解析几何的20个微专题(附高考数学真题讲析)

2020120个微专题[1]1：直线与方程学问梳理：直线的倾斜角定义：当直线lxx轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.倾斜角的范围为0,180.直线的斜率：定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，ktan.倾斜角是90的直线，斜率不存在.过两点的直线的斜率公式：

y yP(xy

),P(x,y

)x

x时，k 2 1；1 1 1

2 2 2

1 2 x x2 1当x x1

时，斜率不存在.90的直线的斜率不存在.倾斜角倾斜角斜率0k0090k0，k增大90k不存在90180③可以用斜率来证明三点共线，即假设kAB

k ABC三点共线.AC名称方程的形式名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式yy k(xx)0 0(xy是直线上确定点，k0 0x轴是斜率斜截式ykxbx轴的截距两点式两点式yyy y1 xxx xxy轴1(x,y)(x,y是直线上1 1 2 22121两定点截距式xy1a bx轴上和不垂直于x轴和yy轴上的非零截距轴，且不过原点一般式AxByC0AB在x轴上的截距 ，C任何直线AB不同时为0〕A在y轴上的截距为CB留意：①求直线方程的方法主要有两种：一是直接法，依据条件，选择适当的直定系数，最终代入求出直线方程.但使用直线方程时，确定要留意限制条件，以免解题过程中丢解.yx轴交点的横坐标，而距离是一个非负数.直线与直线位置关系两条直线的交点假设直线l1

：AxB1

yC1

0和l2

：AxB2

yC2

0相交，则交点坐标是方程组AxByC 01 AxB

1yC

0的解.2 2 2两条直线位置关系的判定利用斜率判定假设直线l和l1 2

分别有斜截式方程l1

：yk1

xb和l1

：yk2

xb，则2①直线ll1

的等价条件为k1

k,b2

b.2②直线l与l1

重合的等价条件为k1

k,b2

b.2③直线l与l1

相交的等价条件为k1

kl2

l的等价条件为k k2 1

1.假设l与l1

斜率都不存在，则l与l1 2

平行或重合.假设l与l1

中的一条斜率不存在而另一条斜率为0，则l与l1 2

垂直.用直线一般式方程的系数判定设直线l1

：AxB1

yC1

0，l2

：AxB2

yC2

0，则①直线ll1

AB1 2

AB2

0且BC1 2

BC2

0.②直线l与l1

AB1 2

AB2

0且BC1 2

BC2

0.③直线l与l1

AB1 2

AB2

0；特别地，l1

l的等价条件为2AA BB1 2 1

0.AxByC0AxBym0的形式，与AxByC0BxAyn0的形式.用两直线联立的方程组的解的个数判定设直线l1

：AxB1

yC1

0，l2

：AxB2

yC2

0，将这两条直线的方程联立，AxByC 0得方程组 1 1 1 ，假设方程组有惟一解，则l与l

相交，此解就是l，l交点AxByC 0

1 2 1 22 2 2的坐标；假设方程组无解，此时l与l1 2

无公共点，则ll1 2

；假设方程组有很多个解，则l与l1 2重合.直线系问题设直线l1

：AxB1

yC1

0和l2

：AxB2

yC 02假设l与l1

A1

xB1

yC1

(A2

xB2

yC2

)0l与l1 2

的交点的直线系〔不包括l2

〕；假设ll1

，则上述形式的方程表示与与l2

平行的直线系.过定点(x,y)的旋转直线系方程为yy k(xx)(kR)〔不包括xx 〕；0 0 0 0 0斜率为k 的平行直线系方程为ykxb(bR).0 0注：直线系是具有某一共同性质的直线的全体，奇异地使用直线系，可以削减运算量，简化运算过程.距离公式与对称问题距离公式两点间的距离公式P(x,y

),P(x,y

)间的距离PP .(x x(x x)2(y2 1 2y)21x2y2特别地，原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离x2y2假设PP//x轴时，PP xx ；假设PP//y轴时，PP yy .1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2点到直线的距离公式P0

