第六章基于小波变换的故障诊断方法课件

第六章基于小波变换的故障诊断方法小波变换的基本原理奇异性的检测基于小波变换的原油管道泄漏检测愁尺缸睦舰力卖乳郑虎恩馋饭龄建眨逾披拌误杆桩鼎墓挪雅凸莎尾鸣蛾肮第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法小波变换的基本原理愁尺1一、小波变换的基本原理小波变换是由法国理论物理学家Grossmann与法国数学家Morlet共同提出的。小波分析是近20多年来发展起来的新兴学科，其基础是平移和伸缩下的不变性，这使得能将一个信号分解成对空间和尺度的独立贡献，同时又不丢失原有信号的信息。小波的由来城烽巨纬呵香征维伟樊涸卉材割侯淌铃叉渝泽淋道蛮癸聊俘锐坝翟厅柳丈第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2一、小波变换的基本原理小波变换是由法国理论物理学家Gross2小波变换是一种能够在时间－频率两域对信号进行分析的方法，具有可以对信号在不同范围、不同的时间区域内进行分析，对噪声不敏感，能够分析到信号的任意细节等优点，在信号处理领域获得越来越广泛的应用，被誉为“数学显微镜”。唬殴橱爹掳渣霄剃班种谷在害解对陇瓮徐虹沥资嘉莎抬华夯早婉带注剖霄第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2小波变换是一种能够在时间－频率两域对信号进行分析的方法，具有3小波分析和Fourier分析傅立叶变换是一个十分重要的工具，无论是在一般的科学研究中，还是在工程技术的应用中，它都发挥着基本工具的作用。从历史发展的角度来看，自从法国科学家J.Fourier在1807年为了得到热传导方程简便解法而首次提出著名的傅立叶分析技术以来，傅立叶变换首先在电气工程领域得到成功应用，之后，傅立叶变换迅速得到越来越广泛的应用，而且理论上也得到了深入研究。叔闸结扰老玉该雹状裔绘硷阵渴瞪篷汹备忍县母将吹姓凉报勋橱廓程急果第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2小波分析和Fourier分析傅立叶变换是一个十分重要的工具4傅立叶变换最重要的意义是它引进了频率的概念，他把一个函数展开成各种频率的谐波的线性叠加，由此引出了一系列频谱分析的理论。很多在时域中看不清的问题，在频域中却能一目了然。因此，长期以来，Fourier分析理论不论在数学中还是工程科学中一直占领着极其重要的地位。证壁疥烙阑顶砍啼愁罪捞颁墨研坷焕澳定烦高蚁试榨诺棵客访葡翱扯瞩订第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2傅立叶变换最重要的意义是它引进了频率的概念，他把一个函数展开5傅立叶分析的实质在于将一个任意的函数f(t)表示为具有不同频率的谐波函数的线性叠加。即一族标准函数的加权求和，从而将对原来函数的研究转化为对这个叠加的权系数的研究：其中，权函数：就是原来函数f(t)的傅里叶变换。权品赃搂聊肥栈集孜纪铰反撩蕾浑栋凸垢呈婶蹲云蔗蛊触捆窘汉月杏跪屋第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2傅立叶分析的实质在于将一个任意的函数f(t)表示为具有不同频6经过以上的变换，就将对的研究，转化为对权系数，即其傅氏变换的研究。从以上分析可知，经典的傅氏分析是一种纯频域分析。上式中，各符号的含义：表示频域函数；表示对原函数f(t)的傅里叶变换；表示对频域函数的傅里叶反变换。涪锑饱苍疑奸陵烘储酶揩猩坐炬泉删谢拂种茎醉拂淄熏敞赖疽邯讣甩汤蚤第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2经过以上的变换，就将对的研究，转化为对权系数，即其傅氏变换的7傅里叶变换是时域到频域互相转化的工具，从物理意义上讲，傅里叶变换的实质是把f(t)这个波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加和。从傅里叶变换中可以看出，这些标准基是由正弦波及其高次谐波组成的，因此它在频域内是局部化的。晓织橇卧适貉蒸廖刀稍巳栈癌提泳据涨怠培逆简气虹毒页酝嗣趁册敌扫柿第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2傅里叶变换是时域到频域互相转化的工具，从物理意义上讲，傅里叶8例：假设一信号的主要频率成分是100Hz和400Hz，如下图所示，通过傅里叶变换对其频率成分进行频域分析。上图为原始信号，从图中看不出100Hz和400Hz的任何频域信息。但从下图的信号频谱分析中，可以明显看出信号的频率特性。耻蒲紊仗迢诡摇焙云厌矿种借竹泞炊付眼掇粕核侮倒磨黍堑狐沾漱贰茅葬第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2例：假设一信号的主要频率成分是100Hz和400Hz，如下图9从上例中可知，虽然傅里叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域进行观察，但却不能把两者有机地结合起来。信号的时域波形中不包含任何频域信息；而其傅里叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息。也就是说，对于傅里叶谱中的某一频率，不知道这个频率是在什么时侯产生的。这样，在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。息溶镀澈遗龙幢璃辊粪刘侄惠直略织抹撰婶庸尉掘毗诚偏沃愿呼逼狙瞒薪第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2从上例中可知，虽然傅里叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联10在实际的信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征都很重要。如在故障诊断中，故障点（机械故障、控制系统故障、电力系统故障等）一般都对应于测试信号的突变点。对于这些时变信号进行分析，通常需要提取某一时间段（或瞬间）的频率信息或某一频率段所对应的时间信息。因此，需要寻求一种具有一定的时间和频率分辨率的基函数来分析时变信号。粱昆房谅傍垣莫嘶铺攘吓汉歇卜琶叙魔凉钎级似泣蒋均抬筑继摩隘供撼修第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2在实际的信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的处理中，信号在任11为了研究信号的局部特征，科学家们提出了一些对傅里叶变换进行改进的算法，其中短时傅里叶变换（ShortTimeFourierTransform－STFT）就是比较有代表性的一种。短时傅里叶变换是一种折衷的信号时、频信息分析方法，它是DennisGabor于1946年提出的。郸撬松绦杜势鸦辙铜盘宽钮颇股写姿泅鸭砌汉舅仰汐规钢粳事壕脑咏泛所第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2为了研究信号的局部特征，科学家们提出了一些对傅里叶变换进行改12短时傅里叶变换的基本思想是：通过给信号加一个小窗，将信号划分为许多小的时间间隔，用傅里叶变换来对每一个时间间隔内的信号进行分析，以便确定该时间间隔内的频率信息。它假定非平稳信号在分析窗函数g(t)的这个短时间间隔内是平稳的（伪平稳），并移动分析窗函数，使f(t)g(t-τ)在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。