【解析】北京市汇文中学2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

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北京市汇文中学2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

一、单选题

1．（2023八下·北京市期中）下列各式中，哪个是最简二次根式（）

A．B．C．D．

2．（2023八下·大理期末）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（）

A．1，2，2B．1，，2C．4，5，6D．1，1，

3．（2023八下·北京市期中）如图，在平行四边形中，若，则的度数为（）

A．B．C．D．

4．（2023八下·怀安期末）下列计算中，正确的是（）

A．B．C．D．

5．（2023八下·汉阳期中）如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是()

A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判断

6．（2023八下·海淀期末）如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是（）

A．8mB．10mC．12mD．15m

7．（2023八下·北京市期中）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（）

A．9cmB．12cmC．15cmD．18cm

8．（2023八下·门头沟期末）下列命题正确的是（）．

A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B．对角线相等的四边形是矩形

C．有一组邻边相等的四边形是菱形

D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形

9．（2023八下·北京市期中）如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，则DF的长为（）

A．1B．2C．3D．4

10．（2023八下·北京市期中）老师布置了任务：过直线上一点C作的垂线．在没有直角尺的情况下，嘉嘉和淇淇利用手头的学习工具给出了如图所示的两种方案，下列判断正确的是（）

方案Ⅰ：①利用一把有刻度的直尺在上量出．②分别以D，C为圆心，以和为半径画圆弧，两弧相交于点E．③作直线，即为所求的垂线．方案Ⅱ：取一根笔直的木棒，在木棒上标出M，N两点．①使点M与点C重合，点N对应的位置标记为点Q．②保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在上，将旋转后点M对应的位置标记为点R．③将延长，在延长线上截取线段，得到点S．④作直线，即为所求直线．

A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行

C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行

二、填空题

11．（2023八下·北京市期中）若有意义，请写出符合条件的一个x的值：．

12．（2023八下·北京市期中）计算的结果为．

13．（2023八下·北京市期中）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为20m，则A，B两点间的距离为m．

14．（2023八下·北京市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B=25°，D是AB的中点，则∠ADC＝．

15．（2023八下·北京市期中）如图，在数轴上点A表示的实数是__．

16．（2023八下·北京市期中）如图，在菱形中，E，F，G，H分别是边，，和的中点，连接，，和．若，，则菱形的面积为．

17．（2022八下·五常期末）若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，则n的值为．

18．（2023八下·北京市期中）已知为实数，记，

（1）当时，的值为．

（2）的最小值为．

三、解答题

19．（2023八下·北京市期中）计算

（1）

（2）

（3）

（4）

20．（2023八下·北京市期中）下面是小铭设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．

已知：四边形是平行四边形．

求作：菱形（点在上，点在上）．

作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点；

②以为圆心，长为半径作弧，交于点；

③连接．

所以四边形为所求作的菱形．

（1）根据小铭的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：∵，，

∴▲＝▲，

在中，，

即，

∴四边形为平行四边形（）（填推理的依据）

∵，

∴四边形为菱形（）（填推理的依据）

21．（2023八下·北京期中）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC、AB于点D、E.

（1）求证：△ABC为直角三角形．

（2）求AE的长．

22．（2023八下·北京市期中）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．

（1）求证：四边形BFDE是矩形；

（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长．

23．（2023八下·北京市期中）海伦公式是利用三角形三条边长求三角形面积的公式，用符号表示为：（其中a，b，c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）．利用上述材料解决问题：当，，时．

（1）直接写出p的化简结果为．

（2）写出计算S值的过程．

24．（2023八下·北京市期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1，以格点为顶点分别按下列要求画图．

（1）在图①中，画一个正方形，使它的边长为；

（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；

（3）在图③中，画一个三角形，使它的三边长分别为，，5，并直接写出该三角形最长边上的高的长度．

25．（2023八下·北京市期中）某同学在解决问题：已知，求的值．

他是这样分析与求解的：

先将进行分母有理化，过程如下，

，

∴，

∴，，

∴，

∴．

请你根据上述分析过程，解决如下问题：

（1）若，请将进行分母有理化；

（2）在（1）的条件下，求的值；

（3）在（1）的条件下，求的值

26．（2023八下·北京市期中）三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以为例，大致过程如下：