(x,y0

)l：AxByC0P0

lAx By Ax By C0 0A2B2P0

(x,y0

)，直线lxaP0

到直线l的距离dx0

a.P0

(x,y0

，直线lybP0

到直线l的距离dy0

b.注：用此公式求解点到直线距离问题时，直线方程要化成一般式.两条平行直线间的距离公式两平行直线l1

：AxB1

yC1

0和l2

：AxB2

yC2

0P0

(x,y)0 0在l上，则两平行直线l和l1 1

P0

(x,y0

)到直线l2

的距离.两平行直线l1

：AxByC1

0和l2

：AxByC2

0，则两直线l和l的1 2C C1 2A2C C1 2A2B2注：用此公式求解两平行直线间的距离时，直线方程要化成一般式，并且x,y项的系数必需对应相等.对称问题〔1〕中心对称①点关于点的对称P(xy0 0

)A(ab)P(2ax1 0

,2by).0②直线关于点的对称两点式求出直线的方程，或者求出一个对称点，再利用ll1 2

，由点斜式求出直线的方程，或者在所求直线上任取一点(x,y)，求出它关于点的对称点的坐标，代入直线，即可得到所求直线的方程.(2〕轴对称①点关于直线的对称

10 y y10

k1P(xy

ykxbP(xy

,则有

xx1 0 ,由0 0 1 1

y y xx 12

0k

1 0b2x,y.1 1特别地,P(x,y0 0

xaP(2ax,y1 0 0

P(xy0 0

ybP(x1 0

,2by).0②直线关于直线的对称直线相交，一是直线与对称直线平行.直线的倾斜角和斜率两条直线平行和垂直的判定直线的倾斜角和斜率两条直线平行和垂直的判定直线的点斜式方程直线的斜截式方程方程之间互化应用直线与方程直线的方程直线的两点式方程直角坐标系中画图直线的截距式方程直线的一般式方程相交求交点两点间的距离两条直线的位置关系平行求距离点到直线的距离两条平行线间的距离20专题2：圆的标准方程与一般方程学问梳理:⑴.圆的一般方程的概念：当 时，二元二次方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程。⑵.圆的一般方程对应的圆心和坐标：圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的圆的圆心为 半径长为 .专题3：直线与圆的位置关系及判定学问梳理.直线lAxByC0；圆(xa)2yb)2

r2判定方法:方法1：几何法．利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系推断：d＞r ； d＝r ； d＜r .方法2：代数法.利用直线与圆的公共点的个数进展推断：AxByC0设方程组(xa)2(yb)2

n，则有o 0 n= 相交；△ 0 n＝圆的弦长计算

相切； △ 0 n＝ 相离．学问梳理如以以下图所示，涉及直线与圆相交及弦长的题，都在RtAOB中，利用勾股定理，得半径弦长及弦心距之间的关系式.OA B弦长的计算：设圆的半径为R，圆心到直线的距离为d，则弦长l2 R2d2.专题4：圆与圆的位置关系620学问梳理圆与圆位置关系的判定1.圆与圆的位置关系有几种，各有几条公切线，分别画出来？d，半径分别为r，R，〔R>r〕则当dRr时，两圆当dRr时，两圆 当RrdRr 时，两圆当时，两圆 当dRr时，两圆dRr设两圆的方程分别为Cx2y2DxEyF0Cx2y2DxEyF

0，1 1 1 1 2 2 2 2yx的一元二次方程式Px2QxR0，则当0时，圆与圆 ；当0时，圆与圆 ；当0时，圆与圆 。专题5：椭圆的标准方程概念梳理.平面内 叫做椭圆. 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距. PMMFMF

2a，FF

2ca0,c0ac1 2 1 2为常数.当FF 2a时，集合P为 ；当FF

a时，集合P为 当1 2 1 2FF 2a时，集合P为 .1 2焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 .焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 .其中a,b,c满足关系为 .720椭圆的焦点三角形初探概念梳理:焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：PFF中，|PF

||PF

|2a,|FF

1 2|2c.1 2 1 2焦点三角形的周长为L2a2c.|PF1

||PF2

| 2b2 .1cosFPF1 21 FPFS

|PF||PF|sinFPF b2tan 1 2.2 1 2 1 2 2①．当|PF1

||PF2

|P为短轴端点时，θ最大；1②．S＝2|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，当|y0|＝bP为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；假设焦点PFF的内切圆半径为rS(ac)r.1 2820专题6：椭圆的简洁几何性质学问梳理标准方程

x2 y2+ =1〔a＞b＞0〕

y2 +

=1〔a＞b＞0〕a2 b2 a2 b2图形焦点

1 2焦距 FF

1 22cc a2b212范围 axa，byb性

bxb，aya对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点

b,0质 1 2 1 2 1 2 1 2轴 长轴AA的长为2a，短轴BB

1 2 1 2离心率椭圆几何性质再探焦半径公式.

