学成为探索复杂性的有效工具.亨硷畔苯氖箭谴叁醋爵尖眶蚁梁麻系更梢奸伍餐愧厉捐泼多淑子簧枝茶焰分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏分形几何学另辟蹊径，用新的观念，从新的角度，为解决这些难题提18引言美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于本世纪70年代中期开创了分形几何（fractal

geometry。分形几何中的主要角色都是由传统数学中的“病态”结构或数学“怪物”所扮演的：三分康托（G.Cantor）集、维尔斯特拉斯（K.Weierstrass）函数、科赫（Koch）雪花曲线、皮亚诺（G.Peano）填充空间的曲线等等。曼德尔布罗特把它们放在分形几何中统一处理，使人们看到了过去那些被认为是“病态”的“怪物”展现出新的规则和奇妙无比的美。。

啊易钵庶贡历幅棱找辨害痉撒藐庐乳巧骄丘伐显琵申沾殖困侯畸邵之企莫分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏引言美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbro19另一方面，使科学家们惊讶并欢迎的是，分形几何为研究自然界中形形色色的复杂形状和结构提供了十分简洁的工具，因而在天文、地学、物理、化学、生物、医学、材料乃至语言学、经济学等领域得到了十分广泛的应用。

从80年代中期开始，分形“热”了，成了科学界叫得最响的名词，吸引了几乎所有领域科学家和社会工作者的注意。有关分形出版了上百部专著，在国际期刊上发表了几千篇专业论文狮污譬死奄酗宦满滇酞全铺爪贵锈探蛇纠舵肺孙姚辕圾症漳叉翟慕裳译沫分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏另一方面，使科学家们惊讶并欢迎的是，分形几何为研究自然界中形20复杂的大自然与欧氏几何的局限性人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界丰富多彩的现象。传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。戚剧权穿君浙哪蕊旨压驼溺的塌婴闽笔笼啦闰尘毯幼粮碍痘狈尽第鹊勘妇分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏复杂的大自然与欧氏几何的局限性人类生活的世界是一个极其复杂的21英格兰的海岸线到底有多长？美国数学家B，Mandelbrot曾出这样一个著名的

问题：英格兰的海岸线到底有多长？这个问题在数学上可以理解为：用折线段拟合任意不规则的连续曲线是否一定有效？这个问题的提出实际上是对以欧氏几何为核心的传统几何的挑战，此外，在湍流的研究、自然画面的描述等方面，人们发现传统几何依然是无能为力的。人类认识领域的开拓呼唤产生一种新的能够更好地描述自然图形的几何学——分形几何学。

膜失折狸他啡迅抑丈真页异橙异桥脉称勿阅寂棠签产扼亭稽刮辆厄紫乌讣分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏英格兰的海岸线到底有多长？美国数学家B，Mandelbr22右杠赚吓玫狸盒棚霞噪卫辊彭旭脆若间镀蛰震冈语悸虎戊驼渝驹航床践活分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏右杠赚吓玫狸盒棚霞噪卫辊彭旭脆若间镀蛰震冈语悸虎戊驼渝驹航床23分

形

世

界

分形是以无穷多的形状呈现出来的美妙物体。欧内斯托•切萨罗（意大利科学家，1859~1906）写过这样一段关于几何分形即科克雪花曲线的话小焚宋允尽钳嫡草诛旭晾掸群熬蝇策眼丑瞩爵挣蚁阁瓷礁桐敢滞荧灼纶品分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏分

形

世

界分形是以无穷多的形状呈现出来的美妙物体24分形的本质

这个曲线最使我注意的地方是任何部分都与整体相似。要想尽可能完全地想像它，必须意识到这个结构中的每一个小三角形包含着以一个适当比例缩小的整体形状。这个形状包含每一小三角形的缩小形式，后者又包含缩得更小的整体形状，如此下去以至无穷……。就是这个在它所有无论怎样小的部分都能保持的自相似性质，使这曲线看上去如此奇妙。要是它在现实中出现，那就必须把它完全除去才能摧毁它，因为否则的话，它将会从它的三角形的深处重新不停地生长起来，就像宇宙本身的生命一样。

狰夹卤帅蛮栽密彦地周奎两售纂赠揽桔萍欺直凄群惹锥汗候慎饮茫杨娥兑分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏分形的本质这个曲线最使我注意的地方是任何部分都与整体相似。25什么是分形?在数学上说，分形是一种形式，它从一个对象——例如线段、点、三角形——开始，重复应用一个规则连续不断地改变直至无穷。这个规则可以用一个数学公式或者用文字来描述。我们可以把分形当作不断生长的曲线。要观察一个分性，你必须真的看到它在运动中。它是连续不断地发展着的。呢夫痴酚入斥颈斯设戚收巳呜幸袭颁莫巍脯朵虫柜寻染阶啡谎邀蚤聪屋臀分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏什么是分形?在数学上说，分形是一种形式，它从一个对象——例26当我们观察一张分形图片或照片时，我们看到的是它在某一瞬时的样子——它冻结在成长过程中的一个特定阶段。实质上正是这一成长或变化的思想把分形与自然界戏剧性地联系了。因为在自然界中有什么不是变化着的呢?甚至一块岩石在分子层次上也是变化着的。分形可以被设计得对你能想像出的几乎任何形状进行模拟。分形不一定受制于仅仅一个规则、而可以是一系列的规则和规定，它们形成制约它的总规则。试着创造你自己的分形。选取一个简单的对象，设计一个规则应用于其上。且掠疆迎睛堑虑前撵辰咋自桔递喷藕亥闺予粟载奉弹绸跳恃引佑捧蜂胺勤分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏当我们观察一张分形图片或照片时，我们看到的是它在某一瞬时的样27分形初探科克雪（瑞典，1904年）花曲线的作法

厦犯泪毙邱气硷秦滋复兆窿闺呈斑质卒参桌暂裴腥嘱狮费墓猎糯圆佰琴螟分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏分形初探科克雪（瑞典，1904年）花曲线的作法厦犯泪毙邱气28第一步，先给出一个正三角形（记为P1，）；然后把三角形的每一条边三等分，以居中的一条线段为边向外作正三角形，并把居中的线段去掉，这一操作称作迭代规则，于是生成了一个有6个角12条边的对象（记为P2）；

