高中数学第二章圆锥曲线与方程3.2第2课时抛物线方程及性质的应用练习（含解析）新人教A版选修11

抛物线方程及性质的应用基础全面练(15分钟30分)1．过点P(0，1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条【解析】选B.当直线垂直于x轴时，满足条件的直线有1条；当直线不垂直于x轴时，满足条件的直线有2条．2．(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．(1，0)D．(2，0)【解析】选B.将x＝2代入y2＝2px(p＞0)得y＝±2eq\r(p)，由OD⊥OE得kOD·kOE＝－1，即eq\f(2\r(p),2)·eq\f(－2\r(p),2)＝－1，得p＝1，所以抛物线C：y2＝2x的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).3．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条 B．有两条C．有无穷多条 D．不存在【解析】选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7.又过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短，最短弦长＝2p＝4，所以这样的直线有两条．4．已知直线x－y＝2与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，那么线段AB的中点坐标是________．【解析】设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2))，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,x－y＝2))得到y2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋2))也就是y2－4y－8＝0，所以eq\f(y1＋y2,2)＝2，故eq\f(x1＋x2,2)＝4，因此中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，2)).答案：(4，2)5．已知抛物线y2＝2px(1＜p＜3)的焦点为F，抛物线上的点M(x0，1)到准线的距离为eq\f(5,4).(1)求抛物线的标准方程．(2)设直线MF与抛物线的另一交点为N，求eq\f(|MF|,|NF|)的值．【解析】(1)由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(p,2)＝\f(5,4)，,2px0＝1，))消去x0得2p2－5p＋2＝0，因为1＜p＜3，解得p＝2，所以x0＝eq\f(1,4)，所以抛物线标准方程为y2＝4x.(2)因为F(1，0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，所以kMF＝－eq\f(4,3)，直线MF的方程为4x＋3y－4＝0，联立方程得方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,4x＋3y－4＝0，))消去x得y2＋3y－4＝0，解得y＝－4或1，将y＝－4代入y2＝4x，解得x＝4，则|MF|＝eq\f(1,4)＋1＝eq\f(5,4)，|NF|＝4＋1＝5，所以eq\f(|MF|,|NF|)＝eq\f(\f(5,4),5)＝eq\f(1,4).综合突破练(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．过点P(2，2)作抛物线y2＝4x的弦AB，恰好被P平分，则弦AB所在的直线方程是()A．x－y＝0 B．2x－y－2＝0C．x＋y－4＝0 D．x＋2y－6＝0【解析】选A.由题得直线存在斜率，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线方程为：y－2＝k(x－2)，即y＝kx＋2－2k，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2－2k,y2＝4x))，消去y整理得k2x2＋[2k(2－2k)－4]x＋(2－2k)2＝0.k＝0不满足题意，当k≠0时，由题得Δ＝[2k(2－2k)－4]2－4×k2(2－2k)2>0且x1＋x2＝－eq\f(2k（2－2k）－4,k2)，因为弦AB恰好是以P为中点，所以－eq\f(2k（2－2k）－4,k2)＝4.解得k＝1.满足Δ＝[2k(2－2k)－4]2－4×k2(2－2k)2>0，所以直线方程为y＝x.2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．2B．3C．eq\f(11,5)D．eq\f(37,16)【解析】l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，所以P到l2的距离d2＝|PF|(F(1，0)为抛物线焦点)，所以P到l1，l2距离之和的最小值为F到l1的距离eq\f(|4×1－3×0＋6|,\r(32＋42))＝2.3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若eq\o(FP,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，则|QF|等于()A．eq\f(7,2)B．3C．eq\f(5,2)D．2【解析】选B.设点Q到l的距离为d，则|QF|＝d.因为eq\o(FP,\s\up6(→))＝4eq\o(FQ,\s\up6(→))，所以|PQ|＝3d.所以直线PF的斜率为－eq\f(2\r(2)d,d)＝－2eq\r(2).因为F(2，0)，所以直线PF的方程为y＝－2eq\r(2)(x－2)，与y2＝8x联立，得x＝1，x＝4(舍)，所以Q点横坐标为1，所以|QF|＝d＝1＋2＝3.4．若抛物线y2＝x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，则实数b的值为()A．－3B．3C．2D．－2【解析】2＝x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－1，所以eq\f(y1－y2,yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝－1，所以y1＋y21y2＝－1，所以x1＋x2＝yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝(y1＋y2)2－2y1y2＝3，所以两点A(x1，y1)，B(x2，y2)中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，代入y＝x＋b，可得b＝－2.5．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(CD,\s\up6(→))|)的最小值为()A．eq\r(3)B．1C．eq\f(2\r(3),3)D．2【解析】选B.设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形ABPQ中，所以2|CD|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b.由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2abcos60°＝a2＋b2－ab，配方得，|AB|2＝(a＋b)2－3ab，又因为ab≤，所以(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－eq\f(3,4)(a＋b)2＝eq\f(1,4)(a＋b)2，得到|AB|≥eq\f(1,2)(a＋b)＝|CD|.所以eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(CD,\s\up6(→))|)≥1，即eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(CD,\s\up6(→))|)的最小值为1.二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))的最小值是________．【解析】设AB的方程为x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，所以yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，当m＝0时，yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))的最小值为32.答案：327．已知点A(4，0)，M是抛物线y2＝6x上的动点，当点M到A距离最小时，M点坐标为________．