ec0,1，其c a2b2a焦半径公式:P(x,y0 0

)是椭圆上一点，那么|PF1

|aex0

，|PF2

|aex0

，进一步，PF1

PF2

a2ex2b2,a2P(xy

是椭圆上一点，那么PFPF

b2c2e2x2x

[0a2],故我们有 0 0 1 2 0 920PFPF1

b2c2e2x2b2c2,b2专题7：直线与椭圆的位置关系及弦长计算学问梳理.直线和椭圆的位置关系有三种：相交、相切、相离.判定方法——代数法。将直线方程与椭圆方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，推断方程解的状况：＞0，方程有两个不同的解，则直线与椭圆相交；＝0，方程有两个相等的解，则直线与椭圆相切；＜0，方程无解，则直线与椭圆相离．弦长的一般形式A(xy1 1

),B(x,y)2 2(xx)2(xx)2(yy)21 2 1 21k2(xx)24xx1 2 12111k2(yy)24yy1 2 1 2椭圆弦长:x2

y21(ab0)a2 b2ykxm2a2km

2b2m

a2(m2b2)xx

yy

xx 1 2 a2k2b2

1 2 a2k2b2

12 a2k2b2yy 12

b2(m2a2k2)a2k2b20a2k2b2椭圆的焦点弦一．学问剖析

m2,AB

1k22ab a21k22ab a2k2b2m2椭圆

x2y2

1(ab0)其中两焦点为F(c,0),F(c,0),|AB|2ae(x x)a2 b2

1 2 A B〔过左焦点〕|AB|2ae(xA

x〔过右焦点〕其中e是椭圆的离心率.B1020y2椭圆a2

x2b2

1(ab0)|AB|2ae(yA

B

y)B〔过右焦点〕

|1|AF2

F2

B，则e 1k2

|1|.假设aby

x

〔可正可负〕，利用

2 构建y1xy2y2y1x

, y1 2 y 2 1 1(yy)2 11 2yy12

1 2 yy12

，联立利用韦达定理求解〕或者利用韦达定理分别解出y,y1 2专题8：中点弦问题——椭圆垂径定理学问梳理:中点弦公式：〔所谓中点弦公式是直线与圆锥曲线相交时，两交点中点与弦所在直线的关系，一般不联立方程，而用点差法求解〕椭圆：交点在x轴上时ykxmx2a2

b2

1(ab0)相交于点A、B设点A(xy1 1

),B(x,y)2 2

∵A、B在椭圆上x2 y2

x2x2

y2y2∴1 1a2 b2

1……① 则1a2

2 - 1 2b2x2 y22 2

1……② 即

y2y21 2

-b2a2 b2

x2x2 a21 2①-②得：

x2x21 2 a2

y2y21 2b2

0 即yx

y2)(y1x x1

y2)b2x a2211 2 1 2112020则k kABOM

b2a2

〔其中MA、B中点，O为原点〕y2 x2同理可以得到当焦点在y轴上，即椭圆方程为a2 b2当直线交椭圆于A、B两点，M为A、B中点

0)则k kABOM

a2b2ABM和原点Oy2下的系x2下的系数的相反数.面积计算二.学问梳理:三角形面积12直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积处理方法：12S

ABd〔其中AB为弦长，d为顶点到直线AB的距离〕121k121k2(xx)24xxkxy m0121101k212(12(xx)24xx1 2 110

y m0②特别方法：拆分法,可以将三角形沿着x轴或者y轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在x轴或者y轴上，此 时，便于找到两个三角形的底边长。SPAB

SPQA((yy)24yy1 2 12

S PQB

PQ y y12A B12 PQ2SPAB

SPQA

S PQB

PQx x12A B1212(x12(xx)24xx1 2 12122020四边形面积两对角线相互垂直助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；固然也有一些其他的状况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解.专题9：椭圆离心率的计算x2 y2小结：椭圆方程为