第一步：将原方程变形为．即．

第二步：构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示．

第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示．

第四步：

将大正方形边长用含的代数式表示为____．

小正方形边长为常数____，

长方形面积之和为常数____．

由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程____，两边开方可求得，．

（1）第四步中横线上应依次填入，，，；

（2）请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程．

27．（2023八下·北京市期中）现有正方形和一个直角．

（1）如图1，若点与点重合，射线交延长线于，射线交正方形的边于，则与的数量关系是，请证明你的结论；

（2）如图2，若点在正方形的对角线上，射线交延长线于，射线恰好经过点，则与的数量关系是，请证明你的结论；

（3）若在正方形所在平面内任意移动，射线交直线于点，射线交直线于点，若与始终保持相等，请你直接写出点所有可能的位置．

28．（2023八下·北京市期中）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点，给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．

（1）如图1，已知点P的坐标为，在点，，中，与点P是“等距点”的有；

（2）如图2，菱形四个顶点的坐标为，

①当时，点N为菱形的边上一个动点，令点N到x、y轴的距离中的最大值为，则的取值范围是；

②当时，点F为菱形的边上一个动点，若平面中存在一点E，使得E，F两点为“等距点”．在图3中画出点E的轨迹，并计算该轨迹所形成图形的面积；

③我们规定：横纵坐标均为整数的点是整点．若菱形的边过定点，点F为菱形的边上一个动点，平面中存在一点E，使得E，F两点为“等距点”，若菱形内部（不含边界）恰有9个整点，直接写出点E的轨迹所覆盖整点的个数．

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】最简二次根式

【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

B.、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

C、是最简二次根式，故此选项符合题意；

D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．

故答案为：C．

【分析】

最简二次根式的概念：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．一般解题方法是：只要被开方数中是分数或小数，一定不是最简二次根式；被开方数中含有能开得尽方的因数，也一定不是最简二次根式．

2．【答案】B

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、12+22≠22，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；

B、12+（）2=22，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确；

C、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；

D、12+12≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误.

故答案为：B.

【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系满足较小两边的平方和等于较大边长的平方的时，则该三角形为直角三角形，从而一一判断得出答案.

3．【答案】A

【知识点】平行四边形的性质

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，AD//BC，

∴∠A+∠B=180°，

把∠B=2∠A代入得：3∠A=180°，

∴∠A=60°，

∴∠C=∠A=60°，故A正确．

故答案为：A．

【分析】根据平行四边形的性质得出，将代入求出的度数.

4．【答案】C

【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法

【解析】【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算不符合题意；

B.2与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算不符合题意；

C．，此选项计算符合题意；

D.2与﹣2不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意；

故答案为：C．

【分析】根据二次根式的运算法则即可得出。

5．【答案】B

【知识点】菱形的判定

【解析】【解答】如图，作DF⊥BC,BE⊥CD,

由已知可得，AD∥BC,AB∥CD

∴四边形ABCD是平行四边形.

在Rt△BEC和Rt△DFC中

∴Rt△BEC≌Rt△DFC，

∴BC=DC

∴四边形ABCD是菱形.

故答案为：B

【分析】作DF⊥BC,BE⊥CD,先证四边形ABCD是平行四边形.再证Rt△BEC≌Rt△DFC，得，BC=DC，所以，四边形ABCD是菱形.

6．【答案】C

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【解答】解：设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，如图，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+52=（x+1）2，

解得：x=12，

∴旗杆的高度为12m．

故答案为：C．

【分析】设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，根据勾股定理可得x2+52=（x+1）2，再求出x的值即可。

7．【答案】D

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【解答】解：如图所示：

AB=12cm，BC=9cm，

在Rt△ABC中：AC==15（cm），

则这只铅笔的长度大于15cm．

故答案为：D．

【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长

8．【答案】D

【知识点】真命题与假命题

【解析】【解答】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以A选项为假命题；

B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；

C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；

D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，所以D选项为真命题．

故答案为：D．

【分析】

A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

B、对角线相等的平行四边形是矩形

C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形

D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形

9．【答案】B

【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：∵点D、点E分别是AB，AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE＝BC，

∵BC＝12，

∴DE＝6，

在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝8，

∴FE＝AC＝4，

∴DF＝DE﹣FE＝6﹣4＝2，

故答案为：B．

【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得FE，即可．

10．【答案】C

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：方案Ⅰ：根据作图可知，CE=40cm，DE=50cm，

∵CD=30cm，

∴302+402=502，

∴CD2+CE2=DE2，

∴△CDE为直角三角形，

∴∠DCE=90°，

∴EC⊥AB，

∴方案Ⅰ可行；

方案Ⅱ：根据作图可知，CQ=RQ=SQ，

∴∠CRQ=∠RCQ，∠CSQ=∠SCQ，

∵∠CRQ+∠RCQ+∠CSQ+∠SCQ=180°，

∴∠RCQ+∠SCQ=×180°=90°，

∴∠RCS=90°，

∴SC⊥AB，

∴方案Ⅱ可行；

故答案为：C．

【分析】方案Ⅰ：连接DE，根据勾股定理逆定理证明△CDE为直角三角形，即可证明EC⊥AB；方案Ⅱ：根据CQ=RQ=SQ，得出∠CRQ=∠RCQ，∠CSQ=∠SCQ，求出∠RCQ+∠SCQ=×180°=90°，即∠RCS=90°，得出SC⊥AB.

