高二数学选修4-4平面直角坐标系中的伸缩变换与极坐标系(上课用-公开课课件)

（1）平面直角坐标系的伸缩变换

（二）极坐标系1（1）平面直角坐标系的伸缩变换

（二）极坐标系1xO2y=sinxy=sin2x思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?2xO2y=sinxy=sin2x思考：（1）怎样由正弦曲x’=xy’=y1通常把叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。1坐标对应关系为：3x’=x1通常把叫做平面直角坐标系中（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)x’=xy’=3y2通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。24（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)x’=xy’=3y通常把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。5（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称为平面直角坐标系中的伸缩变换。6定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用注（1）（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在同一直角坐标系下进行伸缩变换。7注（1）788991010由上所述可以发现，在伸缩变换下，直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆。思考：在伸缩变换下，椭圆是否可以变成圆？抛物线、双曲线变成什么曲线？11由上所述可以发现，在伸缩变换下，直线仍然变成直线，而圆可以变课堂练习（2分钟）课本P8第4、6题12课堂练习（2分钟）12四食堂在什么位置？13四食堂在什么位置？13以超市所在直线为X轴以牛奶棚所在直线为Y轴...脑子进水了？14以超市所在直线为X轴脑子14从这向北走100米。我知道了。15从这向北走100米。我知道了。15从这向北走100米！出发点方向距离在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。16从这向北走100米！出发点方向距离在生活中人们经常用极坐标系与极坐标极径极点极轴点O极点射线Ox极轴极径角极角极角有序实数对极坐标逆时针为正角顺时针为负角极角是以射线Ox为始边,射线OM为终边的角,用弧度制表示17极坐标系与极坐标极径极点极轴点O极点射线Ox极轴极径角极角极例题解析例1.在极坐标系中表示下列坐标对应的点.由极坐标描点的步骤：

(1)先按极角找到点所在射线；

(2)在此射线上按极径描点.18例题解析例1.在极坐标系中表示下列坐标对应的点.由极坐标描点例题解析例2.试写出下列点所对应的极坐标.一点的极坐标唯一吗？表示同一点19例题解析例2.试写出下列点所对应的极坐标.一点的极坐标唯一吗与直角坐标系的联系与区别极坐标系与直角坐标系的异同是什么？都是用有序实数对来表示平面上的点.其中的有序实数对意义不同.直角系的坐标与平面上点是一一对应的;极坐标系的坐标与平面上点多对一的;有没有办法使极坐标与点之间一一对应？除极点(0,)外，限制20与直角坐标系的联系与区别极坐标系与直角坐标系的异同是什么？都探索已知一点,与它关于极轴所在直线对称的点如何表示？若M的坐标为,则M’的坐标可以是21探索已知一点,与它关于极轴所在直线对称的点如何表示？若M的探索已知一点,与它关于极点对称的点如何表示？若M的坐标为,则M’的坐标可以是22探索已知一点,与它关于极点对称的点如何表示？若M的坐标为极径的推广负的极径有意义吗？“负”的意义是什么？标准之下3摄氏度与-3摄氏度.方向相反与与若M的坐标为则M的坐标也可以是特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为≥

0。因为负极径只在极少数情况用。23极径的推广负的极径有意义吗？“负”的意义是什么？标准之下3摄极坐标系与极坐标极径点O极点射线Ox极轴角极角有序实数对极坐标逆时针为正角顺时针为负角终边上取M终边反向延长线上取M24极坐标系与极坐标极径点O极点射线Ox极轴角极角有序实数对极坐2525在直角坐标系中,以原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并且两种坐标系中取相同的长度单位26在直角坐标系中,以原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并x=ρcosθ,y=ρsinθ27x=ρcosθ,y=ρsinθ271.极点与直角坐标系的原点重合;2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;3.两种坐标系的单位长度相同.互化公式的三个前提条件：281.极点与直角坐标系的原点重合;互化公式的三个前提条件：2已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。29已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。293030作业：《优化方案》做到第9页31作业：《优化方案》做到第9页313232点的轨迹设M(x,y)是直角坐标系内一点,当M按某种规律在平面内运动时,所留下的运动轨迹,反映在图形上就是一条曲线.Oxy所谓某种规律：M(x,y)坐标之间所满足一定关系式.某个方程