F

设焦点三角形PFFa2 b2

1 2 1 2中FPF

则cos

2b2

112e2.1 2 a210：双曲线的标准方程一．学问梳理FF的距离的差确实定值是常数(小于|FF|)的点的轨迹叫做1 2 1 2双曲线．这两个定点FF叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．1 2注：假设定义中“差确实定值”中的“确定值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。Mxy为双曲线上的任意一点,M点在双曲线右支上,则MF1M在双曲线的左支上,则MF1

MF2MF2

,MF1,MF1

MF2MF2

2a；因此得MF1

MF2

2a.x轴上:x2y2a2 b2

y轴上:

y2x2a2 b2

1a,b0,可以看出,x2项的系数是正的,xy2项的系数是正的,那么焦点y轴上.标准方程中的abc三个量满足c2

a2b2方程mx2ny2

1mn0表示的曲线为双曲线,x轴1320上或在y轴上两种情形。假设将方程变形为

x2y2

1m0n0时方程为x2y2

1 1m n1x轴上的双曲线,a

1,b 1

m0n0时,1 1 m nm ny2 x2方程为

1,y轴上的双曲线,此时a

1b 1。1 1 n mn m因此,在求双曲线的标准方程时,假设焦点的位置不确定,则常考虑上述设法.学问梳理范围、对称性顶点

a,0B

1 2 1 2AA长为2aaBB

长为2bb叫做虚半轴长.1 2 1 2渐近线如上图所示，过双曲线

x2y2

1A,A

yxa，经过a2 b2 1 2BBxyb，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线方程1 2

xxy

a a b b离心率:焦点在x轴：e 1( )2ba焦点在y轴: .焦点到渐近线的距离:(c,0到直线bxay0的距离为b.

1k2.1420专题12：直线与双曲线的位置关系学问梳理:直线与椭圆的位置关系有哪些？是如何争论的？当直线与椭圆相交时，如何求弦长？涉及弦的中点问题，如何解决？13：双曲线的离心率计算.14：抛物线的标准方程学问梳理抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线lFl的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F为抛物线的焦点，定直线l为抛物线的准线.〔1〕.定义可归结为”一动三定”：一个动点设为MF(即焦点)；确定直线l(即准线)1〔即动点MF的距离与它到定直线l1〕.〔2〕.定义中的隐含条件：焦点F不在准线l上。假设F在l上，抛物线退化为过F且垂直于l的一条直线。〔3〕.抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离(也称焦半径)与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简洁化。抛物线标准方程：y22pxp0

p,0

l:xp〔1〕〔2〕x2

2pyp0

22

，准线p2，准线2

；2l:yp；2y22pxp0

p,0

l:xp〔3〕

2

，准线 ； 21520x22pyp0

0,p

l:yp〔4〕

，准线 .2 2215：抛物线的几何性质学问梳理几何性质标准方程 y22pxp0 y22pxp0图象Fp,0

F

p,02焦点 22 准线性范围轴质 顶点离心率开口方

xp2yR

x轴e1

xp2x0,yR向右 向左向类型 x22pyp0 x22pyp0图象类型 x22pyp0 x22pyp02焦点 p2

F0,p2 2性 准线范围

yp2xR,y016

yp2xR,y020质质对称轴顶点离心率y轴e1开口方向上向下直线与抛物线位置关系16：抛物线的焦点弦学问梳理:抛物线弦长计算的根本方法:设A(x,y1 1

),B(x,y)2 2(xx)2(xx)2(yy)21 2 1 21k2(xx)24xx1 2 12111k2(yy)24yy1 2 1 2ykxmy22pxy并化简整理得到：k2x22(mkp)xm200，最终利用韦达定理，代入弦长公式即可解得弦长.由于

sincos

tan，故tan2

1cos2 sin2 ，cos2 1sin2sin2典例分析

tan2 1,cos2 .1tan2 1tan2案例分析.斜率为1的直线ly2AB的长度.1.(弦长公式).