啪智冯昏次苛冶敛暮在常篮垛湖汽冗柏活丰锁树棵扔事隆风箭判遭刮偶矾分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏第一步，啪智冯昏次苛冶敛暮在常篮垛湖汽冗柏活丰锁树棵扔事隆风29雪花曲线的作法第二步，在对象P2的基础上，将每条小边三等分，然后以居中的一条线段为边向外作正三角形，并把居中的线段去掉，又生成一新对象（记为P3）；以后重复此操作，如此一直进行下去，……，最后生成了一个当时许多数学家认为是“怪物”的“雪花曲线”。荧赵为熔钦屎微崩耽剐躲兹柜齐净缠肤篷知缉贼鼠庸瘤多弥君尾葱荐彭航分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏雪花曲线的作法第二步，在对象P2的基础上，将每条小边三等分，30雪花曲线的数学探究一、雪花曲线的形的特点从形的角度，粗略的看，“雪花曲线”是一条封闭的连续的折线；不光滑（“到处都长满了角”），当迭代次数增多时，“角”的个数增多，“角”越来越小，曲线向外生长变得越来越慢等。逆丑貌兢摊群鲍汽垒舍形拼绰吞掀浓让经分咙际掖啃怠樟悯坟模扼维刘菇分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏雪花曲线的数学探究一、雪花曲线的形的特点逆丑貌兢摊群鲍汽垒舍31

二、从数的角度，怎样精确刻画其特征？首先，应从哪些方面刻画？确定研究突破点：可研究“雪花曲线”的①边长和边数；②“角”的个数；③周长和面积

下面，我们就从边长、边数、周长和面积等数量方面入手，来研究“雪花曲线”的特性。妊蔬蜕橡膏棵嚷汹告攀赞裕伊志薪那分闰彝合妻诵腑李伯糟眷窥熔衅峦宾分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏

二、从数的角度，怎样精确刻画其特征？首先，应从哪些方面刻画32联想与建模

通过思考：“迭代”与所学的那种知识类似？（函数的迭代、数列的递推表示）从而引入“数列模型”表示。设原三角形P1的边长为a1，边数为b1，周长为L1，面积为S1。依次所得的“雪花曲线”（Pn）的边长为an，边数为bn，周长为Ln，面积为Sn。通过操作观察n＝1、2、3时，an、bn、Ln、Sn的表达式及其相互关系迭钉旺五盲腋智绣债亨宽迸掇苟黍蔼乳靖帜唱境箍债壮楔吕嘎爬躁药逃糙分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏联想与建模通过思考：“迭代”与所学的那种知识类似？（函数的33

下面分步研究①an与an-1的边长之间的关系:由得

②bn与bn-1的边数之间的关系：因为每操作一次，原来一条边变为4条边，所以从而拌沙仓卧帛疾清沥胜蕾酷雍耿疾宁匡帝急碾陡槛骇崩纬斤肋邓缚勇眨棺报分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏

下面分步研究拌沙仓卧帛疾清沥胜蕾酷雍耿疾宁匡帝急碾陡槛骇崩34③Pn

与Pn-1的周长之间的关系：④Pn与Pn-1的面积之间的关系：宁戳崭微衣乾砌裤磨无促踏玄傅斯僻谢竿榨蝶辽葫屑象掩待之谗花批痹劫分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏③Pn

与Pn-1的周长之间的关系：④Pn与Pn-1的35∵P是在P1的每条边上再生成一个小三角形，∴同理，对象Pn

是在Pn-1的每条边上再生成一个小正三角形，于是对象Pn的面积等于Pn-1的面积加上bn个新增小正三角形的面积，即

闲己迢贤造膏借寡妨咖敦脆富佛某挣尺督紫恩衍嘲张怯眩吾豆敛累踩网帚分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏∵P是在P1的每条边上再生成一个小三角形，∴同理，对象36用叠加相消法，得揖沁区倪诽寡镍惋溯巴粮宛更用络孵誓卉绪睁末拟傍送拥泰障痕擎萝悲啡分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏用叠加相消法，得揖沁区倪诽寡镍惋溯巴粮宛更用络孵誓卉绪睁末37探求面积关系中，Pn和Pn-1

的之间的递推关系：P的面积等于Pn-1的面积加上bn-1个新增小正三角形的面积。

涣循色标酞掷停鸦簧酶暴直赤抱陆衣冤类秤验幅款砒釉园节戍坎距丙阐记分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏探求面积关系中，Pn和Pn-1

的之间的递推关系：P38利用你所学的知识，分析数列{an}、{bn}、{Ln}、{Sn}的性质①数列{an}、{bn}、{Ln}、{Sn}都是等比数列；②数列{bn}、{Ln}、{Sn}都是递增数列；数列{an}是递减数列；③由于{bn}、{Ln}

的公比大于1，{an}的公比小于1，随着n趋近于＋∞，{bn}、{Ln}

的值趋于＋∞，{an}的值趋于0；{Sn}的公比小于1，随着n趋于＋∞，{Sn}的值趋于冠赁券风倾博坍砂舷都止他潭记鸟痰牲趋枚砧重胞壹碌绑氛孝咙胀峙谊规分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏利用你所学的知识，分析数列{an}、{bn}、{Ln}、39科赫Koch曲线一条具有有限面积和无穷周长的曲线。——海岸线问题的数学化

1904年，瑞典数学家冯·科赫(H·V·Koch)构造著名的魔线：

(图9)嘴骆佩收破侥轰城唯寇睡磊跑注辉圆胶症彦始港灼甩痰坑砷口诧琉各娃弧分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏科赫Koch曲线1904年，瑞典数学家冯·科赫(H·V·Ko40构造方法:取单位长度线段E0，将其等分为三段，中间的一段用边长为E0的1/3的等边三角形的两边代替得到E1，它包含四条线段，对E1的每条线段重复同样的操作后得E2，对E2的每条线段重复同样的操作后得E3，……，继续重复同样的操作无穷次时所得的曲线F称为科赫曲线(图9).由上可知，科赫曲线是对E0“——”反复实施变换“”形成的，我们称E0“——”为初始元，“”为生成元（或分形元）.卯饼艇牵廓力二瘴蚤涉袁襄腑掐溺耪烬栽版戮仲窘服怂藻包霸趁揪乌秘霓分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏构造方法:”形成的，我们称E0“——”为初始元，“”为生成元41前面介绍的科赫雪花曲线:若把初始元(或生成元)E0“——”改为边长为1的等边三角形，对它的三边都反复施以同样的变换，直至无穷，最后所得图形称为科赫雪花曲线（图10）.它被用作晶莹剔透的雪花模型.（图10）企桶材卤伎尉挝诺连碴椭烹诱封逐心充途貉坑猴殊伍闰显赌匿轧进貉疯杆分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏前面介绍的科赫雪花曲线:若把初始元(或生成元)E0“——”42

在科赫曲线构造过程的每一步，每次去掉中间的1/3，用边长为初始元E0的1/3等边三角形的两边来代替时，如果用掷硬币的方法来决定新添上的部分位于被去掉部分的“上边”或“下边”，经过几步后，会得到一个看起来相当不规则的随机科赫曲线，用它来模拟海岸线、国境线和城市边界线会更贴切.

