陕西省重点大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题（含答案）

-2023学年陕西重点大学附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）已知集合A＝{x|y＝，x∈Z}，B＝{y|y＝x2﹣1}，则A∩B＝（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，2] C．{﹣2，﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}2．（4分）已知复数z1＝a+i（a∈R），z2＝1﹣2i，且为纯虚数，则|z1|＝（）A． B．2 C． D．3．（4分）已知两个非零向量＝（1，x），＝（x2，4x），则“|x|＝2”是“∥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（4分）若，且，则＝（）A． B．﹣1 C．1 D．25．（4分）已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（）A． B． C． D．6．（4分）设实数x，y满足约束条件则目标函数z＝8x+6y的取值范围是（）A．[4，24] B．[4，30] C．（﹣16，24） D．（﹣16，24]7．（4分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角△ABC的斜边BC，直角边AB，AC．若AB＝4，AC＝3，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（π≈3）（）A． B． C． D．8．（4分）已知函数，当|f（x1）﹣f（x2）|＝2时，|x1﹣x2|的最小值为．若将函数f（x）的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后再将得到的图像向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图像，则不等式的解集为（）A． B． C． D．9．（4分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上的点到焦点的距离的最小值为2，过点（0，1）的直线l与抛物线只有一个公共点，则焦点到直线l的距离为（）A．1或或2 B．1或2或 C．2或 D．2或10．（4分）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，四面体ABCD的体积为，BD经过该鞠的中心，且AB＝BC＝1，AB⊥BC，则该鞠的表面积为（）A．2π B．16π C．8π D．4π11．（4分）已知定义在R上的函数y＝f（x）是偶函数，当x≥0时，，若关于x的方程[f（x）]2+2af（x）+b＝0（a，b∈R）有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．12．（4分）已知数列{an}满足a1+2a2+…+2n﹣1an＝n•2n，记数列{an﹣tn}的前n项和为Sn，若Sn≤S10对任意的n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）若数列{an}满足an＝，则a1+a2+…+a100＝．14．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c．若A＝，b＝4，△ABC的面积为3，则sinB＝．15．（4分）已知函数f（x）对于任意实数x都有f（﹣x）＝f（x），且当x≥0时，f（x）＝ex﹣sinx，若实数a满足f（log2a）＜f（1），则a的取值范围是．16．（4分）已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，点M是双曲线C在第一象限上一点，设I，G分别为△MF1F2的内心和重心，若IG与y轴平行，则＝．三．解答题（本大题共5小题，共计56分.解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1，a3，a2+10成等差数列，S3﹣a2＝10．（Ⅰ）求an与Sn；（Ⅱ）设bn＝log2（Sn+2）•an，数列{bn}的前n项和记为Tn，求Tn．18．（10分）牛排主要分为菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，T骨牛排，某牛肉采购商从采购的一批牛排中随机抽取100盒，利用牛排的分类标准得到的数据如表：牛排种类菲力牛排肉眼牛排西冷牛排T骨牛排数量/盒20302030（1）用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，再从抽取的10盒牛排中随机抽取4盒，求恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率；（2）若将频率视为概率，用样本估计总体，从这批牛排中随机抽取3盒，若X表示抽到的菲力牛排的数量，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在平面五边形ABCDE中△ADE是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AD⊥DC，BC＝1，CD＝．将△ADE沿AD折起，使得点E到达点M的位置，且使BM＝．（1）求证：平面MAD⊥平面ABCD；（2）设点P为棱CM上靠近点C的三等分点，求平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，左顶点为A，点是椭圆C上一点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过椭圆C的右焦点F2且与椭圆交于P，Q两点，直线AP，AQ与直线x＝4分别交于点M，N．①求证：M，N两点的纵坐标之积为定值；②求△AMN面积的最小值．21．（12分）已知函数f（x）＝xex﹣ax+2．