北京育鸿学校高三数学文下学期摸底试题含解析

北京育鸿学校高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】方法一：由题意，“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的出场顺序为：分为两类，求取种数，再满足其前提下，学生C第一个出场顺序也为两类，再根据概率公式计算即可，方法二：直接根据分步计数原理，可得，再根据概率公式计算即可．【解答】解：方法一：“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的出场顺序为：分为两类．第一类：A最后一个出场，从除了B之外的3人选1人安排第一个，其它的任意排，故有A31A33=18种，第二类：A不是最后一个出场，从除了A，B之外的3人选2人安排在，第一个或最后一个，其余3人任意排，故有A32A33=36种，故学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场的种数18+36=54种，“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的”的出场顺序为：分为两类第一类：学生C第一个出场，A最后一个出场，故有A33=6种，第二类：学生C第一个出场，A不是最后一个出场，从除了A，B之外的2人选1人安排在最后一个，其余3人任意排，故有A21A33=12种，故在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的种数6+12=18种，故学生C第一个出场的概率为=，方法二：先排B，有A31（非第一与最后），再排A有A31（非第一）种方法，其余三个自由排，共有A31A31A33=54这是总结果；学生C第一个出场，先排B，有A31（非第一与最后），再排A有A31，C第一个出场，剩余2人自由排，故有A31A31A22=18种，故学生C第一个出场的概率为=，故选：A．【点评】本题考查了分类计数原理和古典概率的问题，关键是分类求出相应条件的顺序，属于中档题．2.一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为（

）cm2.A．50

B．60C．70

D．80参考答案：D3.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图像，则只需将的图像A．向右平移个长度单位

B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位

D．向左平移个长度单位参考答案：A略4.已知a>0,b>0,a,b的等差中项是的最小值是

（

）

A．3 B．4

C．5 D．6参考答案：答案：C5.某几何体侧视图与正视图相同，则它的表面积为（）A．12+6π B．16+6π C．16+10π D．8+6π参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得出几何体是正四棱柱与半球体的组合体，结合图中数据，代入面积公式计算即可．【解答】解：由三视图知：该几何体是正四棱柱与半球体的组合体，且正四棱柱的高为1，底面对角线长为2，球的半径为，所以几何体的表面积为：S=×4π×+π×+×2×2+4×1×=6π+8．故选：D．6.若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b参考答案：C考点： 对数值大小的比较．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解答： 解：∵a=20.5＞1，0＜b=logπ3＜1，c=log2sin＜0，∴a＞b＞c．故选：C．点评： 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．7.椭圆的左右焦点分别为，弦过，若的内切圆周长为，

两点的坐标分别为，则值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.曲线在区间上截直线y=4与y=－2所得的弦长相等且不为0，则下列描述中正确的是A．

B．

C．

D．参考答案：A9.函数的大致图象是（

）参考答案：A10.下列命题中为真命题的是(A).命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

(B).命题“x>1，则x2>1”的否命题(C).命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

(D).命题“若x2>x，则x>1”的逆否命题参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.幂函数经过点，则此幂函数的解析式为

.参考答案：设幂函数为，代入点，所以所以，，填。

12.已知向量、的夹角为，且，，则

．参考答案：13.函数f（x）=cos（x+2θ）+2sinθsin（x+θ）的最小值为．参考答案：﹣1【考点】三角函数的最值．【分析】利用两角和与差的余弦公式，对f（x）化简，再根据余弦函数的图象与性质得出函数f（x）的最小值．【解答】解：f（x）=cos（x+2θ）+2sinθsin（x+θ）=cos（x+θ）cosθ﹣sin（x+θ）sinθ+2sinθsin（x+θ）=cos（x+θ）cosθ+sin（x+θ）sinθ=cos（x+θ﹣θ）=cosx，根据余弦函数的图象与性质得函数f（x）的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了两角和与差的余弦公式以及余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．14.已知曲线C：，直线l：x=6。若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为

。

参考答案：

15.已知函数f(x)＝ax4＋bcosx－x，且f(－3)＝7，则f(3)的值为________．参考答案：2略16.函数f（x）=，若a，b，c，d是互不相等的实数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则a+b+c+d的取值范围为