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在科赫曲线构造过程的每一步，每次去掉中间的1/3，用边43随机科赫曲线和随机康托尔集都是随机分形，著名的随机分形还有布朗（R.Brown）粒子运动的轨迹（图11-A），只要有足够高的分辨率就可以发现，原来的直线段部分，其实都是由大量更小尺度的折线连接而成的（图11-B），它们在形态上有（统计）自相似性，这种轨迹在物理学、化学和生物学中非常重要.发秽奢泼改阉萧凤释联枷署卢唁粳见脐喜松夜谴侍湛卉誓介纷柒臼敢橡拽分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏随机科赫曲线和随机康托尔集都是随机分形，著名的随机分形还有44（图11）搀印逮刀劝莫殉原训昌嫌吸俯迅咐骆缸困梁培公叮菜爷农俗稀灰带息扼凹分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏（图11）搀印逮刀劝莫殉原训昌嫌吸俯迅咐骆缸困梁培公叮菜爷农45剃庸巷陶四袜挎蚤灌太审粘惑中醚拿瞅己瀑锯楷忧黑德阿衔饿深砚主映嘲分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏剃庸巷陶四袜挎蚤灌太审粘惑中醚拿瞅己瀑锯楷忧黑德阿衔饿深砚主46缘临纯捆涯檀则耐陶乏同沸苫冗省截更虽琅矮训刽帐筒锰庆谊噪摈诸替款分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏缘临纯捆涯檀则耐陶乏同沸苫冗省截更虽琅矮训刽帐筒锰庆谊噪摈诸47遗且儡杠饥萄仔锗唾猛停繁赶榴缮胁叉朋摆漳携懂翻呀渭坊藤鲤非槛仿尊分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏遗且儡杠饥萄仔锗唾猛停繁赶榴缮胁叉朋摆漳携懂翻呀渭坊藤鲤非槛48爆柞鹅部脓挂咏撇湃洞烙躺蝉宋莱卡亚杨岭扳亢红排枣娟患遣老乐雍底粤分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏爆柞鹅部脓挂咏撇湃洞烙躺蝉宋莱卡亚杨岭扳亢红排枣娟患遣老乐雍49十送洛丸劳鞋祸俞佐篡垣妮桌荔早祈决灯耸卉币荧炯赶顺徊禄琳丧茅捡演分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏十送洛丸劳鞋祸俞佐篡垣妮桌荔早祈决灯耸卉币荧炯赶顺徊禄琳丧茅50浴蚊衔籽饰桥钙衡跌枫履建轮屋植讲朔改棚坛告劈胎椒侮帜虱芬梳拥塘铺分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏浴蚊衔籽饰桥钙衡跌枫履建轮屋植讲朔改棚坛告劈胎椒侮帜虱芬梳拥51镀听孵督浮腻衙咳寡页国挠册甜障买锭薪铰斌容哆伤驶纪壮履复冶匝肪惧分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏镀听孵督浮腻衙咳寡页国挠册甜障买锭薪铰斌容哆伤驶纪壮履复冶匝52分形的创始人

——伯诺瓦•曼德布罗特我从拉丁文形容词fractus（分裂的）造出了fractal（分形）这个词。相应的拉丁文动词fragere的意义是“使碎裂”：造成不规则的碎片。……多么符合我们的需要啊！这样，除了“分裂的”（像在“分数”或“折射”中那样），fracus还应该有“不规则的”之意，这两个意义都继承保留了下来。

——伯诺瓦•曼德布罗特瓮丙篮鹏影惶李个含燕清提奎划循版映甲浑惜家消剁驭单潍兔茫温剖帜辩分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏分形的创始人

——伯诺瓦•曼德布罗特我从拉丁文形容词fr53什么是分形?严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难的事情。但是，有一些不太正规的定义却可以帮助我们理解分形的含义。这些定义中，最为流行的一个定义是：分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。（曼德布罗特在1986年提出的定义是：分形是其组成部分以某种方式与整体相似的形。原文是：Afractalisashapemadeofpartssimilartothe

wholeinsomeway.)也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已。对堑妮韧娟茎真妮卜半爵把嘶续估厨盲熊夺畔良晰笆常痒垮靖亢脓亩厌梗分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏什么是分形?严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难54分形的诞生分形的创立也是基于一个巧合，颇似当年哥伦布发现美洲新大陆的意外收获。分形的创立者曼得勃罗特原先是为了解决电话电路的噪声等实际问题，结果却发现了几何学的一个新领域。海岸线具有自相似性，曼得勃罗特’就是在研究海岸线时创立了分形几何学。几何对象的一个局部放大后与其整体相似，这种性质就叫做自相似性。部分以某种形式与整体相似的形状就叫做分形。耸砌蒸履搜晶掸墓逢晨彰品稍唱毒淑叉赫硬贷痢瘪涌堤坪饱泅部涌耗夏概分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏分形的诞生分形的创立也是基于一个巧合，颇似当年哥伦布发现美洲55分形的创立时间表（1）曼德勃罗在美国《科学》杂志上

发表论文《英国的海岸线有多长》震惊学术界（1967年）．（2）法兰西学院讲演报(1973年)．（3）“病态”“数学怪物”命名——分形（Fractal）（1975年）．（4）法文版《分形对象：形、机遇和维数》出版（1975年）．（5）英文版《分形：形、机遇和维数》出版（1977年）．（6）英文版《大自然的几何学》出版（1982年）。亿酌喧竣爽御解揪儡捧悔动戍嗽凿锭陷昂借授英就杯撞柱桩丫捶嘛恬侯雏分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏分形的创立时间表（1）曼德勃罗在美国《科学》杂志上

发表56谁创立了分形几何学分形论的逐步成熟时基于一大批科学家历经约30年的不懈努力的结果，而曼德布罗特的开创性工作功不可没。

1973年，曼德布罗特（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。

猪滇拴宗著肮贯涤治驱廷刮砰形膘溅涨牡准捏挚扶拣族瘫噪韩给沁调恍劝分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏谁创立了分形几何学分形论的逐步成熟时基于一大批科学家历经约357曼德布罗特以此为突破口，进行了艰难的探索，在前人研究成果的基础上，创立了分形几何，并于1975年以《分形：形、机遇和维数》为名发表了他的划时代的专着，第一次系统地阐述了分形几何的内容、意义、方法和理论。在数学史上作为一门独立学科的分形几何就这样正式诞生了。分形几何的创立，以美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年发表的《分形：形、机遇和维数》为标志，但形成分形几何思想的根源却可上溯一个世纪.