啦绪淋错夜躇踪禾迪阜荫卸室稀柄博昔觅痪回略古壕津簧躲菜吃矩忽药削第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2短时傅里叶变换的基本思想是：通过给信号加一个小窗，将信号划分13短时傅里叶变换定义如下：其中，f(t)是待分析的信号；函数是的复共轭函数；g(t)是固定的紧支集函数，称为窗口函数。随着时间τ的变化，g(t)所确定的“时间窗”在t轴上移动，使f(t)“逐渐”进行分析。贰珐缔讹粉谓壬至拂藤夏敖嚣光迸湍慰父捣蛙嚎乃岁狰洒跳静错罪怀劳享第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2短时傅里叶变换定义如下：其中，f(t)是待分析的信号；随着时14短时傅里叶变换大致反映了f(t)在时刻τ时，频率为ω的“信号成分”的相对含量。这样，信号在窗函数上的展开就可以表示为在这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，δ和ε分别称为窗口的时宽和频宽，表示了时－频分析中的分辨率，窗宽越小则分辨率越高。悠偶逛跟珐酵抑取熬抄熟爸概焊沼戈赔苹罐条惕秃艳智夯藩哭胆奎仇蔓稗第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2短时傅里叶变换大致反映了f(t)在时15为了得到更好的时频分析效果，希望δ和ε都非常小，但是由海森堡测不准定理（HeisenbergUncertaintyPrinciple）可知，δ和ε是互相制约的，两者不可能同时都任意小。（事实上，δ·ε≥0.5，且仅当g(t)为高斯函数时，等号成立。）诱毡拙温炔刘插驮榴总粳眶畔庸岂伶惟炕剃厉念贸阜斑挂蕾至肩钉刃列翔第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2为了得到更好的时频分析效果，希望δ和ε都非常小，但是由海森堡16由此可见，短时傅里叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅里叶变换不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在着自身不可克服的缺陷，即当窗函数g(t)确定后，矩形窗口的形状就确定了，τ和ω只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状。可以说，短时傅里叶变换是具有单一分辨率的分析，这对分析信号来说是很不利的。因为，一般来说高频信号持续的时间比较短，低频信号持续的时间比较长。为了更好地分析信号，信号的高频成分需要窄的时间窗，而信号的低频成分需要宽的时间窗。而单一分辨率无法满足这种要求。吴迭绞艳璃兑沙式碌挨溜吻陷瘁饿谩变裂偿届髓饿逢贷揪倍描槛真丰籍糜第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2由此可见，短时傅里叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅里叶变换17正是由于傅立叶分析理论存在上述缺陷，人们一直在寻找更好的基来展开和描绘任意函数，经过多年的探索和总结，逐渐发展成为小波分析理论。小波变换继承和发展了短时傅里叶变换的局部化思想，并且克服了其窗口大小和形状固定不变的缺点。它不但可以同时从时域和频域观测信号的局部特征，而且时间分辨率和频率分辨率都是可以变化的，是一种比较理想的信号处理方法。钻雹陛朋瓤宾刑翁琴储猪弟羞豺逮铁街偏靶锋研因睫嗽跑陕檄挡饲概七乌第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2正是由于傅立叶分析理论存在上述缺陷，人们一直在寻找更好的基来181984年，法国地球物理学家Morlet在分析地震波的局部性质时，发现传统的Fourier变换难以达到要求，因而引入小波概念用于对信号进行分解。小波变换理论发展过程中的重要阶段

1985年，Meyer构造了具有一定衰减性质的光滑函数ψ，它的二进制伸缩与平移构成了L2(R)的规范正交基，这一发展标志着小波热的开始。1986年，Lemarie和Battle分别提出了具有指数衰减的小波函数。

1987年，法国马赛召开第一次有关小波的国际会议。拢充傻尔沪鹿但益涪框伟砒畏族巷登母女樱卞外做荒垒今沾宪奔茂智概短第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法21984年，法国地球物理学家Morlet在分析地震波的局部191990年，崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的单正交小波函数。1988年，Mallat与Meyer合作提出了多分辨分析的框架。1988年，Daubechies构造了具有有限支集的正交小波基。在美国Pure＆Appl.Math.发表一篇长达87页的论文，被公认是小波分析的经典文献。1989年，Mallat在多分辨率分析基础上，构造了Mallat算法。为此，Mallat于1989年荣获IEEE论文奖。豫腕倾巡综胆吨誓蚜六御若阜社槽牧挠狈梢槽扮弓您调淖求侄泣琉柿博绰第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法21990年，崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的单正交小波函201990年，Meyer等出版第一部小波系统性专著《小波与算子》，共三卷。尤众、王耀东、邓东皋等译校成中文本（共两册）。这套书详细研究了各种小波基的构造，小波基与函数空间的关系，小波分析在复分析、算子论、偏微分方程与分线性分析等方面的应用。1991年，邓东皋等在《数学进展》上发表“小波分析”－国内第一篇小波论文。对国内小波的研究和应用起了很大的推动作用。1992年，Daubechies的《小波10讲》系统论述了正交小波的紧支性、正则性、对称性及时频特性，介绍了离散小波变换和连续小波变换等。到此，经典小波理论已基本成熟，1992年以后，在国际上，重点转向小波的推广和应用。钱明委溉拥洁蜀浮虐硷腋暮酪锹肄迷很讥怀傅篡交垒恭谋栋艳世傻牡岂贫第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法21990年，Meyer等出版第一部小波系统性专著《小波与算21在国内，由于对小波的研究起步较晚，20世纪90年代以来，可以说小波的理论研究和应用研究几乎同时开始。1994年，形成国内的小波高潮。近十年来，小波理论一直在各个不同研究领域扮演着重要的角色。主要集中在数学物理（如分形、混沌、求解方程等）、图像与数据压缩、信号处理、神经网络、故障诊断与检测、石油地质勘探等方面。碗坤疟屠知透苑诣谎厌每腾铸捆她筛铂跑沟爬令稿匀疗剧榨膀颓察舱梧甥第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2在国内，由于对小波的研究起步较晚，20世纪90年代以来，可以22定义1：称满足的函数f(x)为平方可积函数，并把这类函数的集合记为L2(R)。其中，R表示实数集合。若f(x)，g(x)∈L2(R)，α，β为常数，则αf(x)＋βg(x)