11．【答案】2（答案不唯一）

【知识点】二次根式有意义的条件

【解析】【解答】解：∵有意义，

∴x-1≥0，即x≥1，

∴x的值为2，

故答案为：2（答案不唯一）．

【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可．

12．【答案】2023

【知识点】二次根式的性质与化简

【解析】【解答】解：

故答案为：2023

【分析】根据二次根式的性质（）即可求解．

13．【答案】40

【知识点】三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：∵点D，E分别是BC和AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，DE＝20m，

∴AB＝2DE＝2×20＝40（m）．

故答案为：40．

【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2DE，问题得解．

14．【答案】50°

【知识点】直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，

∴CD＝BD，

∴∠DCB＝∠B，

∵∠B＝25°，

∴∠DCB＝25°，

∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝50°，

故答案为：50°．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出CD＝BD，根据等腰三角形的性质求出∠DCB＝∠B，再根据三角形的外角性质求出答案即可．

15．【答案】

【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理的应用

【解析】【解答】解：如图，

勾股定理可得

OA=OB=

故答案为：．

【分析】根据勾股定理求出OB的长度，然后根据点A在数轴上的位置即可解答．

16．【答案】16

【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：连接AC、BD，交于点O，如图所示：

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，

∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD和DA的中点，

∴EF=AC，EH=BD，

∵EH=4，EF=2，

∴AC=4，BD=8，

∴S菱形ABCD=AC×BD=16．

故答案为：16．

【分析】连接AC、BD，交于点O，根据中位线的性质求出AC=4，BD=8，根据菱形面积公式求出菱形ABCD的面积

17．【答案】2

【知识点】勾股定理

【解析】【解答】解：由题意得：（n＋1）2＋（n＋2）2＝（n＋3）2，

解得：n1＝2，n2＝－2（不合题意，舍去）．

故答案为2．

【分析】根据题意先求出（n＋1）2＋（n＋2）2＝（n＋3）2，再作答即可。

18．【答案】（1）

（2）

【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题

【解析】【解答】解：（1）当x=y=0时，

=；

故答案为：．

（2）

=

设P(x，0)，Q(0，y)，A(3，1)，B(2，6)，

如图所示，

作B关于y轴的对称点B'，作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B'与x轴交于点P，与y轴交于点Q，A'B'即为所求，

∴B'(-2，6)，A'(3，-1)，

M=QB+QP+AP≥A'B'=

故答案为：．

【分析】（1）将x=y=0时，代入M进行计算即可得到答案；

（2）设P(x，0)，Q(0，y)，A(3，1)，B(2，6)，在直角坐标系中画出图，根据最短路径模型，作对称点即可得到答案。

19．【答案】（1）解：

（2）解：

（3）解：

（4）解：

【知识点】二次根式的混合运算

【解析】【分析】（1）（2）（3）根据二次根式的加减乘除混合运算进行计算；

（4）根据平方差公式计算即可.

20．【答案】（1）解：如图所示：

菱形即为所求．

（2）解：∵，，

∴AE＝BF，

在中，，

即，

∴四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

∵，

∴四边形为菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形），

【知识点】菱形的判定与性质

【解析】【分析】（1）根据要求画出图形即可．

（2）利用平行四边形的判定及性质和菱形的判定填写理由．

21．【答案】（1）证明：∵△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，

又∵42+32=52，

即AB2+AC2=BC2，

∴△ABC是直角三角形；

（2）证明：连接CE．

∵DE是BC的垂直平分线，

∴EC=EB，

设AE=x，则EC=4-x．

∴x2+32=（4-x）2．

解之得x=，即AE的长是．

【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形可得△ABC是直角三角形；（2）根据线段垂直平分线的性质可得BE=CE，设AE=x，则EC=4-x，根据勾股定理可得x2+32=（4-x）2，再解即可．