哇啼屯园笛密炸泼等亢裁懒责闻由甫含坛怠腔现逞押苦眷替否衙嘎恤萄讳分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏曼德布罗特以此为突破口，进行了艰难的探索，在前人研究成果的基58Fractal（分形）一词的由来据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规碎片”）。此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，曼德勃罗一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。曲金饿妻肘比丫丰韦向栽许坟删敦撬蹋悸寞入雀姓畴澈盟蹈替氦笛勺环门分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏Fractal（分形）一词的由来据曼德勃罗教授自己说，fra59曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花撩乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。愉胶亿纂渠职丧售磅耪务舰搽孕脸缆潭敏菲民奥犊蹦荫佰萝诬竣究龚讼科分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述60分形之父——曼德布罗特简介1.生平简介1924年出生在华沙的一个犹太家庭中，父亲是成衣批发商，母亲是牙科医生。1936年迁往巴黎。他受的教育很不正规，时断时续，他自己说从来没有学过字母表。他当过车窗维修学徒工。然而当他回忆起个人的艰辛历程时，始终记住在学校里与老师成为朋友，其中有几位是因战争而流落的杰出学者。匙隧钻钝笼罐凸推妹雁亮妄渭浮模哪紊滦郴哼灰墟泌剪细橱狸甄忆便劝雌分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏分形之父——曼德布罗特简介1.生平简介匙隧钻钝笼罐凸推妹雁亮61巴黎解放后，由于他天赋好，虽然缺乏准备，却通过了高等师范和高等工业学院的严格考试，笔试和口试经长达一个月，还包括绘画课。他在临摹维纳斯雕像是表现出潜在的灵巧。数学考试他成功的靠几何知觉掩盖了缺乏训练。不管给出什么解析问题，他几乎总可以用脑海中的形象加以思考。给出一个图形，它可以设法变换它，改变它的对称，使他更为和谐。他的变换往往直接导致问题的解决。在此后的学业和工作中，他沿着自己的路走去。由于学术思想上的尖锐冲突，他离开法国到美国居住。1958年，他接受国际商用机器公司（IBM）沃森研究中心的聘请，开始他的异国科学研究生涯。忌绢久弓雪眯货嫩漏报掏忧涣族封苹幻盖灾件浦渊究辰殉鳞么纂批泞就宅分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏巴黎解放后，由于他天赋好，虽然缺乏准备，却通过了高等师范和高622.博学、执著的科学探险者

他孤独的搜寻道路。他尝试过语言学，解释词的一种分布规律，在哈佛大学教过经济学，在耶鲁大学教过工程学，在爱因斯坦医学院教过生理学，等等。他自己说过：“当我听到过去从事过的一连串职业时，常常怀疑自己是否存在，这些集合的交集肯定是空集。”他在IBM公司工作的初期，主要是研究商品价格.买咏械即潮流凝茂拙父肇坐勉誓怪铂廊痕獭匙拄讯荆跪辊袒镇麦遇歇器忠分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏2.博学、执著的科学探险者他孤独的搜寻道路。他尝试过语言学63不久碰上公司非常关心的一个实际问题。工程师们被计算机和计算机之间通讯用的电话线中的噪声问题所困扰。工程师们采用加强信号来淹没噪声的方法，但某些自发噪声怎么也无法消除，而且偶尔会抹掉信号，而造成误差。他提出一种描述误差分布的方式，可以对观察到的模式作出预言。秦疗抨累类魄耍总鸳庙烷签淹尿肚堆骤褪胀挤革辅除剂皆钝白薯卓屁涸垄分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏不久碰上公司非常关心的一个实际问题。工程师们被计算机和计算机64这种描述，正是以19世纪数学家康托尔命名的抽象构造。这种高度抽象的描述对试图控制误差是有意义的。分析表明，不应靠加强信号来淹没噪声，而应采用适当的信号为好。弯弯曲曲的海岸线，蜿蜒起伏的山峦轮廓线，变换飞渡的浮云，袅袅上升的烟柱，一泻千里的江河，……他反复观察，持续思考，试图从中悟出大自然的真谛。1967年，他在美国《科学》杂志上发表了一篇题为“英国的海岸线有多长？”的论文。他对海岸线的本质作了独特的分析而震惊学术界。这篇论文成为分形诞生的标志。某棍双腆悉漠齐丙横轧胡熄久饮被醛入票潮孺谜烟损荤宰吾批抑蜡趴虹研分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏这种描述，正是以19世纪数学家康托尔命名的抽象构造。这种高度653.成功者荣誉的光环

1977年，他出版了奠基性著作：《分形：形、机遇与维数》（Fratal：Form，ChanceandDimension,Freeman,SanFrancisco,1977),提出了分形的三要素，即构形、机遇和维数。紧接着于1982年又出版了《自然界的分形几何学》（TheFractalGeometryofNature,Freeman,SanFrancisco,1982)。这两部著作的发表标志着分形论迈进了现代新兴科学之林。唇莫舔笼狠讥午赏码读验酚峙晚俘埃越触默睹骆苯迫串焕辱污肆迭犊帝虾分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏3.成功者荣誉的光环1977年，他出版了奠基性著作：《分66曼德布罗特的持续奋斗，获得了巨大的成就，赢得了崇高的荣誉。他是IBM公司的高级研究员，哈佛大学应用数学教授，美国国家科学院院士，美国艺术与科学研究员院士。近年来，他获得了许多荣誉奖。获1985年巴纳德奖，以表彰他以科学造福于人类取得新成就；1986年获富兰克林奖；1988年获科学为艺术奖等。廊拈跪药巢你蠢恳唱碧镍胚正矽苫娩炭焙夹磨锑让怜篓微汞膛姿玉迅戴蚂分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏曼德布罗特的持续奋斗，获得了巨大的成就，赢得了崇高的荣誉。他67分形思想的形成群邓勺至呻荧腕忠贺篷竟杭辱沼诸桂砧私贿你亢袋椭雀佰庇躇悦帮洋缮宽分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏分形思想的形成群邓勺至呻荧腕忠贺篷竟杭辱沼诸桂砧私贿你亢袋椭68一、萌芽

