山东省日照市莒县一中2022-2023学年数学高二下期末统考模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列命题是真命题的为（）A．若,则 B．若,则C．若,则 D．若,则2．命题的否定是（）A． B．C． D．3．不等式的解集为（）A． B．C． D．4．对于函数,“的图象关于轴对称”是“=是奇函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要5．设a，b∈R，则“a≥b”是“a>bA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．椭圆与直线相交于两点，过中点与坐标原点连线斜率为，则（）A． B． C．1 D．27．已知函数，若只有一个极值点，则实数的取值范围是A． B． C． D．8．给出以下命题，其中真命题的个数是若“或”是假命题，则“且”是真命题命题“若，则或”为真命题已知空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面；直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线有3条；A．1 B．2 C．3 D．49．若二项式的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为A． B． C．160 D．24010．已知某次数学考试的成绩服从正态分布，则114分以上的成绩所占的百分比为（）（附，，）A． B． C． D．11．已知定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是()A． B． C． D．12．已知点F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则M点的纵坐标为（）A．2 B．4 C．±2 D．±4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设是上的单调函数，且对任意，都有，若是方程的一个解，且，则的值为_____．14．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中能被5整除的数共有______个．15．已知的展开式中的系数为，则__________．16．在极坐标系中，直线被圆ρ＝4截得的弦长为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的极坐标方程为ρcos＝2.(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l的最大距离．18．（12分）已知函数（1）求函数在点处的切线方程；（2）若在时恒成立，求的取值范围。19．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且过点．求椭圆的标准方程；设直线l经过点且与椭圆C交于不同的两点M，N试问：在x轴上是否存在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值，若不存在，请说明理由．20．（12分）如图,已知正四棱柱的底面边长为2,侧棱长为3,,垂足为,交于点.(1)求证:⊥平面;(2)记直线与平面所成的角,求的值.21．（12分）某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表．百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级ABCD规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示求n和频率分布直方图中的x，y的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；根据频率分布直方图，求成绩的中位数精确到；在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率．22．（10分）已知函数．（1）若函数在区间内是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．（注：为自然对数的底数）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】试题分析：B若，则，所以错误；C．若，式子不成立．所以错误；D．若，此时式子不成立．所以错误，故选择A考点：命题真假2、B【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以：，故选B.考点：1.全称命题；2.特称命题.3、D【解析】

利用指数函数的单调性，得到关于的一元二次不等式，解得答案.【详解】不等式，转化为，因为指数函数单调递增且定义域为，所以，解得.故不等式的解集为.故选：D.【点睛】本题考查解指数不等式，一元二次不等式，属于简单题.4、B【解析】

由奇函数，偶函数的定义,容易得选项B正确.5、D【解析】

利用特殊值来得出“a≥b”与“a>b【详解】若a=b=3，则a≥b，但a>b若a=2，b=-3，a>b成立，但a≥b因此，“a≥b”是“a>b”的既不充分也不必要条件，故选：D【点睛】本题考查充分必要条件的判断，常用集合的包含关系来进行判断，也可以利用特殊值以及逻辑推证法来进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题。6、A【解析】试题分析：设，可得，，由的中点为，可得，由在椭圆上，可得，两式相减可得，整理得，故选A．考点：椭圆的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，当与弦的斜率及中点有关时，可以利用“点差法”，同时此类问题注意直线方程与圆锥曲线方程联立，运用判别式与韦达定理解决是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题．7、C【解析】

由，令，解得或，令，利用导数研究其单调性、极值，得出结论.【详解】，令，解得或，令，可得，当时，函数取得极小值，，所以当时，令，解得，此时函数只有一个极值点，当时，此时函数只有一个极值点1，满足题意，当时不满足条件，舍去.综上可得实数的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法、分类讨论思想，属于难题.8、C【解析】(1)若“或”是假命题，则是假命题p是真命题，是假命题是真命题，故且真命题,选项正确.(2)命题“若，则或”的逆否命题是若a=2,且b=3,则a+b=5.这个命题是真命题，故原命题也是真命题.（3）∵++=1，∴P，A，B，C四点共面，故（3）正确，（4）由双曲线方程得a=2，c=3，即直线l：y=k（x﹣3）过双曲线的右焦点，∵双曲线的两个顶点之间的距离是2a=4，a+c=2+3=5，∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，当k=0时2a=4，则满足|AB|=5的直线有2条，当直线与实轴垂直时，当x=c=3时，得，即=，即则y=±，此时通径长为5，若|AB|=5，则此时直线AB的斜率不存在，故不满足条件．综上可知有2条直线满足|AB|=5，故（4）错误，故答案为C.9、D【解析】