22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，

∵DF＝BE，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°，

∴四边形BFDE是矩形；

（2）解：∵四边形BFDE是矩形，

∴∠BFD＝90°，

∴∠BFC＝90°，

在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4，

∴BC＝5，

∵AF平分∠DAB，

∴∠DAF＝∠BAF，

∵AB∥DC，

∴∠DFA＝∠BAF，

∴∠DAF＝∠DFA，

∴AD＝DF，

∵AD＝BC，

∴DF＝BC，

∴DF＝5．

【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定与性质

【解析】【分析】（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；

（2）根据勾股定理求出BC长，求出AD＝DF，即可得出答案。

23．【答案】（1）

（2）解：∵，，，，

∴

．

【知识点】二次根式的性质与化简

【解析】【解答】（1）解：∵，，，

∴，

故答案为：．

【分析】（1）根据题目中提供的信息，代入数据根据二次根式的性质化简即可；

（2）根据题目中的面积公式，代入数据根据二次根式的性质化简求值即可。

24．【答案】（1）解：如图①，正方形即为所求，

；

（2）解：如图②，即为所求，

；

（3）如图③，即为所求，

，

2

【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用

【解析】【解答】（3）解：∵AB=，

∴AB2+BC2=AC2，

∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，

三角形最长边上的高的长度为：

【分析】（1）根据勾股定理得出正方形的边长，即可得到图形；

（2）构造边长为3，4，5的直角三角形即可；

（3）根据勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，再根据三角形的面积计算公式进行计算即可得到答案．

25．【答案】（1）解：．

（2）解：∵，

∴，，

∴，

∴．

（3）解：根据（2）可知，，

∴

．

【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值

【解析】【分析】1）按照分母有理化的方法进行解答即可；

（2）根据可得，进而根据完全平方公式即可求解；

（3）根据（2）可知，，则，将代入即可求解．

26．【答案】（1）；2；12；

（2）解：第一步：将原方程变形为，即，

第二步：构造成一个长为，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为3，

第三步：用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，如图所示，

，

第四步：

将大正方形边长用含的代数式表示为，

小正方形边长为常数，

长方形面积之和为常数，

由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，

得方程，

两边开方可求得，．

【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的应用-几何问题

【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：

大正方形的边长为：[x+(x-2)]，

小正方形的边长为：[x+(x-2)]-2(x-2)=2，

长方形面积之和为：4×3=12，

∵大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，

故答案为：，2，12，．

【分析】（1）根据题意，大正方形的边长为[x+(x-2)]，小正方形的边长为[x+(x-2)]-2(x-2)=2，求得长方形面积之和，再结合图形根据由大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和列出方程即可得到答案；