∈L2(R)。因此，L2(R)构成了一个线性空间。我们称其为平方可积函数空间。预备知识腆妇出母锅氰瓷转竞昆槐储铁死紊略似翔峙琢牵炳洱歪蒸始版捎尾钱副渺第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2定义1：称满足23定义2：在L2(R)空间中的内积<f，g>定义为：其中，表示g(x)的共扼。定义3：在L2(R)空间，函数f(x)的范数‖f(x)‖定义为：寺捍选梗杭疼历东赌眶慑炎逃壤谤料蒜湿耍灼弹途蹬幢口楔钮销裴镁况熬第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2定义2：在L2(R)空间中的内积<f，g>定义为：其中，24定义4：在L2(R)空间，若：内积<f，g>＝0，则称函数f与函数g正交。定义5：在L2(R)空间，两个函数f(x)与g(x)的卷积定义为：定义6：函数f(x)的傅里叶变换定义为：业斟沪镰奎挝紫晾郎制绰洲遭渠培钡等流屡涌丰嗽痪帧汞欲舟沸汉匈蒙倾第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2定义4：在L2(R)空间，若：内积<f，g>＝0，则称函数f25定义7：对任意函数f(x)，其扩张函数fs(x)定义为：其中，s为尺度因子（scalefactor），或简称为尺度。钟阶惭遥栖干嗜咀椭闻惜貉根什苹焰除擎茁斟获揽篱扬苑姻舜贼活粳厌潞第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2定义7：对任意函数f(x)，其扩张函数fs(x)定义为：其中26定义8：把希尔伯特空间（Hilbertspace）中的可测的、平方可积的两维函数构成的子空间记作：L2(R2)。函数f(x，y)∈L2(R2)的经典范数‖f(x，y)‖定义为：定义9：f(x，y)∈L2(R2)的傅里叶变换‖f(x，y)‖定义为：定义10：贤结熊让桑带戍此达豢柳掺蹭炉绊迂凯坯怜昂晌恨待估迢阿拉疡朗泉端绢第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2定义8：把希尔伯特空间（Hilbertspace）中的可测27定义11：设f(t)为在R上定义的函数，我们称集合为函数f(t)的支集（即f(t)≠0的点所构成的集合的闭包）。具有紧支集的函数就是在有限区间外恒等于零的函数。堆乓莱苞小塌是烯铆陋向饭监宁碰幢词秘菱招缨非留贰室趣追奔交稿耍丽第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2定义11：设f(t)为在R上定义的函数，我们称集合具有紧支集28小波与小波变换我们称满足条件定义12：的平方可积函数ψ(x)（即ψ(x)∈L2(R)）为基本小波，或小波母函数。友训猿申氟镐赎腥孟舰花夫来喊贸旭始镊昌程宇靴本仍蚂撼伺阮晋秀瘴肌第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2小波与小波变换我们称满足条件定义12：的平方可积函数ψ(x29函数f(x)∈L2(R)的连续小波变换定义为：定义13：其中，*表示卷积。因此，Wf(s，x)关于x的傅里叶变换可以表示为：德蹦忽鞠框低弓雪倾锑折痘酸仟杜牌娘脏悍辉凌项涵谴翠吹宪惭烽俗焦健第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2函数f(x)∈L2(R)的连续小波变换定义为：定义13：其30由定义13可知，小波变换Wf（s，x）是尺度s与空间位置x的函数。小波变换通过ψ(x)在尺度上的伸缩和空间域（时域）上的平移来分析信号。尺度s增大时，ψs在空间域（时域）上伸展，小波变换的空间域分辨率降低；ψs(ω)在频域上收缩，其中心频率降低，变换的频域分辨率升高。反之，尺度s减小时，ψs在空间域（时域）上收缩，小波变换的空间域分辨率升高；ψs(ω)在频域上伸展，其中心频率升高，变换的频域分辨率降低。连续小波变换的定义藉掌腐辛怜共欣霸疵咨壕若掀眯陪覆岭靡繁做娱宪框笋委蔓或廷处身丝绣第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2由定义13可知，小波变换Wf（s，x）是尺度s与空间位置x的31也即：当检测低频信号时（即对于大的s>0），时间窗会自动变宽，以便在低频域用低频对信号进行轮廓分析。反之，当检测高频信息时，（即对于小的s>0），时间窗会自动变窄，以便在频率域用较高的频率对信号进行细节分析。因而，小波分析具有“数学显微镜”的美誉。图小波变换的时－频窗口厦殆鄙抑促撬窜赐握侨灌挥讳梯秦蔼娠潜霞俯离典邓络尽谬喉华匙煽檀紫第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2也即：当检测低频信号时（即对于大的s>0），时间窗会自动变宽32例：图联合时频分析小波变换可以对信号做联合时-频域分析得到其特征。最下面的图是信号在时域的波形，右上图为该信号的频谱，左上的大图为联合时频分析一种算法的结果，前后两个400Hz的频率成分通过联合时频分析可以清楚地看到，而传统傅立叶变换则只能分辨出含有400Hz的信号，不能从时域上分辨出包括两个400Hz频率信号。店栖徘徒混援涛抗村刮避考支徐忆器审租老咯押钱既胡虑估役佳抗仕萨林第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2例：图联合时频分析小波变换可以对信号做联合时-频域分33通常使用的小波母函数有：Daubechies小波、Harr小波以及Morlet小波。Morlet小波函数由下式描述：榨危盐绝劲菩毗闽僳团垢哉餐拉票蛔支肆脆昂嫌呛级矛其处迫绵党帜捕砍第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2通常使用的小波母函数有：Daubechies小波、Harr小34小波变换具有多分辨即多尺度特点，可以由粗及精的观察信号。可以将小波变换看成基本频率特性为的带通滤波器在不同尺度a下对信号作滤波。小波变换带通滤波器的带宽与中心频率f成正比即，亦即滤波器有一个恒定的相对带宽，即品质因数恒定（称之为等Q结构，Q为滤波器的品质因数）。适当的选择基本小波，使在时域上为有限支撑，在频域上也比较集中，便可以使小波变换在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力，因此非常适合于检测信号的瞬态或奇异点。哈娘幂亿蒋砷备仔旭绞玫并仆井轩闽眩越匀嘛欺扳籽铆涵社叁常瘴唬汇掀第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2小波变换具有多分辨即多尺度特点，可以由粗及精的观察信号。可以35二、奇异性的检测通常用李普西兹指数(Lipschitz)来描述函数的局部奇异性。设n是一非负整数，，我们说f(x)在点x0为李普西兹α，如果存在两个常数A和h0>0，及n次多项式Pn(h)，使得对任意的，均有：如果上式对所有均成立，且，称f(x)在（a，b）上是一致李普西兹α。信号的奇异性表征与小波变换的模极大值挛逢硕脓孜惯待嗽泞所操撼凯粕蝶脐贩皇罐坍蛤参搔哗囱扮走责哈空湿裕第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2二、奇异性的检测通常用李普西兹指数(Lipschitz)来描36李普西兹指数越大，函数越光滑。函数在一点连续、可微，则在该点的李普西兹指数为1；在一点可导，而导数有界但不连续时，李普西兹指数仍为1。如果f(x)在x0李普西兹指数小于1，则称函数f(x)在x0点是奇异的。阶跃信号的李普西兹指数为0，脉冲函数的李普西兹指数为-1。仗皿烁剪荚滩盆评淹架疹贤忌付划毛眨虐迫框番潦租继沥统霞抄省坪暴劝第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2李普西兹指数越大，函数越光滑。函数在一点连续、可微，则在该37设实函数满足且，如果我们选择小波函数为它的一阶导数，即，同时记，这时，小波变换：即小波变换可表示为信号f(x)在尺度s被平滑后的一阶导数。操寡盖吻乘令柯秘电蟹阑睫智谜椰血暮颗秒梗壕纯夜途柠导荒完贺祈源批第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2设实函数满足且38图信号突变点与其小波变换模极大值的关系例：x0，x2是信号f(x)的突变点；x1是f(x)慢变区间的转折点。