若要用一个方程刻画坐标平面内的曲线C,则方程与曲 线之间应当满足怎样的关系？33点的轨迹设M(x,y)是直角坐标系内一点,当M按某种规律曲线与方程定义.在直角坐标系中,如果曲线C和二元方程 之间满足:曲线C上的点的坐标都是方程的解;方程的解为坐标的点都在曲线C上;则称：方程为曲线C的方程;曲线C是方程的曲线.34曲线与方程定义.在直角坐标系中,如果曲线C和二元方程极坐标方程定义.在极坐标系中,如果曲线C和二元方程 之间满足:曲线C上的点的极坐标都是方程的解;方程的解为极坐标的点都在曲线C上;则称：方程为曲线C的极坐标方程;曲线C是方程的曲线.这样推广合理吗？为什么？35极坐标方程定义.在极坐标系中,如果曲线C和二元方程问题探索极轴所在直线的极坐标方程是什么？曲线上的点的坐标都是方程的解;方程的解为坐标的点都在曲线上;极点符合方程不符合方程极坐标的不唯一性导致了上述情况.这个方程合理吗？36问题探索极轴所在直线的极坐标方程是什么？曲线上的点的坐标都极坐标方程定义.在极坐标系中,如果曲线C和二元方程 之间满足:曲线C上的点的所有极坐标中,至少有一个是方程的解;方程的解为极坐标的点都在曲线C上;则称：方程为曲线C的极坐标方程;曲线C是方程的曲线.37极坐标方程定义.在极坐标系中,如果曲线C和二元方程求曲线的极坐标方程步骤1、设点M(ρ,θ)是曲线上任意一点；2、根据几何条件建立关于ρ,θ的方程，并化简；3、检验并确认所得的方程即为所求。38求曲线的极坐标方程步骤1、设点M(ρ,θ)是曲线上任意一点；例题解析例2.求以

为圆心,半径为的圆的极坐标方程.解:如图所示:设点P坐标为即则39例题解析例2.求以为圆心,半径为例题解析例3.如图,求过,与极轴夹角为的直线方程.解:则,设点P坐标为,若点P位于极轴上方,在中,40例题解析例3.如图,求过例题解析例4.设质点M为射线OA上的动点,已知M沿方向作匀速

运动,同时射线OA又绕着它的端点O作等角速度旋转, 求质点M运动的轨迹方程.阿基米德螺线解:设点M的初始位置为,以O为极点,以射线OM0为极轴,设M的运动速度为v,设OA的角速度为,时间为t,则有41例题解析例4.设质点M为射线OA上的动点,已知M沿练习求下图中的圆的极坐标方程,半径都是aP42练习求下图中的圆的极坐标方程,半径都是aP42练习求下列直线的极坐标方程．(1)过极点与点(2)过点且与极轴垂直(3)过点且与极轴平行43练习求下列直线的极坐标方程．(1)过极点与点(2)过点设两点，则由余弦定理得：极坐标系下两点间的距离公式•••OxAB44设两点，则由余弦定理得：极Ex2.3.3两种坐标的互化45Ex2.3.3两种坐标的互化45引入已知点的极坐标，如何得到其直角坐标？例如：设其直角坐标为,46引入已知点的极坐标，如何得到其直角坐标？例如：设其直角坐标极坐标直角坐标则有：一般地,设点P是平面上任意一点,其极坐标为,如图建立直角坐标系,设直角坐标为,如何证明？47极坐标直角坐标则有：一般地,设点P是平面上任意一点,其时,P的直角坐标为：P在极点,显然成立;时,P的坐标可改写为时,则48时,P的直角坐标为：P在极点,显然成立;时,P的坐标可改写极坐标直角坐标则有：一般地,设点P是平面上任意一点,其极坐标为,如图建立直角坐标系,设直角坐标为,点的极坐标化直角坐标是唯一的。49极坐标直角坐标则有：一般地,设点P是平面上任意一点,其例题解析例1.将下列极坐标化为直角坐标：极坐标直角坐标直角坐标直角坐标直角坐标50例题解析例1.将下列极坐标化为直角坐标：极坐标直角坐标直角直角坐标极坐标则由：一般地,设点P是平面上任意一点,其直角坐标为,如图建立极坐标系,设极坐标为,点的直角坐标化极坐标，不是唯一的。51直角坐标极坐标则由：一般地,设点P是平面上任意一点,其例题解析例2.将下列点的直角坐标化为极坐标：直角坐标极坐标极坐标极坐标极坐标

由点所在象限确定极角的值52例题解析例2.将下列点的直角坐标化为极坐标：直角坐标极坐标极坐标方程定义.在极坐标系中,如果曲线C和二元方程 之间满足:曲线C上的点的所有极坐标中,至少有一个是方程的解;方程的解为极坐标的点都在曲线C上;则称：方程为曲线C的极坐标方程;曲线C是方程的曲线.53极坐标方程定义.在极坐标系中,如果曲线C和二元方程例题解析例3.化直角组表方程为极坐标方程.解:由,得或者表示极点，故所求极坐标方程为表示直线,过极点54例题解析例3.化直角组表方程为例题解析例4.化极坐标方程为直角坐标方程.解2时,由