（2）先将原方程变形，构造出一个长为x，宽为(x-1)的长方形，长比宽大1，且面积为3，同（1）的方法，得出一个方程，解方程即可得到答案。

27．【答案】（1）解：，

证明：四边形是正方形，

，

，

，

，

在和中，

，

，

，；

（2）解：，

证明：如图，作，交于，

，

四边形是正方形，

，

，

为等腰直角三角形，

，，

，即，

在和中，

，

，

，

，

；

（3）点在直线上时，与始终保持相等

【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质

【解析】【解答】（3）解：当点O在线段AC上时，如图所示，

作OQ⊥CD交CD于Q，作OP⊥BC交BC于P，

则∠OPC=∠OQC=90°，

由正方形的性质可得：∠OCP=∠OCQ=45°，

在△OPC和△OQC中，

∴△OPC≌OQC(AAS)，

∴OQ=OP，

∵∠POE+∠EOQ=90°，∠EOQ+∠FOQ=90°，

∴∠POE=∠QOF，

在△OPE和△OQF中，

∴OE=OF，

∴当点O在线段AC上时，OE与OF始终保持相等，

当点O在射线AC上时，如图所示，

作OK⊥CF交CF于K，OJ⊥BE交BE于J，

则∠OKF=∠OJE=90°，四边形OKCJ为矩形，

由正方形的性质和对顶角的性质可得：∠OCK=∠OCJ=45°，

在△OKC和△OJC中，

∴△OKC≌OJC(AAS)，

∴OK=OJ，

∵∠JOE+∠JOF=90°，∠KOF+∠FOJ=90°，

∴∠JOE=∠KOF，

在△OJE和△OKF中，

∴△OJE≌△OKF(ASA)，

∴OE=OF，

∴当点O在AC的延长线上时，OE与OF始终保持相等，

同理可得：当点O在CA的延长线上时，OE与OF始终保持相等，

综上所述，当点O在直线AC上时，OE与OF始终保持相等．

【分析】（1）根据AAS证明△EAB≌△DAF即可；

（2）作OF⊥AC，交BC于F，证明△FOE≌△COD(ASA)，即可得到结论；

（3）分两种情况讨论，①当点O在线段AC上时，作OQ⊥CD交CD于Q，作OP⊥BC交BC于P，证明△OPC≌OQC(AAS)和△OPE≌△OQF(ASA)，即可得到OE与OF始终保持相等，当点O在AC的延长线上时，作OK⊥CF交CF于K，OJ⊥BE交BE于J，通过证明△OKC≌OJC(AAS)和△OJE≌△OKF(ASA)，即可得到OE与OF始终保持相等，②同理可得，当点O在CA的延长线上时，OE与OF始终保持相等。

28．【答案】（1）、

（2）解：①

②根据①的方法可得：点F到x、y轴的距离中的最大值的取值范围为：

设点，则，．

∴如图：阴影部分为点F的轨迹，该轨迹所形成图形的面积为；

③根据题意画出图形如下：根据①的方法可得：点F到x、y轴的距离中的最大值的取值范围为：

设点，则，

∴如图：阴影部分为点F的轨迹，则点E的轨迹所覆盖整点的个数个．

【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质

【解析】【解答】(1)解：∵点P的坐标为(-4，1)，

∴点P到x、y轴的距离中的最大值等于4，

∵点Q1(4，0)到x、y轴的距离中的最大值等于4，点Q2(2，2)到x、y轴的距离中的最大值等于2，点Q3(-3，-4)到x、y轴的距离中的最大值等于4，

∴点P的“等距点”的是Q1、Q3，

故答案为Q1、Q3．

解：①∵a=b=5

∴C(5，0)，D(0，5)

∴OD=5，OC=5，四边形ABCD是正方形，

∴当N与C或D重合时，dN有最大值5

如图：过O作OE⊥DC

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ODC=∠OCD=45°

∴OE=EC，OE=DC

∴DE=EC

过E作EG⊥OC，则DF=OF

∴EF=OC=；同理：EG=

∴当N在E点时，dN有最小值

∴dN的取值范围为．

故答案为．

【分析】（1）根据"等距点”的定义判断，根据点到坐标轴的距离，即可解答；

（2）①根据点到坐标轴的距离的定义确定的最值即可解答；

②先求得点F到x、y轴的距离中的最大值的取值范围为3≤dF≤6，设点E(c，d)，根据新定义可得3≤|c|≤6、3≤|d|≤6，然后画出轨迹区域确定面积即可；

③根据题意可得取值范围为2≤dF≤4，设点E(c，d)，根据新定义可得2≤|c|<4、2≤|d|<4，然后画出轨迹区域即可解答．

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北京市汇文中学2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

一、单选题

1．（2023八下·北京市期中）下列各式中，哪个是最简二次根式（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】最简二次根式

【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

B.、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

C、是最简二次根式，故此选项符合题意；

D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．

故答案为：C．

【分析】

最简二次根式的概念：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．一般解题方法是：只要被开方数中是分数或小数，一定不是最简二次根式；被开方数中含有能开得尽方的因数，也一定不是最简二次根式．

2．（2023八下·大理期末）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（）

A．1，2，2B．1，，2C．4，5，6D．1，1，

【答案】B

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、12+22≠22，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；

B、12+（）2=22，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确；

C、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；

D、12+12≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误.

故答案为：B.

【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系满足较小两边的平方和等于较大边长的平方的时，则该三角形为直角三角形，从而一一判断得出答案.

3．（2023八下·北京市期中）如图，在平行四边形中，若，则的度数为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】平行四边形的性质

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，AD//BC，

∴∠A+∠B=180°，

把∠B=2∠A代入得：3∠A=180°，

∴∠A=60°，

∴∠C=∠A=60°，故A正确．

故答案为：A．

【分析】根据平行四边形的性质得出，将代入求出的度数.

4．（2023八下·怀安期末）下列计算中，正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法

【解析】【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算不符合题意；

B.2与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算不符合题意；

C．，此选项计算符合题意；

D.2与﹣2不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意；

故答案为：C．

【分析】根据二次根式的运算法则即可得出。

5．（2023八下·汉阳期中）如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是()

A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判断

【答案】B

【知识点】菱形的判定

【解析】【解答】如图，作DF⊥BC,BE⊥CD,

由已知可得，AD∥BC,AB∥CD

∴四边形ABCD是平行四边形.