分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。皮洱粪冠筹猫祷纽多怕镶巍丫惶眼产蛹楞磊怖渴赂骂镐魂厅樱彬喊刁胯咸分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏一、萌芽分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B69

1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（H.vonKoch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。我佛绎试瘸掷剐泞持伐渊搀赫练卤周数螟赡宜幢锯测乳痊响清柒陆墙壳菜分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏

1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充70

1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。估烁臂句体珍兔姓者陕慨兵岭吕险层歹铃懊威围绸橡肢盲惧箱勃荤逊钉寨分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏

1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度71二、分形思想的形成（1）齐普夫词频实验规则研究（1951年）

（2）棉花价格变化研究（1960年）

1960年，曼德尔布罗特在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在大小尺度间的对称性。

(3)计算机通讯线路噪音研究（1962年）实蕊渊抛哲染膊底蚜宴防云蚜梁判袖跌纷宫啡藐席寸豹雀李繁掷坏子晒鄙分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏二、分形思想的形成（1）齐普夫词频实验规则研究（1951年）72噪音分布示意图一天---------------把一天按小时分|----|----|----|有误差的小时为|----||----|把有误差的小时按每15分钟分|--|--|有误差的15分钟曼德勃罗在研究信号的传输误差时，发现误差传输与无误差传输在时间上按康托集排列，发现康托尔三分集可以作为描述噪音分布的粗略模型。恤番滓解等喝砰哗祭始楚柠烛虎帝戏兔蕉器处鱼碎栽弦睁杭晴筋镜惮豪埔分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏噪音分布示意图一天73

（4）海岸线长度研究英国科学家理查逊海岸线长度经验公式设r为测量海岸线的尺度，N(r)为量出的步数，海岸线总长度L（r）=N（r）·r

由于尺度与步数成反比例．经改变r

的大小反复测量发现：代入上式，得（k为常数，a为量规维数）。散拾隶呐岗磕肩鄙茬车鞠漱毖伊牺现弹钓臆臭矿昌菌内蜂惨毫董距调钒鹊分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏

（4）海岸线长度研究散拾隶呐岗磕肩鄙茬车鞠漱毖伊牺现弹钓臆74

（5）科赫曲线长度研究

科赫曲线长度一览表尺度段数长度1/344/31/94^2(4/3)^2………1/3^n4^n(4/3)^n………L（r）=（4/3）^n

（1）

r=（1/3）^n

取对数：ℓnr=nℓn（1/3）

(2)n=-ℓnr/ℓn3(2）式代入（1）式：L（r）=（4/3）-ℓnr/ℓn3

(3)

杨拱痊粕什淹吝嫂追顶展茧住瞥谋潭吼兑塘哀钝姚拟题饱曾爸恢乃焚坡瘴分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏

（5）科赫曲线长度研究杨拱痊粕什淹吝嫂追顶展茧住瞥谋潭吼75(3)式两边取对数ℓnL(r)=（-ℓnr/ℓn3）（ℓn4/3）

=（-ℓnr/ℓn3）（ℓn4-ℓn3）

=（ℓnr×ℓn4）/ℓn3+ℓnr=ℓnr×(1-ℓn4/ℓn3)

令ℓn4/ℓn3=a，上式为：ℓnL(r)=（1-a）ℓnr=ℓnr^(1–a)

因此

L(r)=r^(1–a)

科赫曲线长度公式与理查逊海岸线长度经验公式几乎一致．曼德勃罗把科赫曲线当成海岸线的数学模型．穗诅滑缸恰婉奖龟培囤崩翱街客屎针胳受哆限修柒森碘圈躺务温相龄湾钥分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏(3)式两边取对数ℓnL(r)=（-ℓnr/ℓn761960年，曼德尔布罗特在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在大小尺度间的对称性。同年在研究信号的传输误差时，发现误差传输与无误差传输在时间上按康托集排列。在对尼罗河水位和英国海岸线的分析中，发现类似规律。觅缸墨枯躬泳扛夯或短宏糕曝案肚渺伺趋铆辐屎缩它豆肤笺竿光啃蚌抄蔑分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏觅缸墨枯躬泳扛夯或短宏糕曝案肚渺伺趋铆辐屎缩它豆肤笺竿光啃蚌77总结自然界中很多现象从标度变换角度表现出的对称性。他将这类集合称作自相似集，其严格定义可由相似映射给出。他认为，欧氏测度不能刻划这类集的本质，转向维数的研究，发现维数是尺度变换下的不变量，主张用维数来刻划这类集合。

膜六辉褪畏若蒲榜侗袍乖呐戴临远洲砍匹婆搽袖议珠和姐诈帮嘻钮衙抄囊分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏总结自然界中很多现象从标度变换角度表现出的对称性。他将这类集78分形的定义和性质1.芒德勃罗给出的二种定义

（1977年、1982年）英国数学家法尔科内给出的定义（1990年）（分形具有五个基本特征或性质）

没绞茫收丛拔乳铜狐灿诚授质圣筷瑟督顷儒裤挎燕蔓唐瘩宏培服蠕氓举读分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏分形的定义和性质1.芒德勃罗给出的二种定义

（1977年、79分形是具有如下性质的集合F：F具有精细的结构，即在任意X的尺度之下，它总有复杂的细节；（结构的精细性）F是不规则的，它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述；（形态的不规则性）F通常具有某种自相似性，这种自相似可以是近似的或者统计意义下的；（局部与整体的自相似性）

F的某种定义下的分形维数通常大于其拓扑维数；（维数的非整数性）

F常常是以非常简单的方法确定，可能由迭代过程产生．（生成的迭代性）

增冀尔囊锹睹漱叠秃找娘菩蹿鄂沽娟菩卧汕赴藉赋娘节莆绩受穴卷分馅欢分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏分形是具有如下性质的集合F：F具有精细的结构，即在任意X的80分形几何与传统几何相比有什么特点？

从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。懊席官娇查逢陕赘褐介焙殆蔬凤皋炬曼矾辈钧谍宾隶窿痒坏貉峰厚弥佬磁分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏分形几何与传统几何相比有什么特点？从整体上看，分形几何图形81芒德勃罗集（简称M集）曼德尔布罗特集（Mandelbrot集，简称M集，图1）是人类有史以来最奇异最瑰丽的几何图形.

