2023年中考数学真题分项汇编专题31 几何综合压轴问题（原卷版）

专题31几何综合压轴问题（40题）1．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是斜边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0．

(1)将SKIPIF1<0绕顶点SKIPIF1<0旋转一周，请直接写出点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0距离的最大值和最小值；(2)将SKIPIF1<0绕顶点SKIPIF1<0逆时针旋转SKIPIF1<0（如图SKIPIF1<0），求SKIPIF1<0的长．2．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一点，分别以SKIPIF1<0为等腰三角形的底边，在SKIPIF1<0的同侧作等腰SKIPIF1<0和等腰SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．在线段SKIPIF1<0上取一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．

(1)如图1，求证：SKIPIF1<0；(2)如图2，若SKIPIF1<0的延长线恰好经过SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．3．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平行四边形SKIPIF1<0中（顶点SKIPIF1<0按逆时针方向排列），SKIPIF1<0为锐角，且SKIPIF1<0．

(1)如图1，求SKIPIF1<0边上的高SKIPIF1<0的长．(2)SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上的一动点，点SKIPIF1<0同时绕点SKIPIF1<0按逆时针方向旋转SKIPIF1<0得点SKIPIF1<0．①如图2，当点SKIPIF1<0落在射线SKIPIF1<0上时，求SKIPIF1<0的长．②当SKIPIF1<0是直角三角形时，求SKIPIF1<0的长．4．（2023·甘肃武威·统考中考真题）【模型建立】（1）如图1，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等边三角形，点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上．①求证：SKIPIF1<0；②用等式写出线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的数量关系，并说明理由．【模型应用】（2）如图2，SKIPIF1<0是直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上．用等式写出线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的数量关系，并说明理由．【模型迁移】（3）在（2）的条件下，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．

5．（2023·江西·统考中考真题）课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．己知：在SKIPIF1<0中，对角线SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0是菱形．

(2)知识应用：如图SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，对角线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

①求证：SKIPIF1<0是菱形；②延长SKIPIF1<0至点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．6．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）当SKIPIF1<0的三个内角均小于SKIPIF1<0时，如图1，将SKIPIF1<0绕，点C顺时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，

由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0为①三角形，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由②可知，当B，P，SKIPIF1<0，A在同一条直线上时，SKIPIF1<0取最小值，如图2，最小值为SKIPIF1<0，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有SKIPIF1<0③；已知当SKIPIF1<0有一个内角大于或等于SKIPIF1<0时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若SKIPIF1<0，则该三角形的“费马点”为④点．(2)如图4，在SKIPIF1<0中，三个内角均小于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，已知点P为SKIPIF1<0的“费马点”，求SKIPIF1<0的值；

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知SKIPIF1<0．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/SKIPIF1<0，a元/SKIPIF1<0，SKIPIF1<0元/SKIPIF1<0，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）7．（2023·山东枣庄·统考中考真题）问题情境：如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的中线．如图2，将SKIPIF1<0的两个顶点B，C分别沿SKIPIF1<0折叠后均与点D重合，折痕分别交SKIPIF1<0于点E，G，F，H．

猜想证明：(1)如图2，试判断四边形SKIPIF1<0的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿SKIPIF1<0折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交SKIPIF1<0于点M，N，SKIPIF1<0的对应线段交SKIPIF1<0于点K，求四边形SKIPIF1<0的面积．8．（2023·湖南·统考中考真题）（1）[问题探究]如图1，在正方形SKIPIF1<0中，对角线SKIPIF1<0相交于点O．在线段SKIPIF1<0上任取一点P（端点除外），连接SKIPIF1<0．

①求证：SKIPIF1<0；②将线段SKIPIF1<0绕点P逆时针旋转，使点D落在SKIPIF1<0的延长线上的点Q处．当点P在线段SKIPIF1<0上的位置发生变化时，SKIPIF1<0的大小是否发生变化？请说明理由；③探究SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系，并说明理由．（2）[迁移探究]如图2，将正方形SKIPIF1<0换成菱形SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，其他条件不变．试探究SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系，并说明理由．

9．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别为边SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0．初步尝试：（1）SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系是_________，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的位置关系是_________．特例研讨：（2）如图2，若SKIPIF1<0，先将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为锐角），得到SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在同一直线上时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．

（1）求SKIPIF1<0的度数；（2）求SKIPIF1<0的长．深入探究：（3）若SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当旋转角SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在同一直线上时，利用所提供的备用图探究SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系，并说明理由．10．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）【问题呈现】SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是直角三角形，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，探究SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的位置关系．

