2022-2023学年广东省佛山市南海区、三水区九年级（上）期末数学试卷含解析

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图所示的几何体的主视图是()

A.

B.

C.

D.

2.关于的一元二次方程的一个根是，则的值为()

A.B.C.D.

3.如图，为菱形的对角线，已知，则等于()

A.B.C.D.

4.吴老师在演示概率试验时，连续随机抛掷一枚质地均匀的骰子，前次的结果是“”，则第次的结果是“”的概率是()

A.B.C.D.

5.反比例函数的图象经过点，则下列各点也在该函数图象上的是()

A.B.C.D.

6.已知、、、成比例，则的值为()

A.B.C.D.

7.以下命题正确的是()

A.有一组邻边相等的四边形是菱形B.有一个内角是直角的菱形是正方形

C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

8.关于的一元二次方程，以下说法正确的是()

A.没有实数根B.有两个相等实数根

C.有两个不相等实数根D.根的情况与的取值有关

9.如图，在中，，，将绕点旋转得，当、、在同一直线上时，，连接，则的长为()

A.

B.

C.

D.

10.如图，已知，分别为正方形的边、上的点，且，、分别交对角线于点、，则下列结论：；∽；；其中正确的结论有()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.如图，矩形的对角线和相交于点，若，则______．

12.小明同学在“测高”综合实践活动中发现：在一个阳光明媚的午后，身高的自己在阳光下的影长是，在同一时刻，阳光下旗杆的影长是，则旗杆高为______．

13.已知，是方程的两个实根，则______．

14.如图，一次函数和反比例函数的图象交于点，，若，则的取值范围是______．

15.如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，若为中点，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分

解方程：．

17.本小题分

一个不透明的盒子中放有除颜色外其他都相同的个小球，其中个红球，个白球，求从盒子中摸出两个小球颜色相同的概率请用画树状图或列表格的方法求解．

18.本小题分

“绿水青山就是金山银山”，为切实提高农户的收入，某村引进无花果种植项目，某农户原计划种植棵无花果树，一颗无花果树平均结无花果个为进一步增加收入，该农户现准备多种一些无花果树，实验发现：每多种棵无花果树，每棵无花果树的产量就会减少个，但多种的无花果树不超过棵，如果要使产量增加，那么应该多种多少棵无花果树？

19.本小题分

如图，在一条马路上有路灯灯泡在点处和小树，某天早上：，路灯的影子顶部刚好落在点处．

画出小树在这天早上：太阳光下的影子和晚上在路灯下的影子；

若以上点恰为的中点，小树高，求路灯的高度．

20.本小题分

直线与双曲线交于、两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为．

求反比例函数的解析式；

求的面积．

21.本小题分

如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．

求证：四边形是菱形．

若，，求四边形的面积．

22.本小题分

四边形为正方形，，点为直线上一点，射线交对角线于点，交直线于点．

如图，点在延长线上求证：；

是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．

23.本小题分

如图，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边、于、、不与重合，沿着将矩形折叠使、重合．

当点为中点时，求点的坐标，并直接写出与对角线的关系；

如图，连接，

的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；

当平分时，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：从正面看，是一个“田”字．

故选：．

找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

2.【答案】

【解析】解：把代入得，解得．

故选：．

根据一元二次方程的解的定义，把代入方程得，然后解关于的一次方程即可．

本题考查了一元二次方程的解，正确记忆能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题关键．

3.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，

，，

，

，

，

故选：．

直接利用菱形的性质可得的度数，利用角平分线的性质进而得出答案．

此题主要考查了菱形的性质，菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有条对称轴，分别是两条对角线所在直线．

4.【答案】

【解析】解：掷第次时有种等可能出现的结果，其中结果是“”的有种，

第次的结果是“”的概率是，

故选：．

直接由概率公式求解即可．

本题考查概率公式，理解题意和概率的意义是解题的关键．

5.【答案】

【解析】解：反比例函数的图象经过点，

．

A、，此点不在函数图象上；

B、，此点不在函数图象上；

C、，此点不在函数图象上；

D、，此点在函数图象上；

故选：．

先根据反比例函数的图象经过点求出的值，再对各选项进行逐一分析即可．求出的值，再对各选项进行逐一分析即可．

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

6.【答案】

【解析】解：、、、成比例，

：：，

，

解得：，

故选：．

根据比例的性质进行计算，即可解答．

本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：、有一组邻边相等的四边形不一定是菱形，原说法错误，不符合题意；