（1）当时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）对任意实数x∈（0，+∞），都有f（x）≥lnx﹣（a﹣1）x+3+a恒成立，求实数a的取值范围．答案解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）已知集合A＝{x|y＝，x∈Z}，B＝{y|y＝x2﹣1}，则A∩B＝（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，2] C．{﹣2，﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}【答案】D【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|4﹣x2≥0，x∈Z}＝{x|﹣2≤x≤2，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{y|y≥﹣1}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．2．（4分）已知复数z1＝a+i（a∈R），z2＝1﹣2i，且为纯虚数，则|z1|＝（）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】根据已知条件，结合共轭复数和纯虚数的定义，求出a，再结合复数模公式，即可求解．【解答】解：z2＝1﹣2i，则，z1＝a+i，则＝（a+i）（1+2i）＝a﹣2+（2a+1）i为纯虚数，故，解得a＝2，．故选：C．3．（4分）已知两个非零向量＝（1，x），＝（x2，4x），则“|x|＝2”是“∥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解．【解答】解：非零向量a＝（1，x），b＝（x2，4x），∥⇔x2＝4⇔|x|＝2．故选：C．4．（4分）若，且，则＝（）A． B．﹣1 C．1 D．2【答案】D【分析】利用诱导公式可得，即，再根据商数关系化弦为切，求出tanα，再根据两角差的正切公式即可得解．【解答】解：因为，所以tanα＜﹣1，由，得，即，所以，即tan2α+4tanα+3＝0，解得tanα＝﹣3或tanα＝﹣1（舍），所以．故选：D．5．（4分）已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函数图象的对称性及特殊点逐一判断即可得解．【解答】解：由函数图象关于y轴对称可得函数y＝f（x）为偶函数，又选项C对应的函数为奇函数，则排除选项C；又f（0）＝0，显然选项B不满足题意，即排除选项B；又f（π）＝0，显然选项A不满足题意，即排除选项A；即函数f（x）的解析式可能为D．故选：D．6．（4分）设实数x，y满足约束条件则目标函数z＝8x+6y的取值范围是（）A．[4，24] B．[4，30] C．（﹣16，24） D．（﹣16，24]【答案】D【分析】可作出可行域，由z＝8x+6y得出，从而直线在y轴上的截距最大时，z取最大，截距最小时，z取最小，从而得出z的范围．【解答】解：作出可行域，如图△ABC内部（含线段BC不包含顶点的部分），作直线l：8x+6y＝0，由z＝8x+6y得，，是直线的纵截距，因此直线向上平移时，z增大，直线l与BC平行，所以平移直线l，当它与直线BC重合时，z＝8x+6y取得最大值，此时，z＝24，若直线过点A，z＝﹣2×8+6×0＝﹣16，所以目标函数的值域为（﹣16，24]．故选：D．7．（4分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角△ABC的斜边BC，直角边AB，AC．若AB＝4，AC＝3，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（π≈3）（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件，结合圆的面积公式，依次算出总面积，以及阴影面积，再结合几何概型的概率公式，即可求解．【解答】解：AB＝4，AC＝3，△ABC为直角三角形，则BC2＝AC2+AB2＝25，以AB为直径的圆的面积为，以BC为直径的圆的面积为，以AC为直径的圆的面积为，所以图形总面积S＝＝，阴影部分面积为，故此点取自阴影部分的概率为：．故选：D．8．（4分）已知函数，当|f（x1）﹣f（x2）|＝2时，|x1﹣x2|的最小值为．若将函数f（x）的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后再将得到的图像向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图像，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，由条件可得ω＝2，再由图像变化可得g（x）解析式，即可得到结果．【解答】解：因为，f（x）min＝﹣1，f（x）max＝1，当|f（x1）﹣f（x2）|＝2时，则f（x1），f（x2）一个为最大值，一个为最小值，且|x1﹣x2|的最小值为，即，所以，即，将函数f（x）的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，则，然后再将得到的图像向右平移个单位长度，则g（x）＝sinx，所以，即，解得，即解集为．故选：D．9．（4分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上的点到焦点的距离的最小值为2，过点（0，1）的直线l与抛物线只有一个公共点，则焦点到直线l的距离为（）A．1或或2 B．1或2或 C．2或 D．2或【答案】B【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，求出p，再分类讨论求出切线方程，即可得出结论．【解答】解：因为抛物线y2＝2px（p＞0）上的点到焦点的距离的最小值为2，所以＝2，所以y2＝8x．