(1)如图1，当SKIPIF1<0时，直接写出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的位置关系：____________；(2)如图2，当SKIPIF1<0时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当SKIPIF1<0时，将SKIPIF1<0绕点C旋转，使SKIPIF1<0三点恰好在同一直线上，求SKIPIF1<0的长．11．（2023·河北·统考中考真题）如图1和图2，平面上，四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上，且SKIPIF1<0．将线段SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的平分线SKIPIF1<0所在直线交折线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0在该折线上运动的路径长为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．

(1)若点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，求证：SKIPIF1<0；(2)如图2．连接SKIPIF1<0．①求SKIPIF1<0的度数，并直接写出当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值；②若点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(3)当SKIPIF1<0时，请直接写出点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离．（用含SKIPIF1<0的式子表示）．12．（2023·四川达州·统考中考真题）（1）如图①，在矩形SKIPIF1<0的SKIPIF1<0边上取一点SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，使点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0处，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；

（2）如图②，在矩形SKIPIF1<0的SKIPIF1<0边上取一点SKIPIF1<0，将四边形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，使点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0的延长线上SKIPIF1<0处，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（3）如图③，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，垂足为点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，直接写出SKIPIF1<0的值．13．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知SKIPIF1<0是等边三角形，点SKIPIF1<0是射线SKIPIF1<0上的一个动点，延长SKIPIF1<0至点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交射线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．

(1)如图1，当点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上时，猜测线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0的延长线上时，①线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求四边形SKIPIF1<0的面积．14．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，在正方形SKIPIF1<0中，E，F分别是边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)若正方形SKIPIF1<0的边长为2，E是SKIPIF1<0的中点．①如图1，当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0；②如图2，当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的长；(2)如图3，延长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于点G，当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0．15．（2023·湖北武汉·统考中考真题）问题提出：如图（1），SKIPIF1<0是菱形SKIPIF1<0边SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0是等腰三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，探究SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系．

问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当SKIPIF1<0时，直接写出SKIPIF1<0的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．16．（2023·山西·统考中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0和SKIPIF1<0按图2所示方式摆放，其中点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合（标记为点SKIPIF1<0）．当SKIPIF1<0时，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．试判断四边形SKIPIF1<0的形状，并说明理由．

(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针方向旋转，使点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0内部，并让同学们提出新的问题．

①“善思小组”提出问题：如图3，当SKIPIF1<0时，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．试猜想线段SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；

②“智慧小组”提出问题：如图4，当SKIPIF1<0时，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．请你思考此问题，直接写出结果．

17．（2023·湖北十堰·统考中考真题）过正方形SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．

(1)如图1，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________SKIPIF1<0；(2)如图1，请探究线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的数量关系，并证明你的结论；(3)在SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0转动的过程中，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0请直接用含SKIPIF1<0的式子表示SKIPIF1<0的长．18．（2023·辽宁大连·统考中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一动点，将SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0．”小红：“若点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，给出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的长，就可求出SKIPIF1<0的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

问题1：在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0翻折得到．（1）如图1，当点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上时，求证：SKIPIF1<0；（2）如图2，若点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成SKIPIF1<0的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则求SKIPIF1<0的长．19．（2023·山东·统考中考真题）（1）如图1，在矩形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，垂足为点SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．

【问题解决】（2）如图2，在正方形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．【类比迁移】（3）如图3，在菱形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．20．（2023·福建·统考中考真题）如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上不与SKIPIF1<0重合的一个定点．SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．SKIPIF1<0是由线段SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0得到的，SKIPIF1<0的延长线相交于点SKIPIF1<0．

(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的度数；(3)若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，如图2．求证：SKIPIF1<0．21．（2023·四川·统考中考真题）如图1，已知线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上方旋转，连接SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为边在SKIPIF1<0上方作SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．

(1)若SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为边在SKIPIF1<0上方作SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，用等式表示线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系是；(2)如图2，在(1)的条件下，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长；(3)如图3，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0的值最大时，求此时SKIPIF1<0的值．22．（2023·广西·统考中考真题）【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．【动手操作】如图1，将矩形纸片SKIPIF1<0对折，使SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，展平纸片，得到折痕SKIPIF1<0；折叠纸片，使点B落在SKIPIF1<0上，并使折痕经过点A，得到折痕SKIPIF1<0，点B，E的对应点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，展平纸片，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

请完成：(1)观察图1中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，试猜想这三个角的大小关系；(2)证明（1）中的猜想；【类比操作】如图2，N为矩形纸片SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上的一点，连接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕SKIPIF1<0；折叠纸片，使点B，P分别落在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，展平纸片，连接，SKIPIF1<0．

请完成：(3)证明SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一条三等分线．23．（2023·重庆·统考中考真题）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一动点，连接SKIPIF1<0．