【解析】设Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),6)，y1))，则|MA|2＝＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝eq\f(1,36)yeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(1))－eq\f(1,3)yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋16＝eq\f(1,36)(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－6)2＋15≥15，当且仅当yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝6，即y1＝±eq\r(6)，x1＝eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),6)＝1时，|MA|取最小值eq\r(15)，此时M(1，±eq\r(6)).答案：(1，±eq\r(6))8．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足eq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，则弦AB的中点到准线的距离为________．【解析】依题意，设直线AB的方程是x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,y2＝4x，))消去x得y2＝4(my＋1)，即y2－4my－4＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2eq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(1－x1，－y1)，eq\o(FB,\s\up6(→))＝(x2－1，y2)，所以有－y1＝3y2，yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝eq\f(4,3)，(y1＋y2)2＝4yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝eq\f(16,3)，弦AB的中点到准线的距离为eq\f(x1＋x2,2)＋1＝eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),8)＋1＝eq\f(（y1＋y2）2－2y1y2,8)＋1＝eq\f(\f(16,3)＋8,8)＋1＝eq\f(8,3).答案：eq\f(8,3)三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2eq\r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程．(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，求λ的值．【解析】(1)直线AB的方程是y＝2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(5p,4).由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(5p,4)＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由于p＝4，则4x2－5px＋p2＝0即x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2eq\r(2)，y2＝4eq\r(2)，从而A(1，－2eq\r(2))，B(4，4eq\r(2)).设C(x3，y3)，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x3，y3)＝(1，－2eq\r(2))＋λ(4，4eq\r(2))＝(4λ＋1，4eq\r(2)λ－2eq\r(2))，又yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝8x3，即[2eq\r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.10．(2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求p；(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．【解析】(1)焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))到x2＋(y＋4)2＝1的最短距离为eq\f(p,2)＋3＝4，所以p＝2.(2)抛物线y＝eq\f(1,4)x2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则lPA：y＝eq\f(1,2)x1(x－x1)＋y1＝eq\f(1,2)x1x－eq\f(1,4)xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝eq\f(1,2)x1x－y1，lPB：y＝eq\f(1,2)x2x－y2，且xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝－yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－8y0－15.lPA，lPB都过点P(x0，y0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝\f(1,2)x1x0－y1，,y0＝\f(1,2)x2x0－y2，))故lAB：y0＝eq\f(1,2)x0x－y，即y＝eq\f(1,2)x0x－y0，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x0x－y0，,x2＝4y，))得x2－2x0x＋4y0＝0，Δ＝4xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－16y0.所以|AB|＝eq\r(1＋\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),4))·eq\r(4xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－16y0)＝eq\r(4＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)))·eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－4y0)，点P到AB的距离d＝eq\f(|xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－4y0|,\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋4))，所以S△PAB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)|xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－4y0|·eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－4y0)＝eq\f(1,2)(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－4y0)＝eq\f(1,2)(－yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－12y0－15)，而y0∈[－5，－3]，故当y0＝－5时，S△PAB达到最大，最大值为20eq\r(5).创新迁移练1．已知在抛物线y＝x2上存在两个不同的点M，N关于直线y＝kx＋eq\f(9,2)对称，则k的取值范围为________．【解析】设M(x1，xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))，N(x2，xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))，两点关于直线y＝kx＋eq\f(9,2)对称，显然k＝0时不成立，所以eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),x1－x2)＝－eq\f(1,k)，即x1＋x2＝－eq\f(1,k).设MN的中点为P(x0，y0)，则x0＝－eq\f(1,2k)，y0＝k×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2k)))＋eq\f(9,2)＝4.又中点P在抛物线y＝x2内，所以4＞，即k2＞eq\f(1,16)，所以k＞eq\f(1,4)或k＜－eq\f(1,4).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))2．光学是当今科技的前沿和最活跃的领域之一，抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线C：x2＝2py(p>0)，一平行于y轴的光线从上方射向抛物线上的点P，经抛物线2次反射后，又沿平行于y轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为8.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l：y＝x＋m与抛物