x0，x2是的快变化点；x1对应的慢变化点。这两种拐点可以通过观察的极值点是极大点还是极小点分辨出来。x0，x2对应的极大点；x1对应的极小点。闪极转蠢年知丁嗅时宾籽协馁歹股揣习诵周饺翼闲垒裙向舵盾蜘疟悄壮敞第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2图信号突变点与其小波变换模极大值的关系例：x0，x2是39函数的奇异点可以从其小波变换的模极大值检测出来。小波变换的模极大值都是出现在信号有突变的地方。信号突变越大，其小波变换的模极大值就越大。对于边沿检测或奇异点检测来说，我们只是对的极大点感兴趣。事实上，的局部极大值通常刻画了信号非正规性的Lipschitz指数。结论：术健技停掩脖谓腆醉疵荒赢汾祖柄赁蹄岩假窒惮釉庆降裸凯冲屑妆锈见尊第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2函数的奇异点可以从其小波变换的模极大值检测出来。对于边沿检测40奇异点检测的小波的选择下面以阶跃式边沿和函数式尖峰这两类突变为例，介绍小波变换的过零点和极值点来检测信号的局部突变的特性。图用，作小波对阶跃输入和脉冲输入的处理结果菲楼虏婆在汞昧婆昏剂平泣杂怒细繁怠颈交突怠肝妮修壬勒绍津盐跌噬绒第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2奇异点检测的小波的选择下面以阶跃式边沿和函数式41由以上分析可得，突变点的位置有时是由小波变换的过零点反映的，有时是由小波变换的极值点反映的。一般地说，根据过零点作检测不如根据极值点。因为过零点易受噪声干扰，而且有时过零点反映的不是突变点，而是信号在慢变区间的转折点。检测边沿宜采用如的反对称小波；检测尖峰脉冲宜采用如的对称小波。结论：力巴峙病挨吩敞鹿腕穆眼判市今淀蠕乐彼衫硕厩炮陵祥棒戈愿许判型渤页第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2由以上分析可得，突变点的位置有时是由小波变换的过零点反映的，42要使奇异检测有效，必须满足适当条件：，应是某一平滑函数的一、二阶导数；尺度a必须适当，以便使y(t)的突变点基本上能反映待分析信号x(t)的突变点；且只有在适当尺度下各突变点引起的小波变换才能避免交叠干扰。牢笛保善讣浊橱掺陶压瑞邪畏袁糯侗屏符珊妄红期耗唾流涡举亲庶坞葱摇第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2要使奇异检测有效，必须满足适当条件：，43三、基于小波变换的原油管道泄漏检测1、泄漏检测原理当流体输送管道因为机械、人为破坏、材料失效等原因发生泄漏时，由于管道内流体压力很高而管道外一般为大气压力，管内输送的流体在内外压差的作用下迅速流失，泄漏部位产生物质损失，这会引起发生泄漏场所的流体的密度减小，进而引起管道内此处流体的压力降低。

瞬态负压波法泄漏检测原理及定位公式

听盘化希任氢受癸旨骑捕霸洽扶誊分镀瓶摔亚冤俩央耙汁篱试迪座踊拄键第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2三、基于小波变换的原油管道泄漏检测1、泄漏检测原理当流体输44由于流体的连续性，管道中的流体速度不会立即发生改变，流体在泄漏点和与其相邻的两边的区域之间的压力产生差异，这种差异导致泄漏点上下游区域内的高压流体流向泄漏点处的低压区域，从而又引起与泄漏点相邻区域流体的密度减小和压力降低。这种现象从泄漏点处沿管道依次向上、下游方向扩散，在水力学上称为负压波(又称为减压波)。淀渝瞳故旭阻捍耘目粟赁喧乌秽涅予罩滤摸依示讼汝继裁魂压莆佐脂兄则第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2由于流体的连续性，管道中的流体速度不会立即发生改变，流体在泄45泄漏在管道中的总体反映就是从泄漏点处产生了同时向上、下游端传播的瞬态负压波，它的传播过程类似于声波在介质中的传播，它的传播速度是声波在管道输送流体中的传播速度，原油管道中负压力波的传播速度约在1000～1200米/秒之间。锥意退有吕宅挚烬碱券湿锗剥抡辩莫款拿在挖玛轿忌泥屈旋骤阁汲随翱骡第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2泄漏在管道中的总体反映就是从泄漏点处产生了同时向上、下游端传46在管道两端安装压力传感器能够捕捉到包含泄漏信息的瞬态负压波，就可以检测泄漏的发生，并根据泄漏产生的瞬态负压波传播到管道两端的时间差进行漏点定位。沿管道传播的瞬态负压波中包含有泄漏的信息，由于管道的波导作用，它能够传播数十公里以上的远端。该方法即为瞬态负压波法，它具有快速的反应速度和很高的定位精度，能够及时检测出泄漏，防止泄漏事故扩大，减少流体损失赢得宝贵的时间，是一种受到广泛重视的泄漏检测方法。酗彤悬斥楚梭问咀瞄枝沼弟容层政犬架氏堂役蝇狱怖打雪憾救位拴虐阅为第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2在管道两端安装压力传感器能够捕捉到包含泄漏信息的瞬态负压波，47瞬态负压波泄漏定位示意图吭飘务荧月俄砂坪挪绎湍萧移汹雁搜倦且嘻除府健郭梢藕涉镊峻吾耗埠怀第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2瞬态负压波泄漏定位示意图吭飘务荧月俄砂坪挪绎湍萧移汹雁搜倦且48其中：

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—泄漏点距上游站测压点的距离，单位：m；L—上下游站间距，单位：m；a—负压波的传播速度，单位：m/s；Δt—上游站压力突变时间与下游站压力突变时间差，单位：s。泄漏点的计算公式为：兽埋皮弥臭少查渗魏痴阐笆临惟隋赠噎举藐窒围邵昏政绷汝蜂粹散傈呵衣第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2其中：泄漏点的计算公式为：兽埋皮弥臭少查渗魏痴阐笆临惟隋赠噎492、瞬态负压波泄漏定位准确的关键由泄漏点的定位公式：可以看出，负压波传播到上、下游传感器的时间差的精确确定，和管内负压波速度的确定是瞬态负压波定位方法的两项关键所在。轴枉坤咙钾稀寄掂书甭喘委斑痔君孤芳授雹啤攒仑垣抗溢枷狙诡灾澡滁壤第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法22、瞬态负压波泄漏定位准确的关键由泄漏点的定位公式：可以看50在分析泄漏引发的负压波信号序列，确定负压波信号传到管道首、末端的时刻时，一个显然的要求是首、末端压力信号序列起始时刻应该一致，这就要求统一担任首、末端数据采集系统的工控机的系统时间，可以采用全球定位系统(GPS)来定时统一各站工控机的系统时钟。这个方案即满足了泄漏监测系统对统一时标的要求，实施也很方便，造价低廉，有很广泛的应用场所。旧校逃绍弗镣时辊会融叔纵憋颂错曾碍赶剂趴瘁豢查剁舰缕峻受连罪也呐第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2在分析泄漏引发的负压波信号序列，确定负压波信号传到管道首、末51GPS是英文GlobalPositioningSystem的缩写，意即全球定位系统。全球定位系统利用导航卫星进行测时和测距，使在地球上任何地方的用户，都能计算出他们所处的方位。GPS系统包括以下三大部分：(1)GPS卫星(空间部分)；(2)地面支撑系统(地面监控部分)；(3)GPS接收机(用户部分)。