(1)如图1，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长．(2)如图2，以SKIPIF1<0为边在SKIPIF1<0上方作等边SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0并延长，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．(3)在SKIPIF1<0取得最小值的条件下，以SKIPIF1<0为边在SKIPIF1<0右侧作等边SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在直线上一点，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0所在直线翻折至SKIPIF1<0所在平面内得到SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0取最大值时，连接SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0所在直线翻折至SKIPIF1<0所在平面内得到SKIPIF1<0，请直接写出此时SKIPIF1<0的值．24．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在等边三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的一点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点（点SKIPIF1<0不与SKIPIF1<0重合）．将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针方向旋转SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0．

(1)证明：在点SKIPIF1<0的运动过程中，总有SKIPIF1<0．(2)当SKIPIF1<0为何值时，SKIPIF1<0是直角三角形？25．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图①，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是等边三角形，连接SKIPIF1<0，点F，G，H分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0．易证：SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，如图②：若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等腰三角形，且SKIPIF1<0，如图③：其他条件不变，判断SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

26．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

(1)发现问题：如图1，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系：______，SKIPIF1<0______SKIPIF1<0；(2)类比探究：如图2，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．请猜想SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系及SKIPIF1<0的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均为等腰直角三角形，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在一条直线上，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为点SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的数量关系：______；(4)实践应用：正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若平面内存在点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．27．（2023·广东深圳·统考中考真题）（1）如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上一点，连接SKIPIF1<0，①若SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0______．

（2）如图，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的值．

（3）如图，在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，连接SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交平行四边形SKIPIF1<0的边于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0时，请直接写出SKIPIF1<0的长．

28．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在菱形SKIPIF1<0中，对角线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0上的点，连接SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0．

(1)如图1，连接SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，试判断点SKIPIF1<0是否在线段SKIPIF1<0的垂直平分线上，并说明理由；(2)如图2，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，①求证：SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长（用含SKIPIF1<0的代数式表示）．29．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有SKIPIF1<0角的三角尺放在正方形SKIPIF1<0中，使SKIPIF1<0角的顶点始终与正方形的顶点SKIPIF1<0重合，绕点SKIPIF1<0旋转三角尺时，SKIPIF1<0角的两边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0始终与正方形的边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线分别相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．

【探究一】如图②，把SKIPIF1<0绕点C逆时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，同时得到点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上．求证：SKIPIF1<0；【探究二】在图②中，连接SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线SKIPIF1<0与三角尺SKIPIF1<0角两边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．30．（2023·山东东营·统考中考真题）（1）用数学的眼光观察．如图，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是对角线SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0．（2）用数学的思维思考．如图，延长图中的线段SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，延长线段SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．（3）用数学的语言表达．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0并延长，与SKIPIF1<0的延长线交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，试判断SKIPIF1<0的形状，并进行证明．31．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0于点F，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．试猜想四边形SKIPIF1<0的形状，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形SKIPIF1<0中，E是边SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0于点F，SKIPIF1<0于点H，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点G，可以用等式表示线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形SKIPIF1<0中，E是边SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0于点H，点M在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可以用等式表示线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的数量关系，请你思考并解答这个问题．

32．（2023·贵州·统考中考真题）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作射线SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上．

(1)【动手操作】如图②，若点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，画出射线SKIPIF1<0，并将射线SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，根据题意在图中画出图形，图中SKIPIF1<0的度数为_______度；(2)【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图③，若点SKIPIF1<0在射线SKIPIF1<0上移动，将射线SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，探究线段SKIPIF1<0之间的数量关系，并说明理由．33．（2023·辽宁·统考中考真题）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上（不与点SKIPIF1<0重合），连接SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转SKIPIF1<0，得到线段SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．(1)如图，当点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合时，请直接写出线段SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0的数量关系；(2)如图，当点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上时，求证：SKIPIF1<0；(3)连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积记为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，请直接写出SKIPIF1<0的值．34．（2023·四川成都·统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D是SKIPIF1<0边上一点，且SKIPIF1<0（n为正整数），E是SKIPIF1<0边上的动点，过点D作SKIPIF1<0的垂线交直线SKIPIF1<0于点F．

【初步感知】(1)如图1，当SKIPIF1<0时，兴趣小组探究得出结论：SKIPIF1<0，请写出证明过程．【深入探究】(2)①如图2，当SKIPIF1<0，且点F在线段SKIPIF1<0上时，试探究线段SKIPIF1<0之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段SKIPIF1<0之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）【拓展运用】(3)如图3，连接SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的中点为M．若SKIPIF1<0，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．35．（2023·江苏徐州·统考中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，由勾股定理，得SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．【探究发现】如图2，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，若SKIPIF1<0，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．【拓展提升】如图3，已知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的一条中线，SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．【尝试应用】如图4，在矩形SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，点P在边SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最小值为_______．

36．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，正方形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求证：SKIPIF1<0；(2)将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转，使点SKIPIF1<0的对应点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<