①设直线l的斜率等于k，则当k＝0时，直线l的方程为y＝1，满足直线与抛物线y2＝8x仅有一个公共点，焦点到直线l的距离为1当k≠0时，直线l是抛物线的切线，设直线l的方程为y＝kx+1，代入抛物线的方程可得：k2x2+（2k﹣8）x+1＝0，根据判别式等于0，求得k＝2，故切线方程为y＝2x+1．焦点到直线l的距离为②当斜率不存在时，直线方程为x＝0，经过检验可得此时直线也与抛物线y2＝8x相切．焦点到直线l的距离为2，故选：B．10．（4分）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，四面体ABCD的体积为，BD经过该鞠的中心，且AB＝BC＝1，AB⊥BC，则该鞠的表面积为（）A．2π B．16π C．8π D．4π【答案】D【分析】取AC中点M，连接BM、OM，DN，易得AC为圆面ABC的直径，OM⊥平面ABC，进而得到DN⊥平面ABC，然后根据四面体ABCD的体积为，可求外接球半径并求表面积．【解答】解：如图，取AC的中点M，连接BM与球O交于另一点N，连接OM，DN，易知AC为圆面ABC的直径，OM⊥平面ABC，因为O，M分别为BD，BN的中点，所以OM∥DN，所以DN⊥平面ABC，∵，∴，即，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，∴，∴BO＝R＝1，∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π．故选：D．11．（4分）已知定义在R上的函数y＝f（x）是偶函数，当x≥0时，，若关于x的方程[f（x）]2+2af（x）+b＝0（a，b∈R）有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】确定函数f（x）的大致图象，令f（x）＝t，则关于x的方程[f（x）]2+2af（x）+b＝0（a，b∈R）即可写成t2+2at+b＝0，结合图象分析二次方程的根的取值范围使其满足方程有6个不同的根，即可得实数a的取值范围．【解答】解：由题意可知，函数f（x）的图象如图所示：根据函数图像，函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（0，1）上单调递增，在（﹣1，0），（1，+∞）上单调递减；故x＝±1时取最大值2，在x＝0时取最小值0，是该图像的渐近线．令f（x）＝t，则关于x的方程[f（x）]2+2af（x）+b＝0（a，b∈R）即可写成t2+2at+b＝0，此时关于t的方程应该有两个不相等的实数根，设t1，t2为方程的两个实数根，显然，有以下两种情况符合题意：①当时，此时，则；②当t1＝2，时，此时，则；综上可知，实数a的取值范围是．故选：C．12．（4分）已知数列{an}满足a1+2a2+…+2n﹣1an＝n•2n，记数列{an﹣tn}的前n项和为Sn，若Sn≤S10对任意的n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用退一作差法求得an，求得Sn的表达式，结合二次函数的性质求得t的取值范围．【解答】解：由①，当n＝1时，a1＝2，当n≥2时，②，①﹣②可得an＝n+1（n≥2），又a1也符合上式，∴an＝n+1，令bn＝an﹣tn＝n+1﹣tn＝（1﹣t）n+1，∴bn+1﹣bn＝（1﹣t）（n+1）+1﹣[（1﹣t）n+1]＝1﹣t为常数，∴数列{bn}是等差数列，首项b1＝2﹣t，∴，其对称轴为，∵Sn≤S10对任意的n∈N*恒成立，∴，解得，∴t的取值范围是．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）若数列{an}满足an＝，则a1+a2+…+a100＝5000．【答案】5000．【分析】讨论n为奇数和偶数，运用数列的分组求和，以及等差数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：数列{an}满足an＝，则a1+a2+…+a99+a100＝（0+2+4+…+98）+（2+4+6+…+100）＝×50×（0+98）+×50×（2+100）＝50×49+50×51＝5000．故答案为：5000．14．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c．若A＝，b＝4，△ABC的面积为3，则sinB＝．【答案】．【分析】由题意利用三角形的面积公式可求c的值，利用余弦定理可求a的值，进而根据正弦定理可求sinB的值．【解答】解：因为S＝bcsinA＝c＝3，所以c＝3，所以由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝13，解得a＝，又由正弦定理可得：，所以sinB＝＝＝．故答案为：．15．（4分）已知函数f（x）对于任意实数x都有f（﹣x）＝f（x），且当x≥0时，f（x）＝ex﹣sinx，若实数a满足f（log2a）＜f（1），则a的取值范围是（，2）．【答案】见试题解答内容【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：∵任意实数x都有f（﹣x）＝f（x），∴f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）＝ex﹣sinx，即f′（x）＝ex﹣cosx＞0，即f（x）为增函数，则f（log2a）＜f（1），等价为f（|log2a|）＜f（1），即|log2a|＜1，即﹣1＜log2a＜1，得＜a＜2，即实数a的取值范围是（，2），故答案为：（，2）16．（4分）已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，点M是双曲线C在第一象限上一点，设I，G分别为△MF1F2的内心和重心，若IG与y轴平行，则＝68．【答案】68．【分析】由题意，结合图形，根据内切圆的性质和双曲线的定义可得，进而求得，则xI＝xG，由重心的定义有，求出x0，求得，利用平面向量数量积的坐标表示计算即可求解．