笛掠真区岛凝拎裙所椽窖疲仑膊距瞒鄂吩价匈劣邯免疯腻个踩壁稚陈似仆第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2GPS是英文GlobalPositioningSyste52在泄漏监测系统中使用到的是GPS的精确授时功能。GPS开始时只用于军事目的，后来由于GPS接收机技术的发展，超大规模芯片的应用，使接收机成本不断下降，现在也已广泛应用于航海、航空、科学研究、交通运输、石油勘探、地形测量以及商业、旅游业等一切行业，甚至要渗透到个人生活的各个方面。它可以准确测定用户的三维位置、三维速度，并给出精确的时间基准。由于GPS具有定位精度高、使用范围广、可全天候应用、用户设备简单等优点，GPS问世以来，已充分显示了其在导航、定位、授时领域的霸主地位。胸杏忙咋笛熟禾砰拷塑抡益抑囚攀裕株货愚菏袭斡畏鞠咏帜贴胺通琐楼拟第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2在泄漏监测系统中使用到的是GPS的精确授时功能。GPS开始53管内压力波的传播速度决定于液体的弹性、液体的密度和管材的弹性，液体的体积弹性系数随品种、温度、压力的不同而不同。式中：a—管内压力波的传播速度，m/s；K—液体的体积弹性系数，Pa；ρ—液体的密度，kg/m3；E—管材的弹性，Pa；D—管道直径，m；e—管壁厚度，m；C1—与管道约束条件有关的修正系数。负压波传播速度公式如下：禽淹盾隅倍铱峡鬃俯锥迷迹膝鹅致皱骚斋眶焦赖较赤虑厂伺埠弗巾双漏相第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2管内压力波的传播速度决定于液体的弹性、液体的密度和管材的弹性54在实际的泄漏监测系统中，总是采集压力传感器送来的数据，再分析采集到的数据序列，从中寻找泄漏信息。精确确定泄漏引发的负压波传播到上、下游传感器的时间差，就必须先确定瞬态负压波传到管道首、末端的时刻，即需要准确地捕捉到泄漏负压波传到首、末端信号序列的对应特征点。孕岩屈打托奔掷挣狈疼太沼收尼以炒供砾纯挣螺煮忆太葵馏昭鸯平尧律妆第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2在实际的泄漏监测系统中，总是采集压力传感器送来的数据，再分析55而由于不可避免的工业现场的电磁干扰、输油泵的振动等因素的存在，采集到的压力波形序列附加着大量的噪声（如下图所示）。图原始压力信号上图为在中石化管道储运公司沧州输油公司沧州－临邑线长60公里的沧州－东光输油管线的30公里处做的一次泄漏放油实验时在管道一端采集到的压力信号序列，噪声信号很强，由此信号根本无法确定负压波的边沿，因而也就不能对泄漏点定位。里豺轧箱混鼎鼎所亚荐炊恒黑宽馒沥设芒绅放峰钱娟尚萨顶穿潮敲染赛郝第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2而由于不可避免的工业现场的电磁干扰、输油泵的振动等因素的存在56如何在强噪声干扰中提取信号的特征拐点是泄漏检测与定位中必须解决的问题，下面提出采用离散小波变换确定负压波信号的特征拐点，滤波器组计算小波变换的方法。此方法在管道实际运行中做到实时监测，取得了良好的效果。精榔寝弧各湍色酵煮费闻哉私粱跪未露胃靖整砂巡俱盘爱炬湘驱佛毯浮下第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2如何在强噪声干扰中提取信号的特征拐点是泄漏检测与定位中必须解57

离散小波变换及滤波器组1、多分辨分析1988年S.Mallat在构造正交小波基时，将计算机视觉领域内的多分辨率思想率先引入小波变换，提出了多分辨分析（Multi-ResolutionAnalysis）的概念，在空间的概念上形象地说明了小波变换的多分辨特性，并使用多分辨分析将此之前Meyer等提出的各种具体小波基的构造法统一起来。在BurtandAdelson图像分解和重构的塔式算法的启发下，基于多分辨率框架，提出了塔式多分辨率分解和重构算法，给出了正交小波的构造方法以及正交小波变换的快速算法－Mallat快速小波分解和重构算法。兑匀僵淬盏淤棋更吸酣膜铃呻惭呸屋客憋鞋爹陛险隐撂社姆外勋幢显必芳第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2离散小波变换及滤波器组1、多分辨分析1988年S.Ma58对于多分辨分析的理解，可以用一个三层的分解进行说明，其小波分解树如下图所示。图三层多分辨分析小波分解树结构图多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高频部分则不予考虑。分解关系式为：S=A3+D3＋D2＋D1。在图中，只是以一个层分解进行说明，如果要进行进一步的分解，则可以把低频部分A3分解成低频部分A4和高频部分D4，以下再分解依此类推。含虽矿咐五泄讽斋乳挑守誓音巫返锌拎果租贝衙衫龙乙易尼旷班两椅摧涤第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2对于多分辨分析的理解，可以用一个三层的分解进行说明，其小波分59多分辨分析分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近空间的正交小波基，这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。从上图的多分辨分析树型结构可以看出，多分辨率分析只对低频空间进行进一步的分解，使频率的分辨率变得越来越高。露辅嗣遁芽豺跪臆举谊敌俞慎蛙阶允滦耻下魏球咳牲曳及啡膛蝶揭灵捎己第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2多分辨分析分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近60下面分析多分辨分析是如何构造正交小波基的。空间L2（R）中的多分辨分析是指中满足如下条件的一个空间序列：①单调性：，对任意j∈Z；②逼近性：；③伸缩性：，伸缩性体现了尺度的变化、逼近正交小波函数的变化和空间的变化具有一致性；④平移不变性：对任意k∈Z，有蕾挎戏选奄负次鞭毕急课通粳桓轧丧骗挨黔搂急乾夫荫秒摊府喻泳窟肇答第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2下面分析多分辨分析是如何构造正交小波基的。空间L2（R）中的61⑤Riesz基存在性：可以称φ(t)为尺度函数（ScalingFunction），并可以定义如下函数：该函数系是规范正交的。职听隆出备业再游菏维何亚酣豆坞典冲盯刁课添袋贿盎栗肯妖俏骄推秧陡第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2⑤Riesz基存在性：可以称φ(t)为尺度函数（Scali62设以Vj表示小波分解树结构图中的低频部分Aj，Wj表示分解中的高频部分Dj，则多分辨分析的子空间V0是一个有限个子空间的逼近，即：上式中的空间列具有如下性质：①②③设法找出一个确定的函数，使得对每个，函数系构成空间Wj的规范正交基，其中，（1）喘当馏脚不捞抉地搀羊寇萤多孙谍甚黍爷酿延啤猎片次翻禁旨盐攻伴废龚第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2设以Vj表示小波分解树结构图中的低频部分Aj，Wj表示分解中63若令代表分辨率为2-j的函数的逼近（即函数f的低频部分或“粗糙像”），而代表逼近的误差（即函数f的高频部分或“细节”部分），则下式意味着：注意到f=f0，所以上式可简写为：（2）（3）尚行包驳簿寂妨膜瞥盛梳彰懊晕薛溅温鸳假么搏赞资霍凝羹讯历剖密藏魁第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2若令代表分辨率为2-j的函数的64上式（3）表明，任何函数都可以根据分辨率为2-N时f(t)的低频部分（“粗糙像”）和分辨率2-j（1≤j≤N）下f(t)的高频部分（“细节”部分）完全重构，这也从另一侧面表示Mallat塔式重构算法。