全等三角形专题：构造全等三角形方法总结

全等三角形专题：构造全等三角形方法总结专题：构造全等三角形利用三角形的中线来构造全等三角形（倍长中线法）倍长中线法即将中线延长一倍，来构造全等三角形。1、如图1，在△ABC中，AD是中线，BE交AD于点F，且AE＝EF。现试说明线段AC与BF相等的理由。简析：由于AD是中线，可延长AD到G，使DG＝AD，连结BG。在△ACD和△GBD中，AD＝GD，∠ADC＝∠GDB，CD＝BD，所以△ACD≌△GBD（SAS）。因此，AC＝GB，∠CAD＝∠G，而AE＝EF，所以∠CAD＝∠AFE。又∠AFE＝∠BFG，所以∠BFG＝∠G，所以BF＝BG，所以AC＝BF。通常，要说明线段或角相等，可以说明它们所在的两个三角形全等，而遇到中线时，可以通过延长中线来构造全等三角形。2、利用三角形的角平分线来构造全等三角形法一：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。在AB上截取AE=AC，连结DE。可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。法二：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。延长AC到F，使AF=AB，连结DF。可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。法三：在△ABC中，AD平分∠BAC。作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。也可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证明DM=DN。3、已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证∠A+∠C=180°。法一：在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。法二：延长BA到F，使BF=BC，连结DF。由已知条件可得BD是∠ABC的角平分线。因此，∠1=∠2。在△ABD和△EBD中，AB=EB，∠1=∠2，BD=BD，因此△ABD≌△EBD（SAS）。在△BFD和△BCD中，BF=BC，∠1=∠2，BD=BD，因此△BFD≌△BCD（SAS）。因此，∠A+∠C=∠BED+∠BFD=180°。使得△ADE与△ABC全等（S.A.S），则∠A＝∠D，∠C＝2∠B，又∠D＝90°，所以∠A＋∠B＋∠C＝180°，即∠B＝40°，∠C＝80°，∠A＝60°．由正弦定理可得：$\frac{BD}{\sin80°}=\frac{AB}{\sin60°}$，即$BD=\frac{AB\sin80°}{\sin60°}$又因为$AC+CD=AB\cosB+BD\cosB=AB\cosB+\frac{AB\sin80°}{\sin60°}\cosB=AB(\cosB+\frac{\sin80°}{\sin60°}\cosB)$因此，比较$BD$和$AC+CD$的大小，即比较$\frac{\sin80°}{\sin60°}$和$\cosB+\frac{\sin80°}{\sin60°}\cosB$的大小。由于$0°<B<90°$，所以$\cosB>0$，因此$\cosB+\frac{\sin80°}{\sin60°}\cosB>\frac{\sin80°}{\sin60°}$，即$AC+CD>BD$。因此，线段$BD$比$AC+CD$小。证明：首先，根据三角形外角定理可得，∠3=∠B+∠4=2∠B，进而得到∠C=2∠B。接着，延长AC到F，使CF=CD，连结DF。由已知可得AD是∠BAC的角平分线，因此∠1=∠2。又因为AB=AC+CD，CF=CD，所以AB=AC+CF=AF。在△ABD和△AFD中，根据SAS准则可得△ABD≌△AFD，进而得到∠F＝∠B。再根据CF=CD可得∠B=∠3，结合三角形外角定理可得∠ACB=2∠B，代入∠C=2∠B中可得∠ACB=∠C。因此，△ABC中的两个角相等，所以BC=AC。最后，根据三角形内角和定理可得AD+AB=∠1+∠B+∠B+∠2=∠ACB+∠C+∠B=BC，证毕。证明：根据MN∥PQ可得△ADM∼△CBP和△ABN∼△DQC。由角平分线定理可得∠BAN=∠QBA，因此AB=AN+NB=AD+NB。又因为MN∥PQ，所以△ADM∼△CBP中有AD/CP=DM/BP，即AD=CP×DM/BP。同理，△ABN∼△DQC中有NB=CQ×DN/BD，代入AB=AD+NB中可得AB=CP×DM/BP+CQ×DN/BD。又因为BE平分∠QBA，所以∠ABE=∠QBE，因此△ABE∼△QBE中有AB/QB=AE/BE，即AB=CQ×AE/BE。综上可得AB=CP×DM/BP+CQ×DN/BD=CQ×AE/BE，即AD+AB=BC，证毕。证明：由AE⊥BC可得△ADE∼△ABC，因此AD/AB=AE/AC。又因为BD是∠ABC的角平分线，所以AD/AB=CD/CB，即AE/AC=CD/CB。由GF∥BC可得△GFC∼△ABC，因此FC/BC=GF/AC。结合前面的等式可得FC/AB=GF/CD。又因为△ADE∼△ABC，所以AE/AC=DE/BC，即GF