在Rt△BEC和Rt△DFC中

∴Rt△BEC≌Rt△DFC，

∴BC=DC

∴四边形ABCD是菱形.

故答案为：B

【分析】作DF⊥BC,BE⊥CD,先证四边形ABCD是平行四边形.再证Rt△BEC≌Rt△DFC，得，BC=DC，所以，四边形ABCD是菱形.

6．（2023八下·海淀期末）如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是（）

A．8mB．10mC．12mD．15m

【答案】C

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【解答】解：设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，如图，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+52=（x+1）2，

解得：x=12，

∴旗杆的高度为12m．

故答案为：C．

【分析】设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，根据勾股定理可得x2+52=（x+1）2，再求出x的值即可。

7．（2023八下·北京市期中）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（）

A．9cmB．12cmC．15cmD．18cm

【答案】D

【知识点】勾股定理的应用

【解析】【解答】解：如图所示：

AB=12cm，BC=9cm，

在Rt△ABC中：AC==15（cm），

则这只铅笔的长度大于15cm．

故答案为：D．

【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长

8．（2023八下·门头沟期末）下列命题正确的是（）．

A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B．对角线相等的四边形是矩形

C．有一组邻边相等的四边形是菱形

D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形

【答案】D

【知识点】真命题与假命题

【解析】【解答】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以A选项为假命题；

B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；

C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；

D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，所以D选项为真命题．

故答案为：D．

【分析】

A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

B、对角线相等的平行四边形是矩形

C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形

D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形

9．（2023八下·北京市期中）如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，则DF的长为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：∵点D、点E分别是AB，AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE＝BC，

∵BC＝12，

∴DE＝6，

在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝8，

∴FE＝AC＝4，

∴DF＝DE﹣FE＝6﹣4＝2，

故答案为：B．

【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得FE，即可．

10．（2023八下·北京市期中）老师布置了任务：过直线上一点C作的垂线．在没有直角尺的情况下，嘉嘉和淇淇利用手头的学习工具给出了如图所示的两种方案，下列判断正确的是（）

方案Ⅰ：①利用一把有刻度的直尺在上量出．②分别以D，C为圆心，以和为半径画圆弧，两弧相交于点E．③作直线，即为所求的垂线．方案Ⅱ：取一根笔直的木棒，在木棒上标出M，N两点．①使点M与点C重合，点N对应的位置标记为点Q．②保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在上，将旋转后点M对应的位置标记为点R．③将延长，在延长线上截取线段，得到点S．④作直线，即为所求直线．

A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行

C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行

【答案】C

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：方案Ⅰ：根据作图可知，CE=40cm，DE=50cm，

∵CD=30cm，

∴302+402=502，

∴CD2+CE2=DE2，

∴△CDE为直角三角形，

∴∠DCE=90°，

∴EC⊥AB，

∴方案Ⅰ可行；

方案Ⅱ：根据作图可知，CQ=RQ=SQ，

∴∠CRQ=∠RCQ，∠CSQ=∠SCQ，

∵∠CRQ+∠RCQ+∠CSQ+∠SCQ=180°，

∴∠RCQ+∠SCQ=×180°=90°，

∴∠RCS=90°，

∴SC⊥AB，

∴方案Ⅱ可行；

故答案为：C．

【分析】方案Ⅰ：连接DE，根据勾股定理逆定理证明△CDE为直角三角形，即可证明EC⊥AB；方案Ⅱ：根据CQ=RQ=SQ，得出∠CRQ=∠RCQ，∠CSQ=∠SCQ，求出∠RCQ+∠SCQ=×180°=90°，即∠RCS=90°，得出SC⊥AB.

二、填空题

11．（2023八下·北京市期中）若有意义，请写出符合条件的一个x的值：．

【答案】2（答案不唯一）

【知识点】二次根式有意义的条件

【解析】【解答】解：∵有意义，

∴x-1≥0，即x≥1，

∴x的值为2，

故答案为：2（答案不唯一）．

【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可．

12．（2023八下·北京市期中）计算的结果为．

【答案】2023

【知识点】二次根式的性质与化简

【解析】【解答】解：

故答案为：2023

【分析】根据二次根式的性质（）即可求解．

13．（2023八下·北京市期中）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为20m，则A，B两点间的距离为m．

【答案】40

【知识点】三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：∵点D，E分别是BC和AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，DE＝20m，