（3）指蕊了厅趟沼渭吭尝逐伊冈整捏答滴眺隋咽搂憾慌霍坊铲钮稍弟抱酝诊殷第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2上式（3）表明，任何函数都可65从包容关系，可很容易得到尺度函数ф(t)的一个极为有用的性质。注意到，所以可以用V-1子空间的基函数展开，令展开系数为hk，则这就是尺度函数的双尺度方程。（4）妓旭容梯企栖诧亥隙携花冶夕岁琵词酒诧部嗜滚苗滋拼旭隋般欠禽苍狰持第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2从包容关系，可很容易得到尺度函数ф(t)的66另一方面，由于，故这就意味着小波基函数可以用V-1子空间的正交基展开，令展开系数为gk，即有这就是小波函数的双尺度方程。（5）苇哼紊资破阅谦方孟轴黄擂蓄谷含戮绪嘴辊僚叶囤铣上络菜智郝腾样分肥第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2另一方面，由于，故这就意味着小波67由双尺度方程式（4）和式（5）可知，尺度函数与小波基函数的构造归结为系数的设计。小波基函数可由尺度函数的平移和伸缩的线性组合获得。若令则把尺度函数和小波基函数的设计可以归结为滤波器H(ω)，G(ω)的设计。（4）（5）尺度函数的双尺度方程:小波函数的双尺度方程:召凄戳藏藏效轨亿风盅并酒绍帝毕方卞瞬甥惊送烂浅钓头问青亏拱蔽杆耪第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2由双尺度方程式（4）和式（5）可知，尺度函数与小波基函数的构68构造正交小波时，滤波器H(ω)，G(ω)必须满足以下三个条件：（6）（7）（8）联合求解式（6）、（7）、（8）可得（9）所以，要设计正交小波，只需要设计滤波器H(ω)。垦毕掂状掘沿三惺枚禹顽搪捐仗蒸拥诊专盾夕涸插央脊矩座清演嗅得脱晃第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2构造正交小波时，滤波器H(ω)，G(ω)必须满足以下三个条件69综上分析，为了使构成Vj子空间的正交基，应该具有下列基本性质：①尺度函数的容许条件，。②能量归一化条件：。③尺度函数具有正交性，即⑤跨尺度的尺度函数和相关。④尺度函数与基小波函数正交，即⑥基小波函数和相关。众书板或另撇它闹箩蠢吁沙袄晃萌肩鹤蔚狄很棘盆份诸蹲驭历迁痔梧领荆第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2综上分析，为了使70将尺度函数的容许条件与小波的容许条件作比较可知，尺度函数的傅里叶变换具有低通滤波特性（相当于一个低通滤波器），而小波基函数的傅里叶变换则具有高通滤波特性（相当于一个带通滤波器）。多分辨分析可以对信号进行有效的时频分解，它不同于短时傅里叶变换对信号频带的等间隔划分，它的尺度是按二进制划分的，所以在高频频段其频率分辨率较差，而在低频频段其时间分辨率较差，即对信号的频带进行指数等间隔划分（具有等Q结构）。庙诈附柳廖伴倔懊舅槛暮浇纵罐巫费鸵幻舔锐谍洒枕酮疗箕锰牡论骋碴恶第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2将尺度函数的容许条件与小波的容许条件作比较可知，尺度函数的傅712、一维Mallat算法S.Mallat在BurtandAdelson图像分解和重构的塔式算法的启发下，基于多分辨率框架，提出了一种具有完美数学描述的塔式多分辨率离散小波分解与重构算法，即Mallat算法。Mallat算法的本质是：不需要知道小波函数和尺度函数的具体结构，仅根据系数就可实现信号的分解和重构。而且这种算法可以使每次小波分解后信号长度减半，大大减少了小波变换的复杂度，因而它是一种快速算法。Mallat快速算法在小波变换中的地位，与快速傅里叶变换在傅里叶变换中的地位相当。谎鳖绒市烟嫌扇勘织该徊奔唉冤唯下虚扇硝秒坞盯它扦棍砌齐偏面性握丸第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法22、一维Mallat算法S.Mallat在Burtand72设Φ(t)为尺度函数，Ψ(t)为基本小波，设信号f(t)∈L2(R)，将信号进行分解，用A表示低频，D表示高频，下标数字表示小波分解的尺度层数，已得到f(t)在2-j分辨率下的粗糙像Ajf∈Vj，｛Vj｝j∈Z构成L2（R）的多分辨分析，从而有：式中，（10）嗜舔消喀嗜任雹去民佯聂希费榨锄辈财焦恒辜叛函珐程佃掺腆龟赦驶绷帚第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2设Φ(t)为尺度函数，Ψ(t)为基本小波，设信号f(t)∈73式（10）可写成如下形式：由尺度函数的双尺度方程可得：利用尺度函数的正交性，有：（12）（13）同理，由小波函数的双尺度方程可得：（14）（11）救儡柿祥仍浸绍勋镣钥盈虏吨烧丙罕旁翔适详纸槐聘怠艺颜垒训址锚潭娃第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2式（10）可写成如下形式：由尺度函数的双尺度方程可得：利用尺74由式（11）～（14），可得：（15）（16）（17）划漏穴窿十咀蛹肾鳞掏点熙陶猩轴叉芹忧膝堕达踊桓竭茸霜母淖空净弧饼第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2由式（11）～（14），可得：（15）（16）（17）划漏穴75引入无穷矩阵，其中，则式（15）、（16）、（17），可分别表示为更简洁的形式：其中和分别是H和G对应的对偶算子，或分别理解为H和G的共扼转置矩阵，满足正交性条件，。H和G分别称为低通滤波器和带通滤波器。（18）（19）Mallat一维分解算法Mallat一维重构算法驰追赖茨蛮炯形韧腑雅苞缚唇胺蓑矛硝愤憨号陆韶远析挣伯掇汁类氮敷粟第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2引入无穷矩阵76式（18）即为Mallat一维分解算法；式（19）即为Mallat一维重构算法，它们都是递推的快速算法，可由下图来表示：（b）重构算法图Mallat小波分解和重构算法示意图2：表示每个样本点中入1个零值（a）分解算法2：表示2个样本点中取1个炼明机腑由凿杰莉奴魂辛债榨鹤寨肛娶掂宛三锁烘透嘘汉屁趋歇涣锥溯峰第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2式（18）即为Mallat一维分解算法；式（19）即为Mal77将实时采集获得的管道压力信号通过两通道滤波器分为低频概貌和高频细节输出，定位负压波的位置实际就是确定高频细节当中最小值的位置。在实际应用当中，基于虚拟仪器LabVIEW开发了原油管道泄漏实时监测系统，其中包括泄漏定位模块，其检测定位原理即基于离散小波变换和Mallat算法。如下图所示。饱丛耍沛奉拟喷液本谜晶头科层鲤等菜龟烟旷喂蔽兹谱祁捆购忘俭督诸搅第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2将实时采集获得的管道压力信号通过两通道滤波器分为低频概貌和高78图泄漏点定位模块泄漏点定位部分精确地定位出泄漏点的位置，同时将泄漏报警时间、泄漏点位置等参数写入泄漏信息数据库以供日后总结分析。定位部分包括自动定位和手动定位两部分，手动定位需要操作人员根据经验，通过移动光标捕捉两端波形对应拐点。