．参考答案：（4，2017）【考点】分段函数的应用．【分析】作出函数f（x）的图象，令直线y=t与f（x）的图象交于四个点，其横坐标由左到右依次为a，b，c，d，则由图象可得，b+c=2，log2015（d﹣1）=（）a﹣1=t，由于0＜t＜1，即可求得a，d的范围，从而得到a+b+c+d的范围．【解答】解：作出函数f（x）的图象，令直线y=t与f（x）的图象交于四个点，其横坐标由左到右依次为a，b，c，d则由图象可得，b+c=2，log2015（d﹣1）=（）a﹣1=t，由于0＜t＜1，则得到﹣1＜a＜0，2＜d＜2016，则2＜a+d＜2015，即有4＜a+b+c+d＜2017，故答案为：（4，2017）．17.若，则方程有实数解的概率为

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知等差数列的公差不为零，且，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和．参考答案：（1）解：在等差数列中，设公差为，，，

……2分化简得，

……4分

……7分（2）解：

①

②

②-①得：，

……10分当时，

……12分

……14分19.已知，是夹角为60°的单位向量，且，。（Ⅰ）求；（Ⅱ）求与的夹角.参考答案：略20.将正整数（）任意排成行列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数（）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.（Ⅰ）当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（Ⅱ）若表示某个行列数表中第行第列的数（，），且满足请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；（Ⅲ）对于由正整数排成的行列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合，记其“特征值”为，求证：参考答案：证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.可设在第一行第一列，考虑与同行或同列的两个数只有三种可能，或或.得到数表的不同特征值是或

……………3分714582369

（Ⅱ）当时，数表为

此时，数表的“特征值”为

……………………4分13159101426711153481216

当时,数表为

此时，数表的“特征值”为.

………5分21161116172227121318233891419244510152025

当时，数表为

此时，数表的“特征值”为.

…………6分猜想“特征值”为.

…………………7分（Ⅲ）设（）为该行（或列）中最大的两个数，则，因为所以，从而…………13分

略21.设函数f（x）=ex+．（1）求证：函数f（x）的唯一零点x0∈（﹣，0）；（2）求证：对任意λ＞0，存在μ＜0，使得f（x）＜0在（﹣1，λμ）上恒成立；（3）设g（x）=f（x）﹣x=（）h（x）﹣1，当x＞0时，比较g（x）与h（x）的大小．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（1）令f（x）=0，可得ex=﹣，由ex＞0，可得﹣1＜x＜0，运用零点存在定理，即可得证；（2）运用（1）的结论，结合f（x）＜0，在（﹣1，x0）处恒成立．即可得证；（3）求出g（x）的导数，判断单调性，可得g（x）＞0，运用复合函数的单调性可得h（x）的单调性，可得h（x）＜0，即可得到结论．【解答】解：（1）证明：令f（x）=0，可得ex=﹣，由ex＞0，可得﹣1＜x＜0，由f（x）=ex+=ex+1﹣在（﹣，0）递增，由f（﹣）=+1﹣=﹣1＜0，f（0）=1+0＞0，由函数零点存在定理，可得函数f（x）存在唯一零点x0∈（﹣，0）；（2）证明：由（1）可得f（x）在（﹣1，0）递增，由函数f（x）存在唯一零点x0∈（﹣，0），即有f（x）＜0，在（﹣1，x0）处恒成立．可令λμ=x0，即有对任意λ＞0，存在μ＜0，使得f（x）＜0在（﹣1，λμ）上恒成立；（3）g（x）=f（x）﹣x=ex+﹣x=ex+1﹣﹣x的导数为g′（x）=ex+﹣1，x＞0时，ex＞1，g′（x）＞0，g（x）递增，即有g（x）＞g（0）=1，h（x）=g（x）+1在x＞0时，由t=g（x）在x＞0递增，h（x）=1+t递减，即有h（x）在x＞0递减，则h（x）＜h（0）=1，故当x＞0时，g（x）＞h（x）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点存在定理的运用，以及函数的单调性的运用，属于中档题．22.已知函数f（x）=x2﹣2x+mlnx（m∈R），．（Ⅰ）若m=1，求y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），求g（x1﹣x2）的最小值．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出k的值，求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅲ）求出，，令，则问题转化为在的最值，根据函数的单调性求出其最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）m=1时，f（x）=x2﹣2x+lnx所以，∵f（1）=﹣1，所以在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=k（x﹣1）=x﹣1?x﹣y﹣2=0…（Ⅱ）∵2x2﹣2x+m=0的△=4﹣8m的对称轴为…（1）当△＜0即时，方程2x2﹣2x+m=0无解，在（0，+∞）恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单增当△=0即时，方程2x2﹣2x+m=0有相等的实数解，…在（0，+∞）恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单增；（2）当△＞0即时，方程2x2﹣2x+m=0有解，解得当m≤0时，x1＜0＜x2，解不等式所以f（x）在（x2，+∞）单增，在（0，x2）单减；当时，0＜x1