由二项式定义得到二项展开式的二项式系数和为，由此得到，然后求通项，化简得到常数项，即可得到答案.【详解】由已知得到，所以，所以展开式的通项为，令，得到，所以展开式的常数项为，故选D.【点睛】本题主要考查了二项展开式的二项式系数以及特征项的求法，其中熟记二项展开式的系数问题和二项展开式的通项是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10、C【解析】分析：先求出u,,再根据和正态分布曲线求114分以上的成绩所占的百分比.详解：由题得u=102,因为，所以.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线和概率的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2)利用正态分布曲线求概率时，要画图数形结合分析，不要死记硬背公式.11、A【解析】

根据是偶函数可以得出函数的对称轴，再根据函数在上单调递减可以得出函数在上的单调区间，从而解出不等式对任意的恒成立时的取值范围．【详解】是偶函数，所以得出函数的对称轴为，又因为函数在上单调递减，所以在上单调递增．因为，所以．因为不等式对任意的恒成立，所以．选择A【点睛】本题主要考查了函数的对称轴和奇偶性的综合问题，在解决此类题目时要搞清楚每一个条件能得出什么结论，把这些结论综合起来即得出结果．属于较难的题目．12、C【解析】

求出抛物线的焦点坐标，推出M的坐标，然后求解，得到答案．【详解】由题意，抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，若为的中点，如图所示，可知的横坐标为1，则的纵坐标为，故选C．【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先根据题意求函数解析式，再根据导数研究新函数性质，进而确定a的值．【详解】根据题意是上的单调函数，且在定义域内都有，则可知的值为一个常数C，即，故，解得，则函数解析式为，，即，构造新函数，求导得，函数单调递增，因为，，，故，又，所以．【点睛】本题考查求函数原函数和用导函数判断函数单调性，根据函数根的范围确定参数值，运用了零点定理，有一定的难度．14、216【解析】

分个位是0或者5两种情况利用排列知识讨论得解.【详解】当个位是0时，前面四位有种排法，此时共有120个五位数满足题意；当个位是5时，首位不能是0，所以首位有4种排法，中间三位有种排法，所以此时共有个五位数满足题意.所以满足题意的五位数共有个.故答案为：216【点睛】本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.15、【解析】分析：展开式中的系数为前一项中常数项与后一项的二次项乘积，加上第一项的系数与后一项的系数乘积的和，由此列方程求得的值.详解：，其展开式中含项的系数为，解得，故答案为.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.16、【解析】将直线及圆分别化成直角坐标方程：，．利用点到直线距离求出圆心到直线的距离为1．∴长等于三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

试题分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C的普通方程．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值．试题解析：⑴由得，∴由得⑵在上任取一点，则点到直线的距离为≤．∴当－1，即时，.考点：1.极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，2.点到直线距离公式.18、（1）（2）【解析】

（1）求得函数的导数，得到，，利用直线的点斜式方程，即可求解其切线的方程；（2）利用导数求得函数在单调递增，在单调递减，求得函数，进而由，即可求解的取值范围。【详解】（1）由题意，函数，则，可得，又，所以函数在点处的切线方程为。（2）因为，令，解得，当时，，当时，，所以函数在单调递增，在单调递减，所以，若，在恒成立，即恒成立，所以，所以的取值范围是。【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的恒成立问题，其中解答中熟记导数的几何意义，以及准确利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题。19、（1）；（2）见解析【解析】

由椭圆C：的离心率为，且过点，列方程给，求出，，由此能求出椭圆的标准方程；假设存在满足条件的点，设直线l的方程为，由，得，由此利用韦达定理、直线的斜率，结合已知条件能求出在x轴上存在点，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值1．【详解】椭圆C：的离心率为，且过点．，解得，，椭圆的标准方程为．假设存在满足条件的点，当直线l与x轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意，直线l的斜率k存在，设直线l的方程为，由，得，设，，则，，，要使对任意实数k，为定值，则只有，此时，，在x轴上存在点，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值1．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查满足两直线的斜率和为定值的点是否存在的判断与求法，考查椭圆、直线方程、斜率、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．20、（1）见解析；（2）．【解析】分析：此题建系比较容易，所以两问都用建系处理，以为坐标原点,分别以直线所在直线为轴,轴,轴，分别写出坐标，设，利用解得所以，所以平面；(2)计算平面法向量，所以即可解题详解：(1)如图,以为坐标原点,分别以直线所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系，易得,设,则，因为,所以，解得,即,又,,所以,所以,且，所以，又，所以平面.(2)，，，设平面的一个法向量，则即令，则，即，.点睛：空间向量是解决立体几何问题很好的方法，也是高考每年的必考考点，所以在遇到此类问题时要注意合理的建立坐标系，建系的原则要尽量使得更多的点落在坐标轴上，这样方便计算.21、（1），；合格等级的概率为；（2）中位数为；（3）【解析】

由题意求出样本容量，再计算x、y的值，用频率估计概率值；根据频率分布直方图，计算成绩的中位数即可；由茎叶图中的数据，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【详解】由题意知，样本容量，，；因为成绩是合格等级人数为：人，抽取的50人中成绩是合格等级的概率为，即估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为；根据频率分布直方图，计算成绩的中位数为