第4章梁的内力课件

§4–2内力方程内力图

第4章静定结构的内力计算§4-3用叠加法作弯矩图§4–1杆件的内力·截面法§4–2内力方程内力图第4章静定结构的内1

§4–1杆件的内力·截面法FFFF拉伸压缩I杆件在轴向荷载作用下，将发生轴向拉伸或压缩。§4–1杆件的内力·截面法FFFF拉伸压缩2

一、拉压杆的内力——轴力FFFFN拉压杆横截面的内力沿杆的轴线，故称为轴力。轴力以拉为正，以压为负。一、拉压杆的内力——轴力FFFFN拉压杆横截面的内力3II扭转的概念II扭转的概念4直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA扭转：——扭转角（两端面相对转过的角度）——剪切角，剪切角也称切应变。直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴5扭转的内力—扭矩mmmTⅠⅠx一、扭矩圆杆扭转横截面的内力合成结果为一合力偶，合力偶的力偶矩称为截面的扭矩，用T表示之。扭矩的正负号按右手螺旋法则来确定，即右手握住杆的轴线，卷曲四指表示扭矩的转向，若拇指沿截面外法线指向，扭矩为正，反之为负。扭转的内力—扭矩mmmTⅠⅠx一、扭矩圆杆扭6mTx扭矩的大小由平衡方程求得。mTx扭矩的大小由平衡方程求得。7

III弯曲的概念

1.弯曲:杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。2.梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。III弯曲的概念1.弯曲:杆受83.工程实例3.工程实例9纵向对称面MF1F2q二、平面弯曲杆件具有纵向对称面，荷载作用在纵向对称面内，梁弯曲后轴线弯成一条平面曲线，称为平面弯曲。在后几章中，将主要研究平面弯曲的内力，应力及变形等。纵向对称面MF1F2q二、平面弯曲杆件具有纵10三、简单静定梁悬臂梁简支梁外伸梁三、简单静定梁悬臂梁简支梁外伸梁11梁的内力-----剪力和弯矩FABalFABFAxFAyFB荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。梁的内力-----剪力和弯矩FABalFABFAxFAyFB12PABal将梁从Ⅰ－Ⅰ位置截开，取左侧。ⅠⅠxAFAyⅠⅠFsMx因内力必须与外力平衡，故内力简化结果为一力和一力偶。该力与截面平行，称为截面的剪力，用Fs

表示之；该力偶的力偶矩称为截面的弯矩，用M表示之。

⑴剪力正负的规定：使微段有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；

⑵弯矩正负的规定：使微段下面受拉、上面受压变形的弯矩为正，反之为负。PABal将梁从Ⅰ－Ⅰ位置截开，取左侧。ⅠⅠ13⊕FsFs○－FsFs⊕○－MMMM剪力正负的规定弯矩正负的规定内力通过平衡方程计算。AFAyⅠⅠFsMx⊕FsFs○－FsFs⊕○－MMMM剪力正负的规定弯矩正负的14

计算梁内力的步骤：⒈取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；⒉将梁在要求内力的部位截开，选简单一側作研究对象；⒊画受力图，截面的剪力、弯矩一定要按正的规定画；⒋列平衡方程Fx=0，求剪力FS

；m=0，求弯矩。计算梁内力的步骤：⒈取整体，求15

扭矩图的画法步骤：

⒈画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线；

⒉将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点；

⒊用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画。

⒋按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两侧，并在图上表出数值和正负号。扭矩图的画法步骤：⒈画一16

二、轴力图一般情况，拉压杆各截面的的轴力是不同的，表示拉压杆各截面的的轴力的图象称为轴力图。

轴力图的画法步骤如下：

⒈画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线；

⒉将杆分段，凡集中力作用点处均应取作分段点；

⒊用截面法，通过平衡方程求出每段杆的轴力；画受力图时，截面轴力一定按正的规定来画。

⒋按大小比例和正负号，将各段杆的轴力画在基线两侧，并在图上表出数值和正负号。二、轴力图一般情况，拉压杆各截面的的轴力是不同的，表示17例1画图示杆的轴力图。⊕⊕○－轴力图ⅠⅠⅡⅡⅢⅢⅠⅠFN1ⅡⅡFN2ⅢⅢFN3第一段:第二段:第三段:例1画图示杆的轴力图。⊕⊕○－轴力图ⅠⅠⅡⅡⅢⅢⅠⅠFN18

例2长为l，重为W的均质杆，上端固定，下端受一轴向拉力P作用，画该杆的轴力图。lPxPFN⊕轴力图PP+W例2长为l，重为W的均质杆，上端固定，下端受一轴向拉19