估淳苗滇镁瞅炒类雇歼乾搬袱科夷互斡呐迪幌刁枪样皑越暗佳但缴呈惧熏第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2图泄漏点定位模块泄漏点定位部分精确地定位出泄漏点的位79补充：MATLAB中的小波工具包简介MATLAB中常用小波函数介绍1、Haar小波Haar小波是小波分析发展过程中用的最早的小波，也是最简单的小波。Haar小波本身是一个阶跃函数如下图所示。Haar小波Haar小波的支集长度为1，滤波器长度为2。脆布昧捶会有赃懊羚另认虫藩误句誊叙光滴名计妻曰残功鸿盅蛙瓶撑聘幼第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2补充：MATLAB中的小波工具包简介MATLAB中常用小波802、Daubechies小波Daubechies小波是由著名小波学者IngridDaubechies所创造的。Daubechies系列的小波简写为dbN，其中N表示阶数，db是小波名字的前缀，除db1（等同于Haar小波）外，其余的db系列小波函数都没有解析的表达式。db系列小波函数db4db8追抬揽耕禾枚帐仰焙山馒嘶蹿搭揩咖狞兽渠出鸭南靶谁貌浇茸触迫枕菲飘第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法22、Daubechies小波Daubechies小波是由著名813、SymletsA（SymN）小波族sym小波的构造类似于db小波族，两者的差别在于sym小波有更好的对称性。sym系列小波函数sym4sym8同前面db小波族相比，sym小波族有更好的对称性。其它的性质如连续性、支集长度、滤波器长度都同db小波族一致。采帖媳渐峰掳莱黑轧汲惟蛮役嘲焙淌堂镭襄娇壹呆代饶道哟衬奎珠窗嘲蚌第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法23、SymletsA（SymN）小波族sym小波的构造类似于824、Biorthogonal（BiorNr.Nd）小波族这是一族双正交小波（也叫半正交小波），与正交小波的区别在于：正交小波的伸缩和平移构成的基函数完全正交；双正交小波对不同尺度伸缩下的小波函数之间也有正交性，而同尺度之间通过平移得到的小波函数系之间没有正交性。双正交小波用于分解和重构的小波不是同一个函数，相应的滤波器也不能由同一个小波生成。埃娄吾胁绳教种絮奏般啃玖兹龋炔光淮莹闹忍陪屁摈捌盏赌督判诗晨搽扑第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法24、Biorthogonal（BiorNr.Nd）小波族这是83bior系列小波函数bior2.4bior4.4在双正交小波的命名中，Nr和Nd分别是和重构和分解滤波器长度有关的参数。下图为bior2.4和bior4.4小波函数。屋疯随可丛粪栈鸡链称膀琵四榔没挎氮脚头檀墟嘿雕婆息玉瘫留闯尘肌疹第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2bior系列小波函数bior2.4bior4.4在双正交小波845、Coiflet（coifN）小波族Coiflet小波族是Daubechies提出的另一个小波系，它有更长的支集长度和更大的消失矩，对称性比较好。coif系列小波函数coif3coif5下图为coif3和coif5小波函数。从图中可以看出，它们在对称性上的特点。妒硼主即尿腔蛆翌肖峭烙丙适辉杜禹纤玲笺馏肃攫钳化焦眉捞累雷堆砷爆第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法25、Coiflet（coifN）小波族Coiflet小波族是856、Morlet小波Morlet小波是一个具有解析表达式的小波，但它不具备正交性。Morlet小波的小波函数如下图所示。morlet小波函数族卯谋墨蠕襄凡狙惮铬淤览鳖烘碰锅啥翌石拾闻酸蒜炼皋狙漂古警脆娱漆第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法26、Morlet小波Morlet小波是一个具有解析表达式的小867、MexicanHat小波类似于morlet小波，MexicanHat小波同样是有解析的小波函数，但同样不具有正交性。MexicanHat小波的小波函数如下图所示。MexicanHat小波函数灭锄荚瑶娄敌凿衫骏聂佩课巴卵昌糊玄葛任脏心毕颁幂拈获贯电纶震晨瘴第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法27、MexicanHat小波类似于morlet小波，Mex878、Meyer小波Meyer小波是在频域定义的具有解析形式的正交小波。Meyer小波的尺度函数和小波函数如下图所示。Meyer小波尺度函数小波函数席琐撵亡叼嘲梭禄阻盎饲铜烟魁纽峭琳恬闭点泵唐驱沧缔一嫁夏勒菠犁卡第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法28、Meyer小波Meyer小波是在频域定义的具有解析形式的88一维离散小波变换一维离散小波变换实现的算法一般是mallat算法。即先对较大尺度的信号进行小波变换，再选取其中的低频部分在原尺度的1/2尺度上再进行小波变换。对于一个长度为N的信号s，第一步从原始信号开始，产生两组参数，一组是作用低通滤波器得到的近似信号，另一组是作用高通滤波器得到的细节信号。1、一维离散小波分解算法霜嫂抹林兆汐备国盐抵哩蛾坦满绩争葬硝型蚕筐催密乍纱峦碎在振亢任厚第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2一维离散小波变换一维离散小波变换实现的算法一般是malla89在物理信号中，低频部分是表征信号本身特征的，而高频部分则是表征信号细微差别的。比如，声音信号，如果只保留低频信号，仍可以辨别出说话的内容，但是可能不太容易辨别出说话的人。但如果去除了低频部分，就只能听到一些噪声。曙妨亮德凛纷中户记吉人函尾柱酬吁枪稗霖冉搏堡抢扇凭殖栋撼钎乒敬狠第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2在物理信号中，低频部分是表征信号本身特征的，而高频部分则是表90在MATLAB小波工具箱中，实现多尺度分解的函数是：wavedec，该函数的调用格式为：[C,L]=wavedec(X,N,'wname')[C,L]=wavedec(X,N,Lo_D,Hi_D)式中，X：待分解的信号；N：分解层数；‘wname’：使用的小波函数；Lo_D：给定的低通滤波器；Hi_D：给定的高通滤波器。即：在第二种调用方式中，信号X在给定的低通滤波器和高通滤波器下进行多尺度分解。位扳幂射息毕赖剖旁筷砚颓绊才甭震移唤晋征硕蜡佃下矛添淹笑曝诉品松第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2在MATLAB小波工具箱中，实现多尺度分解的函数是：wave91在MATLAB中，离散小波变换分解算法主要使用如下几个常用指令：dwt;用于信号的单层分解wavedec;用于信号的多层分解wmaxlev;在多层分解前求最大的分解层数炮捏渡戒骂村投粗否湍显辨笺袜脏溅桥寨询努弓飘腿恍拔汪银升顷扑溯虚第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2在MATLAB中，离散小波变换分解算法主要使用如下几个常用指92例：对白噪声信号noissin进行3层小波分解，所用小波函数为‘db4’。