∴AB＝2DE＝2×20＝40（m）．

故答案为：40．

【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2DE，问题得解．

14．（2023八下·北京市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B=25°，D是AB的中点，则∠ADC＝．

【答案】50°

【知识点】直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，

∴CD＝BD，

∴∠DCB＝∠B，

∵∠B＝25°，

∴∠DCB＝25°，

∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝50°，

故答案为：50°．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出CD＝BD，根据等腰三角形的性质求出∠DCB＝∠B，再根据三角形的外角性质求出答案即可．

15．（2023八下·北京市期中）如图，在数轴上点A表示的实数是__．

【答案】

【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理的应用

【解析】【解答】解：如图，

勾股定理可得

OA=OB=

故答案为：．

【分析】根据勾股定理求出OB的长度，然后根据点A在数轴上的位置即可解答．

16．（2023八下·北京市期中）如图，在菱形中，E，F，G，H分别是边，，和的中点，连接，，和．若，，则菱形的面积为．

【答案】16

【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：连接AC、BD，交于点O，如图所示：

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，

∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD和DA的中点，

∴EF=AC，EH=BD，

∵EH=4，EF=2，

∴AC=4，BD=8，

∴S菱形ABCD=AC×BD=16．

故答案为：16．

【分析】连接AC、BD，交于点O，根据中位线的性质求出AC=4，BD=8，根据菱形面积公式求出菱形ABCD的面积

17．（2022八下·五常期末）若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，则n的值为．

【答案】2

【知识点】勾股定理

【解析】【解答】解：由题意得：（n＋1）2＋（n＋2）2＝（n＋3）2，

解得：n1＝2，n2＝－2（不合题意，舍去）．

故答案为2．

【分析】根据题意先求出（n＋1）2＋（n＋2）2＝（n＋3）2，再作答即可。

18．（2023八下·北京市期中）已知为实数，记，

（1）当时，的值为．

（2）的最小值为．

【答案】（1）

（2）

【知识点】勾股定理的应用；轴对称的应用-最短距离问题

【解析】【解答】解：（1）当x=y=0时，

=；

故答案为：．

（2）

=

设P(x，0)，Q(0，y)，A(3，1)，B(2，6)，

如图所示，

作B关于y轴的对称点B'，作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B'与x轴交于点P，与y轴交于点Q，A'B'即为所求，

∴B'(-2，6)，A'(3，-1)，

M=QB+QP+AP≥A'B'=

故答案为：．

【分析】（1）将x=y=0时，代入M进行计算即可得到答案；

（2）设P(x，0)，Q(0，y)，A(3，1)，B(2，6)，在直角坐标系中画出图，根据最短路径模型，作对称点即可得到答案。

三、解答题

19．（2023八下·北京市期中）计算

（1）

（2）

（3）

（4）

【答案】（1）解：

（2）解：

（3）解：

（4）解：

【知识点】二次根式的混合运算

【解析】【分析】（1）（2）（3）根据二次根式的加减乘除混合运算进行计算；

（4）根据平方差公式计算即可.

20．（2023八下·北京市期中）下面是小铭设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．

已知：四边形是平行四边形．

求作：菱形（点在上，点在上）．

作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点；

②以为圆心，长为半径作弧，交于点；

③连接．

所以四边形为所求作的菱形．

（1）根据小铭的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：∵，，

∴▲＝▲，

在中，，

即，

∴四边形为平行四边形（）（填推理的依据）

∵，

∴四边形为菱形（）（填推理的依据）

【答案】（1）解：如图所示：

菱形即为所求．

（2）解：∵，，

∴AE＝BF，

在中，，

即，

∴四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

∵，

∴四边形为菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形），

【知识点】菱形的判定与性质

【解析】【分析】（1）根据要求画出图形即可．

（2）利用平行四边形的判定及性质和菱形的判定填写理由．

21．（2023八下·北京期中）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC、AB于点D、E.