例3画图示杆的轴力图。ABCD⊕⊕⊕○－○－轴力图轴力图例3画图示杆的轴力图。ABCD⊕⊕⊕○－○－轴力图轴力图204–2.1梁的剪力和弯矩FABalFABFAxFAyFB荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。4–2.1梁的剪力和弯矩FABalFABFAxFAy21PABal将梁从Ⅰ－Ⅰ位置截开，取左侧。ⅠⅠxAFAyⅠⅠFsMx因内力必须与外力平衡，故内力简化结果为一力和一力偶。该力与截面平行，称为截面的剪力，用Fs

表示之；该力偶的力偶矩称为截面的弯矩，用M表示之。

⑴剪力正负的规定：使微段有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；口诀：正剪力----左上右下

⑵弯矩正负的规定：使微段下面受拉、上面受压变形的弯矩为正，反之为负。口诀：正弯矩----左顺右逆PABal将梁从Ⅰ－Ⅰ位置截开，取左侧。ⅠⅠ22⊕FsFs○－FsFs⊕○－MMMM剪力正负的规定弯矩正负的规定内力通过平衡方程计算。AFAyⅠⅠFsMx⊕FsFs○－FsFs⊕○－MMMM剪力正负的规定弯矩正负的23

计算梁内力的步骤：⒈取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；⒉将梁在要求内力的部位截开，选简单一側作研究对象；⒊内力计算公式：左侧分析：FS=∑（￪）-∑（￬）；

M=∑（）-∑（）右侧分析：FS=∑（￬）-∑（￪）；M=∑（）-∑（）⒋或按照截面法列平衡方程Fx=0，求剪力FS

；m=0，求弯矩。计算梁内力的步骤：⒈取整体，求24例1求图示梁1、2、3、4截面的内力。ABCD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344解：取整体，FAFB1－1截面FA11Fs1M1A由1－1截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用，紧挨杆端截面的弯矩M=0。例1求图示梁1、2、3、4截面的内力。ABCD2m2m2m25CP=12kN2－2截面FA22Fs2M2AFA33Fs3M3A3－3截面ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFBCP=12kN2－2截面FA22Fs2M2AFA33Fs3M26D2233PFs3M3Fs2M2由2、3截面的内力计算可得如下结论：⑴集中力（包括支座反力）两侧截面的的弯矩相等；⑵集中力（包括支座反力）作用截面的的剪力发生突变，其值等于集中力（集中力以向上为正）。ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFBD2233PFs3M3Fs2M2由2、3截27C44M4Fs44－4截面由4－4截面的内力计算可得如下结论：⑴自由端无集中力作用，端截面剪力等于零：F=0；⑵自由端无集中力偶作用，端截面弯矩等于零：M=0。ABD2m2m2mF=12kNq=2kN/m11223344FAFBC44M4Fs44－4截面由4－4截面的28例2

求图示梁1、2、3截面的内力。ABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m解：取整体，1－1截面FA11Fs1AM1m1例2求图示梁1、2、3截面的内力。ABC2m2m112229FA22Fs2M2A33Fs3M3Bm12－2截面3－3截面FBABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.mFA22Fs2M2A33Fs3M3Bm12－2截面3－3截面30由2、3截面的内力计算可得如下结论：⑴集中力偶作用截面的的剪力相等；⑵集中力偶作用截面的的弯矩发生突变，其值等于集中力偶矩（集中力偶矩以顺时针转为正）。C2233Fs3M3FS2M2m2ABC2m2m112233FAFBm1=2kN.mm2=14kN.m由2、3截面的内力计算可得如下结论：31例3

求图示梁1、2、3截面的内力。ABC2m1mm=12kN.mq=6kN/m33112FAFB23m解：取整体1－1截面FA11Fs1M1A例3求图示梁1、2、3截面的内力。ABC2m1mm=1232BFA22Fs2M2Am2－2截面33Fs3M3FBq3－3截面BABC2m1mm=12kN.mq=6kN/m33112FAFB23mBFA22Fs2M2Am2－2截面33Fs3M3FBq3－3334–2.2剪力图和弯矩图qxql-xlFs(x)M(x)图示梁任一截面的内力。截面剪力是截面坐标的函数，称为剪力方程。截面弯矩也是截面坐标的函数，称为弯矩方程。4–2.2剪力图和弯矩图qxql-xlFs(x)M34qxl剪力方程的函数图象称为剪力图。正的剪力画在基线上侧，负的画在下侧。剪力图qlxFs⊕弯矩方程的函数图象称为弯矩图。按工程规定弯矩图画在杆的受拉一侧，因此正的弯矩画在基线下侧，负的画在上侧。xMql2/2○－弯矩图qxl剪力方程35补充剪力、弯矩与荷载集度间的关系ABdxxq(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)Fs(x)M(x)dxo取微段dx，受力如图。补充剪力、弯矩与荷载集度间的关系ABdxxq(x)M36ABdxx略去高阶微量得：q(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)Fs(x)dxoABdxx略去高阶微量得：q(x)M(x)+dM(x)Fs37

