第三章-概率论习题课课件

第三章多维随机变量及其分布习题课第三章多维随机变量及其分布习题课1例

1

为了进行吸烟与肺癌关系的研究，随机调查了23000个40岁以上的人，其结果列在下表之中.X=1若被调查者不吸烟,X=0若被调查者吸烟,Y=1若被调查者未患肺癌,Y=0若被调查者患肺癌.例1为了进行吸烟与肺癌关系的研究，X=12令:从表中的每一种情况出现的次数计算出它们的频率,就产生了二维随机向量(X,Y)的概率分布:P{X=0,Y=0}≈3/23000=0.00013,P{X=1,Y=0}≈1/23000=0.00004,P{X=0,Y=1}≈4597/23000=0.19987,P{X=1,Y=1}≈18399/23000=0.79996.令:从表中的每一种情况出现的次数计算出它们的频率,就产生了二3例2

一个袋中有三个球,依次标有数字1,2,2,从中任取一个,不放回袋中,再任取一个,设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以X,Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字,求(X,Y)的分布律与分布函数.

(X,Y)的可能取值为解例2一个袋中有三个球,依次标有数字1,2,2,4故(X,Y)的分布律为下面求分布函数.故(X,Y)的分布律为下面求分布函数.5第三章-概率论习题课ppt课件6第三章-概率论习题课ppt课件7所以(X,Y)

的分布函数为所以(X,Y)的分布函数为8例3

二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:X-101Y012

0.050.10.10.10.20.1a0.20.05求:(1)常数a的取值;(2)P(X≥0,Y≤1);(3)P(X≤1,Y≤1)例3二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:XY9(1)由∑pij=1得:a=0.1(2)由P{(X,Y)∈D}=得P(X≥0,Y≤1)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6(3)P(X≤1,Y≤1)=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.75(1)由∑pij=1得:a=0.1(2)由P{(X,10XY-10121P{X≥0,Y≤1}P(X≤1,Y≤1}XY-10121P{X≥0,Y≤1}P(X≤1,Y≤1}11例4

例412解解13(2)将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标,即有(2)将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标,即有14例5

若(X,Y)～试求:(1)常数A;(3)P（X≤x,Y≤y）；(4)P{(X,Y)∈D},其中D为2x+3y≤6.(2)P{X<2,Y<1};例5若(X,Y)～试求:(1)常数A;(3)P15所以,A=6=A/6=1所以,A=6=A/6=116XY0P{X<2,Y<1}21{X<2,Y<1}XY0P{X<2,Y<1}21{X<2,Y<1}17(3)xXY0y所以,当x≥0,y≥0时,(3)xXY0y所以,当x≥0,y≥0时,18(4)P{(X,Y)∈D},其中D为2x+3y≤6.322x+3y=6XY0(4)P{(X,Y)∈D},其中D为2x+3y≤6.32219解:

(1)例

6设(X,Y)的概率密度函数为其中A是常数.(1)求常数A.(2)求(X,Y)的分布函数；(3)计算P{0<X<4,0<Y<5}.解:(1)例6设(X,Y)的概率密度函数为其中A是常数20第三章-概率论习题课ppt课件21(3)P{0<X<4,0<Y<5}(3)P{0<X<4,0<Y<5}22解:例

7

设(X,Y)的分布律为求:分量X和Y的边缘分布.解:例7设(X,Y)的分布律为求:分量X和Y的边23把这些数据补充到前面表上:把这些数据补充到前面表上:24例8

已知(X,Y)的分布函数为求FX(x)与FY(y)。例8已知(X,Y)的分布函数为求FX(x)与FY(y25解例9

解例926第三章-概率论习题课ppt课件27第三章-概率论习题课ppt课件28例10设(X,Y)的联合密度为其中k为常数.求常数k;