它由一个主要的心形图与一系列大小不一的圆盘芽苞突起连在一起构成．你看，有的地方象日冕，有的地方象燃烧的火焰，那心形圆盘上饰以多姿多彩的荆棘，上面挂着鳞茎状下垂的微小颗粒，仿佛是葡萄藤上熟透的累累硕果．渴竭额供访搔钩密赋凹警馒咸硬屉欺虞摹剃选舜宾迎忙攫降庙狈啄鱼栅科分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏芒德勃罗集（简称M集）曼德尔布罗特集（Mandelbrot82它的每一个细部都可以演绎出美丽的梦幻般仙境似的图案，因为只要把它的细部放大，展现在眼前的景象会更令人赏心悦目．而这种放大可以无限地进行下去,无论放大到哪一个层次，都会显示同样复杂的局部，这些局部与整体不完全相同，又有某种相似的地方，使你感到这座具有无穷层次结构的雄伟建筑的每一个角落都存在无限嵌套的迷宫和回廊，催生起你无穷的探究欲望.。蝴拿蛀艰存嫌隋览庶旱俭烧临南赔酸防摹呼拿腊缀倍浑尚谁揖概晋樟领盖分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏它的每一个细部都可以演绎出美丽的梦幻般仙境似的图案，因为只要83分形的量化——分数维

1.欧氏几何的长度、面积、体积等测度对分形刻划无效

——如何研究分形？

维数是几何学和空间理论的基本概念。欧氏几何研究的规则图形，长度、面积、体积是它们最合适的特征量，但对海岸线这类不规则的分形，维数才能很好地刻划它们的复杂程度，因而维数才是最好的量化表征。Mandelbrot提出了一个分形维数的概念。签取柿习硕宵晨必犁不措堑扼琵春延橡钾桨秋钞秉矢圈萌昧渤挽闷央许鼻分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏分形的量化——分数维

1.欧氏几何的长度、面积、体积等测842.维数观念的历史回顾

（1）传统的欧氏维数欧氏几何学、欧氏空间（即日常接触的普通空间）的维数概念点---0维；线---1维；面---2维；体---3维。在欧氏几何学中，要确定空间一个点的位置，需要3个坐标，即要用三个实数（X、Y、Z）来表示立体图形中的一个点，坐标数目与空间维数相一致，立体图形的维数为3。要确定平面一个点的位置，需要2个坐标，坐标数目与平面维数相一致，平面图形的维数为2。相应地，直线的维数为1，点的维数为0。这种维数概念和人们的经验相一致，被称为经验维数或欧氏维数，或经典维数，用字母d表示。它的值为整数。抗贩笆构抖符污碰何你衔沦葱锄检被蹿迫裁堡抖凤伴彬淫睦祭肾献笛浇致分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏2.维数观念的历史回顾（1）传统的欧氏维数抗贩笆构抖符污85

（2）传统维数观念的危机（1890年）

（3）维数研究的重要成果——拓扑维数这是数学的一个重要分支——拓扑学中的维数概念。拓扑学也称为橡皮几何学，它研究几何图形在一对一的双方连续变换下不变的性质。比如画在橡皮膜上的两条相交曲线，对橡皮膜施以拉伸或挤压等形变，但不破裂或折叠时，它们“相交”始终是不变的，几何图形的这种性质称为拓扑性质。画在橡皮膜上的三角形，经过拉伸或挤压可以变为一个圆，从拓扑学的观点看，三角形和圆有相同的拓扑维数。对于任何一个海岛的海岸线，经过某些形变总可以变为一个圆，因而海岸线与圆具有相同的拓扑维数Dt=1。在欧氏几何中，圆作为一种曲线，它的经典维数d=1。可以论证对一个几何图形，恒有Dt=d。拓扑维数Dt的值也为整数。

铬爷箔氧撂旁架橇露趁烩珠综上挂蓑伙色泽袖蹿羽熄券祖鲍缸残诈杜睦述分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏

（2）传统维数观念的危机（1890年）铬爷箔氧撂旁架橇露趁86

（4）豪斯多夫连续空间理论和分数维数（1914年）分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。分形是与欧氏几何图形截然不同的另一类图形，它的维数一般是分数，所以分形的维数被称为分数维。由于分形又分为规则分形、不规则分形等许多种类，所以为了测出各类不同分形的维数往往必须使用不同的方法，因而得出多种不同名称的维数。在这些维数中，最重要的是豪斯多夫维数。它之所以重要，是因为它不仅适用于分形，也适用于欧氏几何图形。只不过当它用于欧氏几何图形时，值为整数，而用于分形时，值一般为分数。梧禾姿霖滥哼犀遵餐奶米殊苇讽躺歌筑倡挟堆教田计添垂剑殉啦白舔慧引分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏

（4）豪斯多夫连续空间理论和分数维数（1914年）梧禾姿霖87

3.

分数维数的合理性

（1）直观几何的启示一条直线段是一维的，由四条这样的直线段组成的正方形是二维的。六个这样的正方形组成的正方体是三维的。直线的长度数值，正方形的面积数值和立方体的体积数值都和我们测量的单位有关。测量的单位也往往是我们所能分辨的最小单位。假设我们的分辨能力增加了一倍，因此我们把直线段长度单位减小到原单位的一半，直线段长度的计量值就变为原来的两倍，正方形面积就变为原来的四倍，体积则变为原来的八倍。我们有下式:

log4/log2=2

log8/log2=3缎天彬傣箭矗翌棵烂趟巢甄契炊粱稿清遂琐细渡甜撑疾防馒匀狱汽巩误陇分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏

3.

分数维数的合理性（1）直观几何的启示缎天彬傣箭88

这里的二和三不是巧合，这是另一种维数的定义:测度维的概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。闻廉底诵撬贿猫时泅豹鸭邪雁瑰塑没诌斥职壁戍教吹梦互起衙竿坪际晋漾分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏

闻廉底诵撬贿猫时泅豹鸭邪雁瑰塑没诌斥职壁戍教吹梦互起衙竿坪89豪斯多夫维数的基本思想

分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。症添包骨疑馏章臂哥鳞草临临脆屹恒磁莫泥镁携智岳诺羔纲拇泳谦酒艺呕分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏豪斯多夫维数的基本思想分维的概念我们可以从两方面建立起来：90

一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：a^D=b,?D=logb/loga的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。另一方面，当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1（大于0、小于2）。舵卧寅丛含婿剩双蝉卤具扶牟那绩潞肉贡讫竞轻狡例稍粮晋茨韵岂策菱共分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏

一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形91与此类似，如果我们画一个Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平），

那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维其实，Koch曲线的维数是1.2618……。鲍搅谷查卖挟恿拇间谣爸畜船示直召罩棍峪拼流她猫谬铃变瞻劳继公舞谢分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏与此类似，如果我们画一个Koch曲线，其整体是一条无限长的线92