【解答】解：由题意知，如图，⊙I为△MF1F2的内切圆，切点分别为A、B、C，设M（x0，y0），则|F1C|＝|F1A|，|MC|＝|MB|，|F2A|＝|F2B|，由双曲线的定义知，|MF1|﹣|MF2|＝2a，即，又|F1A|+|F2A|＝2c＝6，所以，得，即，又△MF1F2的重心G与内心I的连线平行于y轴，即IG⊥x轴于点A，所以xI＝xG，因为，所以，代入双曲线方程，得，解得，即，又F1（﹣3，0），F2（3，0），所以，所以．故答案为：68．三．解答题（本大题共5小题，共计56分.解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1，a3，a2+10成等差数列，S3﹣a2＝10．（Ⅰ）求an与Sn；（Ⅱ）设bn＝log2（Sn+2）•an，数列{bn}的前n项和记为Tn，求Tn．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的通项公式、前n项和公式和等差中项列出方程组，求出a1，q的值，即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出bn，再利用错位相减法即可求解．【解答】【名师指导】本题考查等比数列的通项公式、错位相减法求数列的和，考查运算求解能力及推理论证能力，考查数学运算、逻辑推理核心素养．解：（Ⅰ）设正项等比数列{an}的公比为q（q＞0），由，解得a1＝q＝2，所以，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，①，②①﹣②得＝＝﹣n⋅2n+1，所以．18．（10分）牛排主要分为菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，T骨牛排，某牛肉采购商从采购的一批牛排中随机抽取100盒，利用牛排的分类标准得到的数据如表：牛排种类菲力牛排肉眼牛排西冷牛排T骨牛排数量/盒20302030（1）用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，再从抽取的10盒牛排中随机抽取4盒，求恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率；（2）若将频率视为概率，用样本估计总体，从这批牛排中随机抽取3盒，若X表示抽到的菲力牛排的数量，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为．【分析】（1）先根据分层抽样分别求出T骨牛排和非T骨牛排的和数，再利用古典概型求解即可；（2）先求出从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的概率，由题意可得X服从二项分布，再根据二项分布的分布列及期望公式求解即可．【解答】解：（1）用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，其中T骨牛排有3盒，非T骨牛排有7盒，再从中随机抽取4盒，设恰好有2盒牛排是T骨牛排为事件A，则；（2）这100盒牛排中菲力牛排有20盒，所以菲力牛排的频率为，设从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的事件为B，将频率视为概率，用样本估计总体可得，从这批牛排中随机抽取3盒，抽到的菲力牛排的数量X满足，又，．所以X的分布列为：X0123P所以．19．（12分）如图，在平面五边形ABCDE中△ADE是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AD⊥DC，BC＝1，CD＝．将△ADE沿AD折起，使得点E到达点M的位置，且使BM＝．（1）求证：平面MAD⊥平面ABCD；（2）设点P为棱CM上靠近点C的三等分点，求平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）正弦值为．【分析】（1）取AD的中点N，连接MN，BN．通过证明BN⊥AD，BN⊥MN，得BN⊥平面MAD．再根据面面垂直的判定可得平面MAD⊥平面ABCD；（2）以N为坐标原点，直线NA为x轴、NB为y轴、NM为z轴建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用法向量求出二面角的余弦值，再根据同角公式求出其正弦值．【解答】解：（1）如图，取AD的中点N，连接MN，BN．∵△MAD是等边三角形，所以MN⊥AD，且，在直角梯形ABCD中，因为DN＝BC＝1，DN∥BC，AD⊥DC，∴四边形BCDN是矩形，所以BN⊥AD，且，∴BN2+MN2＝6＝BM2，即BN⊥MN，又∵AD∩MN＝N，AD⊂平面MAD．MN⊂平面MAD，∴BN⊥平面MAD．∵BN⊂平面ABCD，∴平面MAD⊥平面ABCD．（2）由（1）知NA，NB，NM两两互相垂直，以N为坐标原点，直线NA为x轴、NB为y轴、NM为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意，，由P是棱CM的靠近点C的三等分点得，，∵平面MAD的一个法向量为，设平面PBD的一个法向量为，则，即，令y＝1，则，故平面BDP的一个法向量为，设平面MAD与平面PBD所成的二面角的平面角为θ，则，∴，∴平面MAD与平面PBD所成的二面角的正弦值为．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，左顶点为A，点是椭圆C上一点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过椭圆C的右焦点F2且与椭圆交于P，Q两点，直线AP，AQ与直线x＝4分别交于点M，N．①求证：M，N两点的纵坐标之积为定值；②求△AMN面积的最小值．【答案】（1）+＝1．（2）①证明见解答．②△AMN面积的最小值为18．【分析】（1）由点是椭圆C上一点，焦距为2，列方程组，解得a，b，进而得出答案．（2）①设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为x＝my+1，联立椭圆的方程，解得韦达定理可得y1+y2，y1y2，写出直线AP的方程，令x＝4，解得yM＝，