4xFAB2.(抛物线定义).留意到直线l经过抛物线的焦点FAB焦点弦.1720要的考点之一，下面排列出常见的抛物线焦点弦性质:1.|AF|xA

p|BFx 2 B

p,|AB|x x2 A

P.性质2.倾斜角为直线的ly2

2pxFAB两点，则|AB| 2p ，S

p2 |AB2p11).23.抛物线的通径(1).通径长为2p.

OAB

2sin k2焦点弦中，通径最短.通径越长，抛物线开口越大.性质4.|AF| p

,|BF|

P ，1 1 21cos 1cos |FA| |FB| p5.直线ly2

2pxFABAB中点的坐标为(x,y0 0

，则|AB|2(x0

p).2性质6.以焦点弦为直径的圆与准线相切.7.y2

2px 的焦点为F，A(x,y1 1

),B(x,y2

)F的直线与抛物线的两个交点，求证：xx 12

p2,yy4 1

p2.例.〔20232卷设抛物线C：y24xFF且斜率为k(k0)的直线l与CAB|AB|8．求l的方程；1820AB且与C的准线相切的圆的方程．解：〔1〕F〔1，0〕，l的方程为y=k〔x–1〕〔k>0〕．A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕．ykx1 由 y2

4x

得k2x22k24xk22k24

0．16k2160，故xx ．1 2 k2ABAFBFx1

1x2

1

4k24．k24k24由题设知k2

8k=–1〔舍去〕，k=1．ly=x–1．〔2〕由〔1〕AB的中点坐标为〔3，2〕，AB的垂直平分线方程为y2x3yx5．设所求圆的圆心坐标为〔x0，y0〕，则 y x5，0 0 0

x

yx

12 解得0

或0x2 0 0

16. y 2

y 6. 0 2 0 0因此所求圆的方程为x32y2216或x12y62

144．17：阿基米德三角形1.如图，假设抛物线方程为x2

2pyp0)，过抛物线准线yp2

上一点P(x,y0

)AB，其坐标为(x,y1 1

),(x,y2

.PA,BPAB中，有如下的常见结论:1.ABF.1.192020202.ABx0

y y02

p(y0

y).证明：参见下面的例1.也可由极点与极线得到.x2 x21 2x2 x2

2p 2p xxAB(x,

1),(x, 2，则k

1 2.12p

2

AB xx 2p1 2x2 xx则AB:y 1 1 2(xx2p 2p 1p

)AB:2py(xx)xxx1 2 12

，明显由于AB过焦点(0, xx

p2.我们得到了抛物线焦点弦两端点坐标之间的根本关系.2 12上述结论的逆向也成立，即：3.FABABP(x,y)的轨迹即为抛物线的准线.0 0Ax1

xp(y1

y，过Bx2

xp(y2

y)，两式x相除可得：1x

yy1

xyxy xx py 21 1 2y 12 .这就证明白该结论.x yy2

xx1 2

2p 24.PFAB.3k

0，k

y p 0 2

.那么k k

y px020 x02

y01

1.xAB px5.APPB.

PF x0

AB PF

p x p 20x x x x xx证明：k AP

1,kp BP

2,则k kp AP

1 2 1p p p2

2由抛物线焦点弦的性质可知xx p2，代入上式即可得k

21APPB.x12 AP BP p2x6.AB的中点为MPM平行于抛物线的对称轴.证明：由结论3的证明可知，过点AB的切线的交点P在抛物线准线上.P的坐标为(xx(1

xx2)PM平行于抛物线的对称轴.,12 2p,1〔2023年全国三卷〕C：y=x2，Dy1DC的两条切2 2A，B.AB过定点：5假设以E(02)AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.1(1)证明：设D(t, ),A(x,y1