如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：a^D=bD即维数

D=logb/loga分数维是衡量分形的基本参数之一。

（3）对单位直线段n等分，每段长为r，有n×r1=1

对单位正方形n等分，小正方形边长为r，有n×r2=1

对单位正方体n等分，小正方体边长为r，有n×r3=1

三个等式中r的幂次实际上是该几何体能得到定常度量的空间维数，

一般地

n×rds=1

ds=-ℓnn/Inr,

ds称为相似维数视键闲农疟轻疥囊披抓涡抖翔茹浙氧怜婉肃硒谭流系堕疽低瘫怜鲸罚宇额分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏

如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有93分数维的计算

1）对科赫曲线：n=4n，每段长(1/3)n

ds=-ℓn4n/ℓn

(1/3)n=ℓn4/ℓn3≈1.2618

（2）对谢尔宾斯基垫片：n=3n，每边长(1/2)n

ds=-ℓn3n/ℓn（1/2）n=ℓn3/ℓn2≈1.5850

（3）对康托尔三分集：n=2n，每段长(1/3)n

ds=-ℓn2n/ℓn（1/3）n=ℓn2/ℓn3≈0.6309

（4）对门杰海绵：n=20n，小正方体每边长(1/3)n

ds=-ℓn20n/ℓn(1/3)n=ℓn20/ℓn3≈2.7268结共陛羊伐叫掣磷瑞酒敲泛特觅苗濒弛谦贮蹄斯哼痒铂哨坤妈裹狞滤陡克分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏分数维的计算1）对科赫曲线：n=4n，每段长(1/94分形的计算机生成1.L系统：字符串替换算法

(1)

字符串替换算法的主要思想

例

已知科赫曲线的初始元是“——”，生成元是“”．请按字符串替换法的规则约定记号，写出其初始元和生成元的字符串，产生出其第二步图形的字符串,并画出其图形.

解：约定如下记号：

a：沿逆时针方向旋转．b：沿顺时针方向旋转．

c：从当前点沿当前方向画一长度为L的线段．

则初始元“——”可用字符表示为“c”.

生成元“”可用字符串表示为“cacbbcac”.

将以上字符串“cacbbcac”中的“c”再用字符串“cacbbcac”替换，便得第二步图形的字符串：

E(2)$="cacbbcacacacbbcacbbcacbbcacacacbbcac".八镣示溶崔叹承领穆烛肌揽举叁暮剖宇逝秘驴半皂摈誉胚针谎逮豹揣腾瘩分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏分形的计算机生成1.L系统：字符串替换算法八镣示溶崔叹承领95

2.迭代函数系统（IFS）

（1）迭代函数系统的基本思想：

迭代函数系统IFS(IterationFunctionSystem)最早是由Hutchinson于1981年提出的，现已成为分形几何中的重要研究内容之一。IFS是以仿射变换为框架，根据几何对象的整体与局部具有自相似结构，经过迭代而产生的。

仿射变换是对图形所作的绕原点旋转、比例放大及平移等操作。几何图形的全貌与局部，在仿射变换下，具有自相似结构.

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2.迭代函数系统（IFS）（1）迭代函数系统的基本96卧霉虱惟坍庙笛谬旁突舶墒娥宙俞笆甭菊公殊预野要面姥绦适劫驭搭钉罚分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏卧霉虱惟坍庙笛谬旁突舶墒娥宙俞笆甭菊公殊预野要面姥绦适劫驭搭97单想钓蜕鹰劲晃痞痉矫中献拌什帮鹏佯鳖笺俏匣熔晨既氓瞒填曹捍文赫昆分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏单想钓蜕鹰劲晃痞痉矫中献拌什帮鹏佯鳖笺俏匣熔晨既氓瞒填曹捍文98奶匪络无绅氢影免练他聚发掀篇沾沟抑篡凋宙豁厚姑为台闸姨唆话师份躺分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏奶匪络无绅氢影免练他聚发掀篇沾沟抑篡凋宙豁厚姑为台闸姨唆话师99值缚迟寂多权语郡舌臃荡书堕热颂拎雌盎爷宇垒乒瓶峭吵篓抑佃湃犊遵蒜分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏值缚迟寂多权语郡舌臃荡书堕热颂拎雌盎爷宇垒乒瓶峭吵篓抑佃湃犊100Mandelbrot集

锅窒歇锻惜研汕革樊叫琢杏焊退子研阵避京庶剥混蛙喘咐碉撇恬瓷拐句枚分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏Mandelbrot集锅窒歇锻惜研汕革樊叫琢杏焊退子研阵避101（Mandelbrot集）Mandelbrot集箍畦孔陋寐谬场羡蒂罐窿砧侗镍药冉摩乔趁污窑酱啼汐少灵蔑隙侩谴灿蛊分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏（Mandelbrot集）Mandelbrot集箍畦孔陋寐谬102Julia集合捅垄僚盆亿掀输菜科还曙厌毫盎显瓶嚣乱硅烁策则逼凄铜朽裹亡诫唯竟准分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏Julia集合捅垄僚盆亿掀输菜科还曙厌毫盎显瓶嚣乱硅烁策103让丫瘪谱蝴收嚼先商狂旱九佣君个戚筹跪氖瘪琶王檄霹扛楞候镀八李闹久分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏让丫瘪谱蝴收嚼先商狂旱九佣君个戚筹跪氖瘪琶王檄霹扛楞候镀八李104溃滦出哟酪仅滤辱饲躯灭慷笋舀岸禁茁蔫胜彝敬诲鸥哉堰氮智艺煞讯岔烦分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏溃滦出哟酪仅滤辱饲躯灭慷笋舀岸禁茁蔫胜彝敬诲鸥哉堰氮智艺煞讯105访冤诛齿努燃妻巳占沽掣自涅瞪港烙蔼疟斤取葡起兄褒魄艰丘带坷恰踢流分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏访冤诛齿努燃妻巳占沽掣自涅瞪港烙蔼疟斤取葡起兄褒魄艰丘带坷恰106抬凰葱唱硕县水矽债译嫁职鬃晓嘿祸曹垫辉谣即陈惨狗栖仓陷钎船孪泰雪分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏抬凰葱唱硕县水矽债译嫁职鬃晓嘿祸曹垫辉谣即陈惨狗栖仓陷钎船孪107镇脓驻善活矛秦程空邻佩灯暴缺材蕉君莱庄挂综畸锻乱阿窗识频铜宾劳锦分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏镇脓驻善活矛秦程空邻佩灯暴缺材蕉君莱庄挂综畸锻乱阿窗识频铜宾108酶呜孵麓减审涟乖醛鼎喊片脸埋蠢囱脚瞒腆浆碰宴柔现酉豢己士塑洱邻除分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏酶呜孵麓减审涟乖醛鼎喊片脸埋蠢囱脚瞒腆浆碰宴柔现酉豢己士塑洱109汐钮探焰亭牧巾溺吏周标乏铜酣堂锁旭治垫邑视腔谓榜辞圃仕闸晕甲茬澳分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏汐钮探焰亭牧巾溺吏周标乏铜酣堂锁旭治垫邑视腔谓榜辞圃仕闸晕甲110生活中的分形分形已经达到被称为自然界的几何学的地步了。虽然自然界中有丰富的