⑴

当q=0，Fs

=常数，Fs

图为平直线；

M为一次函数，M图为斜直线；

⑵

当q=常数，Fs为一次函数，Fs

图为斜直线；

M为二次函数，M图为抛物线；当M图为抛物线时，画M图需确定抛物线顶点的位置和顶点的弯矩值。由：可知弯矩抛物线顶点对应于剪力图等于零的位置。根据M、Fs与q之间的关系，可不必列剪力方程和弯矩方程，即可画出剪力图和弯矩图。⑴当q=0，Fs=常数，Fs图38

根据M、Fs与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤如下：⒈取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；⒉将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点，分布荷载两端，支座处都应取作分段点；⒊用公式法或截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩，由M

=ql2/8确定弯矩抛物线中点所对应截面的弯矩值；⒋用直线，均布荷载下弯矩图用抛物线将各截面剪力、弯矩连起来。并在图上标出正负号，各控制截面的剪力值和弯矩值。根据M、Fs与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步39例4画图示梁的剪力图和弯矩图。AC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FAFB34m11解：取整体Fs图M图FsM1234==00B例4画图示梁的剪力图和弯矩图。AC2mm=12kN.mq=40AC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kNFB=18kN34m11Fs图M图FsM12345==00FA22Fs2M2A66612BAC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kN41Fs图M图FsM1234==0066-1812FA33Fs3M3Am24B44M4Fs4FB6FB=18kNAC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kN34m11BFs图M图FsM1234==0066-1812FA33Fs342AC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kNFB=18kN34m11Fs图M图FsM12345==0066-181224B66kN18kN⊕○－⊕3m5555Fs5M5FBq02712kN.m24kN.m27kN.mBAC2mm=12kN.mq=6kN/m44223FA=6kN43例5画图示梁的剪力图和弯矩图。AC2mF=6kNq=3kN/m66223FAFB32m11解：取整体Fs图M图FsM12345==002mB4455D6===例5画图示梁的剪力图和弯矩图。AC2mF=6kNq=3kN44AC2mP=6kNq=3kN/m66223FA=5kNFB=7kN32m11Fs图M图Fs

M12345==002mB4455D6===5-75FA33Fs3M3AP-1-1-11010⊕○－5kN1kN7kN⊕10kN.mAC2mP=6kNq=3kN/m66223FA=5kNFB=45AC2mP=6kNq=3kN/m66223FA=5kNFB=7kN32m11Fs图M图FsM12345==002mB4455D6===5-75RA44Fs

4M4AP-1-1-11010⊕○－5kN1kN7kN⊕10kN.m8kN.m88AC2mP=6kNq=3kN/m66223FA=5kNFB=46例6画图示梁的内力图。ABC4m2mP=4kNq=2kN/m11223344解：取整体，FBmAFs图M图Fs

M1234==00844例6画图示梁的内力图。ABC4m2mP=4kNq=2kN/47ABC4m2mP=4kNq=2kN/m11223344FB=12kNFs图M图Fs

M1234==00844mA=8kN.mP=4kN22FBFs2M2-8-8-8⊕○－4kN8kN⊕○－8kN.m8kN.mCBABC4m2mP=4kNq=2kN/m11223344FB=48例7画图示梁的内力图。ABCD3m4m2mF=3kNq=1kN/m11223366解：取整体，FAFC4455m=6kN.mFs图M图(kN)(kN.m)例7画图示梁的内力图。ABCD3m4m2mF=3kNq=149ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs图M图(kN)(kN.m)2.533.5⊕⊕○－ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m1122336650ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs图M图(kN)(kN.m)2.533.5⊕⊕○－○－FA33Fs3M3Amq94ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m1122336651ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m11223366FA=2.5kNFC=6.5kN4455m=6kN.mFs图M图(kN)(kN.m)2.533.5⊕⊕○－○－FA22Fs2M7Aq9422.5mFA77Fs7Aq773.125M2⊕ABCD3m4m2mP=3kNq=1kN/m1122336652§8–3按叠加原理作弯矩图qmABlmABlqABl=+FA=m/lFB=m/lFA=ql/2FB=ql/2Fs图M图⊕⊕○－m/lm⊕○－ql/2ql/2ql2/8m/l+ql/2m/l-ql/2⊕○－mql2/8=++=⊕○－Mmax§8–3按叠加原理作弯矩图qmABlmABlqABl53PmABl/2mABAB=+FA=m/lFB=m/lRA=P/2FB=P/2Fs图M图⊕⊕○－m/lmP/2P/2Pl/4m/l+P/2m/l-P/2○－○－mPl/4=++=l/2l/2l/2l/2l/2P⊕○－⊕⊕PmABl/2