),则y1x2．又由于y x2，所以y”x.12 1 1

1 21 2y1x(xt，整理得2tx2y

10.1 2 1 1 1 1B(xy，同理得2tx2y10.2 2 2 2A(x,y1

),B(x,y2

)都满足直线方程2tx2y10.于是直线2tx2y10ABAB方程为2tx2y10.即2tx2y1)0，当2x0,2y10

1AB恒过定点(0,2).1〔2〕由〔1〕得直线AB的方程为ytx .2ytx1 2由 ，可得x22tx10，yx2 2xx1

2t,xx12

1,yy1

t(x1

x)12t212|AB|

|xx|11t2

2(t21).11t2(xx)24xx1 2 12dd1

DEAB的距离，则d

t21, d .t2t211因此，四边形ADBE的面积S

|AB|dd

t23t21.2 1 220 2 1设M为线段AB的中点，则Mt,t 2， EM 由于 ，而EMt,t22， 与向量(1,t)平行，所以tt22tEM t0或t1.当t0时，S3；当t1时S4 2因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.专题18：极点极线构造及非对称韦达定理根底学问:极点极线C:x2a2

y2b2

〔＞P(x,y)0 0和直线

xx yy0 0

1为椭圆的一对极点和极线.极点和极线是成对消灭的.a2 b2从定义我们共同思考和争论几个问题并写下你的思考:P(x,y在椭圆上，则其对应的极线是什么?0 0椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么?过椭圆外〔上、内〕任意一点P(x,y)，如何作出相应的极线？0 0如图，假设点P在曲线P作两条割线依次交曲线EFGHEHFG交NFHEGM,则直线MNP所对应的极线.x2假设椭圆方程为a2

y2b2

1(ab0)2202023〔1〕焦点与准线：(c,0)xa2；〔2〕点(m,0)xa2c m非对称韦达定理在一元二次方程ax2bxc0(a0)中，假设0xx，1 2xx

b

c，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处1 2 a1 1

12 a理xx 、 、x2x

之类的“对称构造”，但有时，我们会遇到涉及的不同系数的1 2 x x 1 21 2代数式的应算，比方求

x2、xx

之类的构造，就相对较难地转化到应用韦达定理来x 1 21处理了.特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x或y，也得到作用.〔2023一卷〕A、BE：

x y21〔a>1〕的左、右顶点，GE的上顶2a22AGGB8，Px=6上的动点，PAEC，PBE的另一交点为D．E的方程；CD过定点.解析：由椭圆方程E:

x y21(a1)Aa,0，Ba,0G0,12a22AGa,1，GBa,1AGGBa218，a29x2椭圆方程为： y21x29〔2〕P6,y，0y y00 x3

y AP的方程为：

63

，即：y 09

x3x29

y21联立直线AP的方程与椭圆方程可得： ，整理得：y

y x3090

3y

227y290

x26y0

2x9y0

2810x3x

0y2903y

227 y

6y将x 0

y

0

可得：y 0y29 90

y2903y所以点C的坐标为

227 6y ,0 .,y29 y0 0

293y同理可得：点D的坐标为

23 2y ,0,y20

3时，

y21 y0

21

2y 0 0直线CDy

2y 0

y29 y0

21 x

3y230 ，y21 3y0 0

227 3y0

23 y0

2100y29 y00

212y 8y

3y23

3y23y

0 0

x 0

0 x 0 y210

69y40

y21 0

3y20

y210y

x

x30

y23 0

0

2所以直线CD过定点3,0． 2 23 3 y2

3时，直线CDx

2，直线过点2,0．0 CD过定点3,0． 2 24.4.练习：〔2023江苏〕在平面直角坐标系xoy中，如图，椭圆x2 y2951的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T〔tm〕的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x,y)、1 1N(x,y)，其中m>0,y 0,y2 2120.设动点PPF2PB24,求点P的轨迹；1x1

2,x2

，求点T的坐标；3设t9,求证：直线MNx轴上确实定点〔其坐标与m无关〕解：〔1〕设点P〔x，y〕，则：F〔2，0〕、B〔3，0〕、A〔-3，0〕。9PF2PB2