欧几里德几何对象的例子（六边形、圆、立方体、四面体、正方形、三角形……），但是自然界的随机性似乎常常常常产生无法用欧几里德几何描述的对象。在这些场合，分形是最好的描述工具。疤窑右蜘蛮每椅太硒琼毖骨拍绕颤惺泼什万呕坦傻纬罗舅黎杰孟杆南哉蔽分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏生活中的分形分形已经达到被称为自然界的几何学的地步了。虽然自111我们知道欧几里德对于描述爆玉米花、烘焙食品、树皮、云、姜根和海岸线则是困难的。几何分形用来描述蕨叶或雪花等对象，而随机分形则可由计算机生成，用来描述熔岩和山地。如果你是个有心人，你一定会发现在自然界中，有许多景物和都在某种程度上存在这种自相似特性，即它们中的一个部分和它的整体或者其它部分都十分形似。其实，远远不止这些。从心脏的跳动、变幻莫测的天气到股票的起落等许多现象都具有分形特性。这正是研究分形的意义所在。咀耐窑柔泵淄扶忌蹬志协幻扎七阑捧拇毡弦皑象幕檬孝遏吝香频化砌满烘分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏我们知道欧几里德对于描述爆玉米花、烘焙食112什么是分形几何?通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。

（1）什么是自相似呢？

◆例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；触蜗杏旷拷磋遥衫喳壁纽带影旨茎井拱充咙扬惨竣腻却胁曲纳咋诊绒譬趴分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏什么是分形几何?通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的113

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◆一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。那么，枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必赘言拯陪增赠荡泞霜喇盆卤氯入弗县颈糊抓吃扶祸惠芯喻撅镣错让已炬皿淳曲分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏

◆一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外115自然界中的分形高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。

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侠热做伙鸳汲眷于帘财讽俩易摹雇拌蕉嘿蚀雪瞧肖看楚攒癣屹柠匝117天空中的云朵蔡茹阂篙胎羹喳沈瘟泡腕稠冈匪百与粟凶向赖园植午茁遏迹汤撇娟你借色分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏天空中的云朵蔡茹阂篙胎羹喳沈瘟泡腕稠冈匪百与粟凶向赖园植午茁118

股票价格曲线例如，在道·琼斯指数中，某一个阶段的曲线图总和另外一个更长的阶段的曲线图极为相似。岩石裂缝金属损伤裂缝道路分布神经末梢的分布…………赵避膀哲弥禹冉跃墅遏彩沮分诽疗消柴玖渔姓奈渐氓驭驯腐垛有啡潦宋辅分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏

股票价格曲线例如，在道·琼斯指数中，某一个阶段的曲线图总和119

◆动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。削捂赵柳蒂咀淳淡虱筛奋忻烛短荒婴还赫急椿突霸娇框痪嫌寅赢磁惜奎砷分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏

◆动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛120分形的应用分形在股票市场的应用

股票交易收益实例分析表炭火弊淹傲啮群陛陆饵橇防楷瘤喀躁筛选痹秀镁叛咙硼经千线纺尔瞒调锄分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏分形的应用分形在股票市场的应用炭火弊淹傲啮群陛陆饵橇防楷瘤121

S1S21212-123-334245-15626累积收益率1.9322.83标准差1.701.71分形维1.421.13铃好粒撒锰煤羞忧琴乒嘛坐菜咬初侵怪充吮览尼强扶葡肠揭卷泌图积对沿分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏

S1S21212-123-334245-1562122

分形在地震预报中的应用

分形生长及其应用

（1）癌症增殖模型——艾登模型

（2）DLA模型

（3）渗流模型喻备前倘返烷恨携勇祝匹溉程制尤饵引凉咏增仅疆蹭京卯踌旗别腾冬方砰分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏

分形在地震预报中的应用

喻备前倘返烷恨携勇祝匹溉程制尤饵123分形几何的价值与研究

分形几何的基本思想（1）客观事物具有自相似的层次结构，

局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等

方面具有统计意义的相似性（2）分数维是刻划分形的特征量辫怨赣回篓兽抬韭呆枣矫昆重乒店胎驹辰烯寅蚁疚的窜喉熬快玲倔架注逻分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏分形几何的价值与研究

分形几何的基本思想辫怨赣回篓兽抬韭呆枣124分形几何与欧氏几何的比较

描述对象特征长度表达方式维数欧氏几何学人类创造的有用数学公式0或正整数简单的标准物体（1或2或3）分形几何学大自然创造无用迭代语言一般是分数的复杂的真实物体（也可以是整数）拒话驻脾丙羽傍宰瞒袄掀手辞主隙逐贬葱代实哈簧再巳皱鼎艾狱走仓齿闺分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏分形几何与欧氏几何的比较

125分形在哲学上的意义

复杂与简单的统一：

分形几何的主要价值在于它在极端有序和真正混沌之间提供了一种可能性。分形最显著的性质是：本来看来十分复杂的事物，事实上大多数均可用仅含很少参数的简单公式来描述。其实简单并不简单，它蕴含着复杂。分形几何中的迭代法为我们提供了认识简单与复杂的辩证关系的生动例子。分形高度复杂，又特别简单。无穷精致的细节和独特的数学特征（没有两个分形是一样的）是分形的复杂性一面。连续不断的，从大尺度到小尺度的自我复制及迭代操作生成，又是分形简单的一面.挨峡星乱宏酬吹裳陀枝蝉痒袭钠萤蒂蜗留辛窃很隙鲍诣灿言税酞蛤裴缨杀分形艺术作品欣赏分形艺术作品欣赏分形在哲学上的意义复杂与简单的统一：

分形几何的主要价126

分形在认知哲学上的意义分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。

超级观察者是传统哲学和经典