（1）求证：△ABC为直角三角形．

（2）求AE的长．

【答案】（1）证明：∵△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，

又∵42+32=52，

即AB2+AC2=BC2，

∴△ABC是直角三角形；

（2）证明：连接CE．

∵DE是BC的垂直平分线，

∴EC=EB，

设AE=x，则EC=4-x．

∴x2+32=（4-x）2．

解之得x=，即AE的长是．

【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形可得△ABC是直角三角形；（2）根据线段垂直平分线的性质可得BE=CE，设AE=x，则EC=4-x，根据勾股定理可得x2+32=（4-x）2，再解即可．

22．（2023八下·北京市期中）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．

（1）求证：四边形BFDE是矩形；

（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长．

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，

∵DF＝BE，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°，

∴四边形BFDE是矩形；

（2）解：∵四边形BFDE是矩形，

∴∠BFD＝90°，

∴∠BFC＝90°，

在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4，

∴BC＝5，

∵AF平分∠DAB，

∴∠DAF＝∠BAF，

∵AB∥DC，

∴∠DFA＝∠BAF，

∴∠DAF＝∠DFA，

∴AD＝DF，

∵AD＝BC，

∴DF＝BC，

∴DF＝5．

【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定与性质

【解析】【分析】（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；

（2）根据勾股定理求出BC长，求出AD＝DF，即可得出答案。

23．（2023八下·北京市期中）海伦公式是利用三角形三条边长求三角形面积的公式，用符号表示为：（其中a，b，c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）．利用上述材料解决问题：当，，时．

（1）直接写出p的化简结果为．

（2）写出计算S值的过程．

【答案】（1）

（2）解：∵，，，，

∴

．

【知识点】二次根式的性质与化简

【解析】【解答】（1）解：∵，，，

∴，

故答案为：．

【分析】（1）根据题目中提供的信息，代入数据根据二次根式的性质化简即可；

（2）根据题目中的面积公式，代入数据根据二次根式的性质化简求值即可。

24．（2023八下·北京市期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1，以格点为顶点分别按下列要求画图．

（1）在图①中，画一个正方形，使它的边长为；

（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；

（3）在图③中，画一个三角形，使它的三边长分别为，，5，并直接写出该三角形最长边上的高的长度．

【答案】（1）解：如图①，正方形即为所求，

；

（2）解：如图②，即为所求，

；

（3）如图③，即为所求，

，

2

【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用

【解析】【解答】（3）解：∵AB=，

∴AB2+BC2=AC2，

∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，

三角形最长边上的高的长度为：

【分析】（1）根据勾股定理得出正方形的边长，即可得到图形；

（2）构造边长为3，4，5的直角三角形即可；

（3）根据勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，再根据三角形的面积计算公式进行计算即可得到答案．

25．（2023八下·北京市期中）某同学在解决问题：已知，求的值．

他是这样分析与求解的：

先将进行分母有理化，过程如下，

，

∴，

∴，，

∴，

∴．

请你根据上述分析过程，解决如下问题：

（1）若，请将进行分母有理化；

（2）在（1）的条件下，求的值；

（3）在（1）的条件下，求的值

【答案】（1）解：．

（2）解：∵，

∴，，

∴，

∴．

（3）解：根据（2）可知，，

∴

．

【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值

【解析】【分析】1）按照分母有理化的方法进行解答即可；

（2）根据可得，进而根据完全平方公式即可求解；

（3）根据（2）可知，，则，将代入即可求解．

26．（2023八下·北京市期中）三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以为例，大致过程如下：

第一步：将原方程变形为．即．

第二步：构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示．

第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示．

第四步：

将大正方形边长用含的代数式表示为____．

小正方形边长为常数____，

长方形面积之和为常数____．

由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程____，两边开方可求得，．

（1）第四步中横线上应依次填入，，，；

（2）请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程．

【答案】（1）；2；12；

（2）解：第一步：将原方程变形为，即，

第二步：构造成一个长为，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为3，

第三步：用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，如图所示，

，

第四步：

将大正方形边长用含的代数式表示为，

小正方形边长为常数，

长方形面积之和为常数，

由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，

得方程，

两边开方可求得，．

【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的应用-几何问题

【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：

大正方形的边长为：[x+(x-2)]，

小正方形的边长为：[x+(x-2)]-2(x-2)=2，

长方形面积之和为：4×3=12，

∵大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，

故答案为：，2，12，．

【分析】（1）根据题意，大正方形的边长为[x+(x-2)]，小正方形的边长为[x+(x-2)]-2(x-2)=2，求得长方形面积之和，再结合图形根据由大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和列出方程即可得到答案；

（2）先将原方程变形，构造出一个长为x，宽为(x-1)的长方形，长比宽大1，且面积为3，同（1）的方法，得出一个方程，解方程即可得到答案。

27．（2023八下·北京市期中）现有正方形和一个直角．

（1）如图1，若点与点重合，射线交延长线于，射线交正方形的边于，则与的数量关系是，请证明你的结论；

（2）如图2，若点在正方形的对角线上，射线交延长线于，射线恰好经过点，则与的数量关系是，请证明你的结论；

（3）若在正方形所