B、有一个内角是直角的菱形是正方形，正确，符合题意；

C、对角线相等的四边形不一定是矩形，原说法错误，不符合题意；

D、对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，原说法错误，不符合题意．

故选：．

根据菱形、平行四边形、矩形、正方形的判定分别判断得出即可．

本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

8.【答案】

【解析】解：，

关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根．

故选：．

先计算出判别式得到，然后根据判别式的意义判断根的情况．

本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．

9.【答案】

【解析】解：将绕点旋转得，

，，，

，

，

∽，

，

，

，

故选：．

根据旋转的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．

本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

10.【答案】

【解析】解：如图，把绕点顺时针旋转得到，

由旋转的性质得，，，，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，故正确；

，，

，

，

∽，故正确；

连接，

，，

∽，

，，

∽，

∽，

∽，

，

，故正确；

如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，

，，

，

是直角三角形，

同得≌，

，

，故正确．

本题正确的结论有：

故选：．

把绕点顺时针旋转得到，由旋转的性质得，，，，由已知条件得到，根据全等三角形的性质得到，则可求得正确；

根据三角形的外角的性质得到，由，可得，根据相似三角形的判定定理得到∽，故正确；

证明∽，∽，可得∽，根据相似三角形的性质得到，即可得，故正确；

作旋转三角形，只要证明≌，，即可解决问题．

此题是相似综合题，考查旋转的性质，相似三角形三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相似三角形，全等三角形的判定和性质是解此题的关键．

11.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，

，，

，

，

．

故答案为：．

根据矩形的对角线相等即可得出结果．

本题考查了矩形的性质；熟记矩形的对角线相等是解决问题的关键．

12.【答案】

【解析】解：根据题意可得：设旗杆高为．

根据在同一时刻身高与影长成比例可得：，

故．

答：旗杆高为米，

故答案为：．

利用在同一时刻身高与影长成比例计算．

本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度，体现了方程的思想．

13.【答案】

【解析】解：，是方程的两个实根，

，，

．

故答案为：．

根据根与系数的关系可得出、，再将展开代入数据即可得出结论．

本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系找出、本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程的系数找出两根之和与两根之积是关键．

14.【答案】或

【解析】解：把、两点的坐标分别代入，

得，

，解得，

根据函数图象可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方．

故答案为：或．

根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标即可得出结论．

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．

15.【答案】

【解析】解：设，，

为中点，

，

由题意可知，，

，

，

，即，整理得，，

，即．

故答案为：．

设，，根据为中点可知，由题意可知，，故AB，再由勾股定理即可得出结论．

本题考查的是比例线段及勾股定理，解题的关键是学会利用勾股定理构建关系式解决问题．

16.【答案】解：．

，

，

或，

所以，．

【解析】先移项得到，再把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．

本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

17.【答案】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中从盒子中摸出两个小球颜色相同的结果有种，

从盒子中摸出两个小球颜色相同的概率为．

【解析】画树状图，共有种等可能的结果，其中从盒子中摸出两个小球颜色相同的结果有种，再由概率公式求解即可．

本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

18.【答案】解：设应该多种棵无花果树，

根据题意列方程得：，

解得，，舍去．

答：应该多种棵无花果树．

【解析】每多种一棵无花果树，每棵无花果树的产量就会减少个，所以多种棵树每棵无花果树的产量就会减少个即是平均产个，无花果树的总共有棵，所以总产量是个．要使产量增加，达到个．

本题考查一元二次方程的应用，关键找出无花果树的增加量与无花果总产量的关系．

19.【答案】解：如图，连接，作，交直线于点，连接并延长交直线于点，

，

∽，

，

，

、分别为在这天早上：太阳光下的影子和晚上在路灯下的影子．

点为的中点，，

，

，

，

，，

∽，

，

，即，

答：路灯的高度为．

【解析】连接，作，交直线于点，连接并延长交直线于点，由∽，得，则，可知、分别为在这天早上：太阳光下的影子和晚上在路灯下的影子；

由，得，再证明∽，得，则．

此题重点考查平行线的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出图形并且证明∽及∽是解题的关键．

20.【答案】解：设点、，

将点、的横坐标分别代入反比例函数的表达式得：，

将点、的坐标分别代入一次函数表达式得：且，

联立并解得：，

则点、的坐标分别为、，

故反比例函数的表达式为：；

如图，设直线分别交轴和轴于点、，

由知，直线的表达式为：，

令，则，即点，

则的面积．

【解析】用待定系数法即可求解；

由的面积，即可求解．

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，面积的计算等，利用数形结合思想是解题的关键．

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，

，

，

，，

≌，

，

，

四边形是平行四边形，

，

四边形是菱形．

解：四边形是平行四边形，

，

四边形是菱形，

，，，，

，

，

．

【解析】由≌，推出，可知四边形是平行四边形，再根据可得结论；

利用勾股定理求出的长即可解决问题；

本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

22.【答案】证明：四边形为正方形，

，，，

，

≌，

，

，

，

，

，

∽，

，

；

解：存在点，使得是等腰三角形，

当点在延长线上时，设，

由知，，

当是等腰三角形时，

，

，

，

，

，

在中，，，

，

；

当点在上时，设，

当是等腰三角形时，

，

，

，

由知，≌，

，

，

，

四边形为正方形，

，

在中，，

，

，

，

．

综上，的长为或．

【解析】先证明≌，则，根据正方形的性质得，可得，再证∽，根据相似三角形的性质即可得出结论；

分两种情况：当点在延长线上时，当点在上时，根据等腰三角形的性质以及直角三角形的性质即可求解．

本题是四边形综合题，考查