P(X+Y1),P(X<0.5);联合分布函数F(x,y);边缘密度与边缘分布函数例10设(X,Y)的联合密度为其中k为常数.29y=x10xy解令D(1)y=x10xy解令D(1)30x+y=1y=x10xy(2)0.5x+y=1y=x10xyy=x10xy0.5x+y=1y=x10xy(2)0.5x+y=1y=31的分段区域y=x10xyD的分段区域y=x10xyD32当0

x<

1,0y<

x时，1(3)当x<0或y<0时,F(x,y)=0当0

x<1,xy<1时，v=u10uv当0x<1,0y<x时，1(3)当x<0或33当0

x<1,y1时，v=u10uv1当0x<1,y1时，v=u10uv134当x

1,0y<1时，v=u10uv1当x

1,y1时，当x1,0y<1时，v=u10uv1当x35F(x,y)=0,x<0或y<0y4,0

x<1,0y<

x2x2y2–y4,

0

x<1,x

y<12x2–x4,0x<1,y1y4,x

1,0y<11,x

1,y1F(x,y)=0,x<036(4)=0,x<0，2x2–x4,0

x<

1,1,x

10,y<0y4,0y<

1,

1,y1=(4)=0,x<0，2x2–37第三章-概率论习题课ppt课件38当然也可直接由联合密度求边缘密度，例如v=u10uv1当然也可直接由联合密度求边缘密度，例如v=u10uv139解:例11设随机变量(X,Y)的分布律为:P{X=0}P{Y=0}=0.20.00017≠0.00013=P{X=0,Y=0}∴X和Y不相互独立.讨论随机变量X与Y的独立性.解:例11设随机变量(X,Y)的分布律为:40解例12

解例1241(1)由分布律的性质知(1)由分布律的性质知42特别有又(2)因为X与Y相互独立,所以有特别有又(2)因为X与Y相互独立,所以有43例13设二维随机变量(X，Y)具有密度函数试求（1）常数C；（2）(X，Y)落在如下图所示的三角区域内D的概率；（3）关于X,Y的边缘分布并判断X,Y是否相互独立．解(1)由分布函数的性质，可得例13设二维随机变量(X，Y)具有密度函数试求（1）常数C；44故(2)故(2)45(3)关于X的边缘密度函数为当时，当时，故有(3)关于X的边缘密度函数为当时，当时46同理可求得关于Y的边缘密度函数为因为对任意的实数x,y，都有所以X,Y相互独立.同理可求得关于Y的边缘密度函数为因为对任意的实数x,y47例14设二维随机变量(X，Y)服从如图区域D上的均匀分布，求关于X,Y的边缘分布并判断X,Y是否相互独立．解由均匀分布的定义，(X，Y)的联合密度函数则关于X的边缘密度函数为例14设二维随机变量(X，Y)服从如图区域D上的均匀分布，48关于Y的边缘密度函数为所以X,Y不相互独立.关于Y的边缘密度函数为所以X,Y不相互独立.49例15

已知(X,Y)~Z=X+Y,求fZ(z)解法一分布函数法解法二图形定限法解法三不等式组法例15已知(X,Y)~Z=X+Y,求50解法一（分布函数法）

x+y=z当z<0时，1yx1解法一（分布函数法）x+y=z当z<0时，1yx151当0z<1时，yx11x+y=z•z•z当0z<1时，yx11x+y=z•z•z52x+y=z当1

z<2时，z-11yx1•z•zx+y=z当1z<2时，z-11yx1•z•z531yx1x+y=z22当2

z时，1yx1x+y=z22当2z时，54解法二（图形定限法）显然X,Y相互独立,且解法二（图形定限法）显然X,Y相互独立,且55z1z=xz-1=xx21z1z=xz-1=xx2156解法三（不等式组法）显然X,Y相互独立,且解法三（不等式组法）显然X,Y相互独立,且57x10z-1zz-1zz-1zz-1zx10z-1zz-1zz-1zz-1z58例16已知(X,Y)的联合密度为Z=X+Y,求fZ(z)解法一（图形定限法）例16已知(X,Y)的联合密度为Z=X+59zxz=xz=2xx=112当z<0或z≥2,zzzz当0≤z<1,当1≤z<2,fZ

(z)=0zxz=xz=2xx=112当z<0或60第三章-概率论习题课ppt课件61解法二（不等式组法）考虑被积函数取非零值的区域令不等式边边相等,解得z轴上的三个分界点0,1,2当或时不等式组无解当时不等式组解为当时不等式组解为解法二（不等式组法）考虑被积函数取非零值的区域令不等式边62第三章-概率论习题课ppt课件63解法三（积分换元法）令解法三（积分换元法）令642uzz=2uz=u+1z=u112uzz=2uz=u+1z=u1165z=2u