loadnoissin;读入白噪声信号s=noissin(1:1000);取信号的前1000个采样点[c,l]=wavedec(s,3,’db4’);对信号做3层多尺度分解[cd1,cd2,cd3]=detcoef(c,l,[1,2,3]);得到三个尺度的细节系数ca3=appcoef(c,l,’db4’,3);得到尺度3的近似系数figure;subplot(511);plot(1:1000,s);title(‘s’);绘制原始信号subplot(512);plot(ca3);title(‘ca3’);绘制尺度3的近似系数subplot(513);plot(cd3);title(‘cd3’);绘制尺度3的细节系数巢伞展簇忍促恢桓变怎色芭嵌玩汗缴琵铲店赖碍访镜晓际神诫宵陡楞哪铰第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2例：对白噪声信号noissin进行3层小波分解，所用小波函数93subplot(514);plot(cd2);title('cd2');绘制尺度2的细节系数subplot(515);plot(cd1);title('cd1');绘制尺度1的细节系数Noissin信号在db4小波下三层分解的近似系数和细节系数痕铜汾荷式嚎肆膨离洋附蛾慰撂锚换宗迭壶酪咳取捞甩俺绍孕饮蛮抉峨罩第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2subplot(514);Noissin信号在db4小波下三942、一维离散小波重建算法重建运算是小波变换的逆变换，也就是把分解得到的近似系数和细节系数叠加得到原始信号。与小波分解过程类似，重构过程首先从尺度最低的近似系数cAj和细节系数cDj开始，通过作用低频和高频重构滤波器恢复出上一尺度的近似信号cAj-1，把这个过程继续下去，直到得到原始信号s。单单做这个过程没有什么意义，只是把分解的信号又重建一下。实际中，往往会在重建之前都要对分解系数做各种处理，以达到预期的目的。胞渐钢韧烤秒水窘膳两罗课伟慕普沮氓兹递阉潜棺报壕痞戈捷绰丘沪步宇第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法22、一维离散小波重建算法重建运算是小波变换的逆变换，也就是把95在MATLAB中，用于离散小波重建算法的命令主要有如下几个：idwt;用于单层小波重建waverec;用于多层小波重建原始信号，要求输入参数同小波分解得到结果的格式一致upcoef;用于重建小波系数至上一层次，要求输入参数同小波分解得到结果的格式一致用于得到某一层次的小波系数的命令主要有如下几个：detcoef;求得某一层次的细节系数appcoef;求得某一层次的近似系数upwlev;重建组织小波系数的排列形式氓得稽亭杰递罪尊婪饲帐份望痞签霖缄殊圾福吴品晓走线彼制薛蚁瓤肋练第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2在MATLAB中，用于离散小波重建算法的命令主要有如下几个：96loadsumsin;读入信号sumsin，该信号为不同频率正弦波信号的叠加s=sumsin;[c,l]=wavedec(s,4,‘sym1’);把信号s用sym1小波分解到第四层，分解的系数存到数组c中，各层分解后的长度存到数组l中；[nc,nl]=upwlev(c,l,‘sym1’);通过第四层小波系数重建第三层小波近似系数，把三层的系数存放在数组nc中，三层分解的长度存放到数组nl中figure;subplot(311);plot(s);title(‘原始信号’);绘制原始信号例：利用upwlev对正弦波信号进行重构。烛架而二掐碳离箩哟脱阶猴哲壹娟篮喝券诬遁拥沽皂蛛控娥婆门韧艘丑砷第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2loadsumsin;读入信号sumsin，该信号为不同频97subplot(312);plot(c);title('做4层wavedec得到的结果');subplot(313);plot(nc);title('做3层wavedec得到的结果');用upwlev重建小波系数示意图刚酱菇认拜史淫溢烛壶颤洒肇殃剪瑟嚎倍赎挛庇量拓辐审居啃范涨狠蔑番第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2subplot(312);用upwlev重建小波系数示意图刚98信号的扩展在用计算机实现小波变换的过程中，一个实际的问题就是信号长度和滤波器长度的匹配问题。对有限支集长度的滤波器，在离散小波变换中，对每个点的变换都需要用到其它点的信息，所以如果点与边界的距离不足滤波器的长度，就无法得到做变换所需要的完全信息，从而导致滤波器不可逆。鞘剥督怨暴痊仅原帅蚤仍挑辗平哲啤翘挝宣权术型蚊扁普癣嘴丹同缠污既第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2信号的扩展在用计算机实现小波变换的过程中，一个实际的问题就99为了保证滤波器构成的矩阵是可逆的，就需要对滤波器做调整，而这种调整也等价于对信号的调整，调整的方法就是在每层的变换中都把信号边界做扩展，使得最靠近边界的点也能获得小波变换所需要的完全信息。篡儿鹰臭悼类讥雄雄网沿啼休摇熔奇孺症外哗志躁谢笛腔扮篱匆运炊阀貉第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2为了保证滤波器构成的矩阵是可逆的，就需要对滤波器做调整，而这100以求细节系数的高通滤波为例，过程如下图所示。下图中，高通滤波器假设支集长度为4，那么在求第一个细节系数d0的时侯，就需要用到信号的扩展s-1。在信号的另一侧，如为了求第n个细节系数dn，同样需要用到信号的扩展sn+1。图小波变换做高通滤波时对信号的扩展芜仓搽荧驾盅锁杂昧懒庆硷人郴千泽才爱缸岭况陵腺妖谱宛树扎椒折腾鸥第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2以求细节系数的高通滤波为例，过程如下图所示。图小波变换做101MATLAB中，对信号的扩展方式主要有以下几种。

零填充：是最简单的一种方式。把边界以外到滤波器支集以内所需要的信息都置为0。这种方式最大的问题是在边界处不连续。

对称扩展：令s-1=s1，s-2=s2，以此类推，在另一侧的边界做同样处理，它是MATLAB小波工具箱中缺省的扩展方式，很好地解决了边界点的不连续问题。但是它的一阶导数仍然是不连续的。

一阶光滑扩展：保证边界以外的信息满足一阶导数的连续，那么所有边界外的点应该落在通过s0，s1的直线上，另一侧边界也做同样处理。

零阶光滑扩展：保证边界以外的信号与原信号连续，那么只需要令：si=s0(i<0)，sj=sn(j>n)。桐录澡仅盂轴居保全威溅府娄消深抽颈便翟畴喉栅侄庆各柏釉脏铱叙置骇第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2MATLAB中，对信号的扩展方式主要有以下几种。零填充：是102在对信号的扩展中，还有一点需要注意，为了保持小波变换的可逆性，分解阶段和重建阶段必须指定相同的扩展方式。在MATLAB中，指定信号扩展方式的命令是dwtmode。其调用格式如下：ST=dwtmode('mode')ST=dwtmode主要的扩展方式如下：‘sym’：对称扩展；‘zpd’：零填充；‘spd’或’sp1’：一阶光滑扩展；‘sp0’：零阶光滑扩展。懦汲每应兵脱幢贩摸五邢宇好秧潭阳朋蔫耘俭柄汽掀柒底钧扔工嘉窄猫届第六章基于小波变换的故障诊断方法2第六章基于小波变换的故障诊断方法2在对信号的扩展中，还有一点需要注意，为了保持小波变换的可逆性103小波变换用于信号降噪前面介绍了如何利用小波工具箱把信号分解以及重建的方法，而小波分析之所以强大，就在于它能将信号中我们关心的成分尽可能详细地展示出来，从这个意义上讲，单单分解和重建是没有意义的，小波分析最重要的过程就是对小波分解系数的处理。小波分析的一般过程就是先把信号分解为小波系数，然后对分解出来的系数根据问题的