3 2离散型随机变量方差课件人教版选修

2.3.2

离散型随机变量的方差【课标要求】理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念和计算．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．【核心扫描】离散型随机变量的方差与标准差的概念和计算．(难点)离散型随机变量的均值意义与方差意义的区别与联系．(易混点)两点分布、二项分布的方差的求法．自学导引1．离散型随机变量的方差、标准差(1)定义：设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pni则(xi－E(X))2

描述了x

(i＝1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏n

(xi－E(X))2pi离程度，而

D(X)＝

i＝1

为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量

X

与其均值

E(X)的平均偏离程度．称

D(X)为随机变量

X

的方差，其算术平方根

D（X）为随机变量

X的标准差．意义：随机变量的方差和均值都反映了随机变量取值偏离于均值

的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．离散型随机变量方差的性质设a，b为常数，则D(aX＋b)＝

a2D(X)．想一想：你能类比样本数据方差的计算公式，理解离散型随机变量方差的计算公式吗？1

2

n提示

设

x

、x

、…、x

为样本的

n

个数据，－x

＝nx1＋…＋xn，则该样本数据的方差s2＝i＝1ni1n(x

－－x

)2·，由于－x

相当于离散1型随机变量中的E(X)，而相当于每个数据出现的频率(概n率)pi，故离散型随机变量X

的方差可定义为：nD(X)＝

(xi－E(X))2·pi(i＝1，2，…，n)．i＝12．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差XX服从两点分布X～B(n、p)D(X)p(1－p)(p为成功概率)np(1－p)2试一试：已知随机变量X～B(3，p)，D(X)＝3，你能求出p的值吗？提示

由已知得，3p(1－p)

2

p

1

2＝3，解得 ＝3或3.名师点睛对随机变量X的方差、标准差的理解随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的．随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中与离散程度．D(X)越小，稳定性越高，波动越小．标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．数学期望与方差的关系数学期望和方差是描述随机变量的两个重要特征．数学期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均值，而方差表现了随机变量所取的值相对于数学期望的集中与离散的程度．E(X)是一个实数，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X的取值的平均水平，D(X)表示随机变量

X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越

大，说明X的取值越分散，反之，D(X)越小，X的取值越集中．D(X)与E(X)一样也是一个实数，由X的分布列唯一确定

(当然方差是建立在数学期望这一概念上的)．方差的性质当a，b均为常数时，随机变量函数η＝aξ＋b的方差D(η)＝D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．特别地：当a＝0时，D(b)＝0，即常数的方差等于0；当a＝1时，D(ξ＋b)＝D(ξ)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身；当b＝0时，D(aξ)＝a2D(ξ)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积．题型一 求离散型随机变量的方差【例1】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．[思路探索](1)根据题意，由古典概型概率公式求出分布列，再利用均值，方差公式求解．(2)运用E(η)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝a2D(ξ)求a，b.解

(1)ξ的分布列为：ξ01234P12

1

20

1

10

3

2015则E(ξ)＝020

10

201

1

1

3

1×2＋1×

＋2×

＋3×

＋4×5＝1.5.D(ξ)＝(0－1.5)212

20

10×

＋(1－1.5)2×

1

＋(2－1.5)2×

1

＋(3－1.5)2×

3

＋(4－1.5)2120

5×

＝2.75.(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，得a＝±2.又E(η)＝aE(ξ)＋b，所以当a＝2

时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2

时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.所以b＝－2或a＝2，

a＝－2，b＝4即为所求．规律方法求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列，而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果．同时还能正确求出每一个结果出现的概率．已知X的分布列为【变式1】求：(1)E(X)，D(X)；(2)设Y＝2X＋3，求E(Y)，D(Y)．1

12

30

1116

3解

(1)E(X)＝－1×

＋

×

＋

×

＝－

，12

121

13

2

3

3

3

121

56

9D(X)＝－1＋

×

＋0＋

×

＋1＋

×

＝

.(2)E(Y)＝2E(X)＋373＝

，D(Y)＝4D(X)＝209.X－101P121316题型二 两点分布与二项分布的方差【例2】

为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了

n

株沙柳．各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为

p，设

ξ

为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)为3，标准差D（ξ）为26.求n和p

的值，并写出ξ

的分布列；若有3

株或3

株以上的沙柳未成活，则需要补种．求需要补种沙柳的概率．[思路探索]判断某一离散型随机变量是否服从二项分布，是利用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)的先决条件．解

由题意知，ξ

服从二项分布

B(n，p)，nk

kP(ξ＝k)＝C

p

(1—n

k－p)

，k＝0，1，…，n.32(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝，12得1－p＝，从而2n＝6，p＝1.ξ的分布列为(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)，得P(A)＝1＋6＋15＋202164

32＝

，或P(A)＝1－P(ξ＞3)＝1－15＋6＋16421

21＝32.所以需要补种沙柳的概率为32.ξ0123456P

1

64

6

64156420641564

6

64

1

64规律方法

记准方差的性质：D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)．若ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)．【变式2】设一次试验的成功率为p，进行100次独立重复试验，求当p为何值时，成功次数的标准差的值最大？并求其最大值．解

设成功次数为随机变量

X，由题意可知X～B(100，p)，则D（X）＝

100p（1－p）.因为D(X)＝100p(1－p)＝100p－100p2，把上式看作一个以p

为自变量的二次函数，1易知当p＝时，D(X)有最大值为25.2所以D（X）的最大值为5.1即当p＝2时，成功次数的标准差的值最大，最大值为5.A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为题型三 均值与方差的综合应用【例3】X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，

f(x)取得最小值．(注：D(aX＋b)＝a2D(X))[规范解答](1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3(2分)(4分)E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4.E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.(6分)(2)f(x)＝D

x

100

Y1＋D100－x

100

Y2＝

100

x

2D(Y1)

＋

100

100－x

2D(Y2)

＝

4

1002

22

[x

＋

3(100

－

x)

]

＝10

000

4

(4x2－600x＋30

000)，(9

分)2×4所以当x＝

600

＝75

时，f(x)取最小值为3.(12

分)【题后反思】解均值与方差的综合问题时的注意事项(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其解题的关键是求出分布列；在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算；在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一些复杂的计算．若随机变量X服从两点分布、二项分布可直接利用对应公式求解．【变式3】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．求X的分布列；求X的均值与方差；求“所选3人中女生人数X≤1”的概率．解

(1)X

可能的取值为

0，1，2.P(X＝k)＝2C

·C—43C6k

3

k，k＝0，1，2.X

的分布列X012P153515(2)由(1)，X

的均值与方差为511

315

5E(X)＝0×

＋

×

＋

×

＝2

1.D(X)＝(0－1)2

1

(1－1)2×3

(1－2)2

1

2×5＋

5＋

×5＝5.(3)由(1)，“所选3

人中女生人数X≤1”的概率为45P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝

.误区警示 忽略对方差的比较致误【示例】某农科院对两个优良品种甲、乙在相同的条件下进行对比实验，100公顷的产量列表如下：甲：每公顷产量(吨)9.49.59.810.2公顷数11324215乙：每公顷产量(吨)9.29.51011公顷数35203