4，得(x2)2y2[(x3)2y2]4, 化简得x 。29故所求点Px21x1

2,x2

y3 0,y2

0得：M〔25〕、N〔120〕3 3 9y0 x3 1

y0 x3MTA5

23

x1，直线NTB方程为：3 20

1 ，5 即y x5 6 2

0 0 33 9 3x7 10y

10，所以点T的坐标为(7,3)3点T的坐标为(9,m)直线MTA方程为：

y0

x3

m(x3)，直线NTB方程为：

y0

x3

m0 93 12m(x3)x2分别与椭圆

m0 93 6y21x

3，9 5 1 2M(

3(80m2), 40m )、N(3(m220), 20m )80m2

80m2

20m2 20m220m 3(m220)y x

xMN方程为：

20m2

20m21 2 40m

20m 3(80m2)3(m220)80m2y0x1。此时必过点D〔1，0〕；

20m2

80m2

20m2xx1

时，直线MNx1x轴交点为D〔1，0〕。所以直线MN必过x轴上确实定点D〔1，0〕。〔2〕x1

x，则由2

2403m23m26080m2 20m2

及m0，得m2 ，10此时直线MNx1，过点D〔1，0〕10

1040m10xx1

，则m2

，直线MD的斜率k MD20m

80m2 2403m2180m2

10m40m2，直线ND的斜率k ND

20m2 3m260120m2

10m40m2

，得kMD

k ，所以直线MN过D点。ND因此，直线MNx轴上的点〔1，0〕.专题19：与斜率和、斜率积有关的定点定值根本结论P(x,y0 0

x2a2

y21(ab0)上的定点，AB是椭圆上一条动弦，b2ABPAPB的斜率分别为kkk；1 2假设kk12

b2a2

x0

0,k 0，yxy假设kk12

b2a2

0AB过定点，假设kk1 2

0y0

0,k

b2x0，a2y假设kk1 2

00AB过定点.3 典例分析〔2023一卷〕3

x2y2

)中恰有三a2 b2

1 2

2 4 2点在椭圆C上.求椭圆C的方程；设直线lP2

点且与CA,BP2

A,PB的斜率之和为1，证2明：直线l过定点.解析：〔1〕PPyCPP两点.3又由111 3

4知，CP

P

3 4C上.a2 b2 a2 4b2 1 2 11 b2

a24 x2因此 ，解得

. C的方程为

y21.1 3 a2 b2

b21 4〔2〕P2AP2Bk1，k2，假设l与x=t0t2B〔，

4t2，24t2〔t4t22kk1

1，得t2，不符合题设.4t4t224t22lykxm〔m1〕.ykxmx24

y21得 .4k21x28kmx4m240，由题设可知=164k2m210.A〔x

，y〕，B〔x

，y〕，x

8km

，xx

4m24= .1 1 2

1 2 4k21

12 4k21y1

1

m1

m1 2kxx

m1xx而kk 1 2 1 21 2 x x x x

12xx

1 2 .1 2 1 2 12由题设kk 1，故2k1xxm1xx

0.1 2 12 1 2即2k14m24m1

8km

m10.解得k .4k21 4k21 2当且仅当m10lym1xmy1m1x2，2 2l过定点〔21〕20：解析几何中的几何方法201.根本学问:“一线三垂直”的证明1.如图，AB⊥BD，AC⊥CE，ED⊥BD，且AC=CE求证：Rt△ABC≌Rt△CDE．证明：在Rt△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°∵∠BCD是平角∴∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°∵∠ABC=∠ACE=90° ∴∠A=∠DCE，∵AC=CE∴Rt△ABC≌Rt△CDE〔AAS〕．典例〔2023三卷〕椭圆C:x2y2

1(0m5)的离心率为

15，A，B

分别为C的25 m2 4左、右顶点．求C的方程；假设点P在C上，点Q在直线x6上，且|BP||BQ|，BPBQ，求APQ 的面积．【详解】〔1〕

C:x2y2

1(0m5)a5，bm，25 m2ec

1b2

1m2

m m ( )依据离心率a

a 5

，解得 或554 455

4x2

y2 1x2 16y2C的方程为：25 524

，即 25

1； 〔2〕PQx轴上方P在C上，点Qx6上，且|BP||BQ|BPBQ，Px轴垂线，交点为Mx6xN依据题意画出图形，如图2820又 ，依据三角形全等条件“AAS ”，可得：△PMB△BNQ，

x216y2

1，25 25B(5,0)，PMBN651P点为(xy)，P PPy

1x216y21x2161，PP 25 25 25 25PP解得：x 3或x 3， 点为(3,1)或(3,1)，PP P①P点为(3,1)MB532，△PMB△BNQ，|MB||NQ|2，Q点为(6,2)，画出图象，如图A(5,0)Q(6,2)AQ2x11y100，依据点到直线距离公式可得PAQ的距离为：d

231111022112

5 5，125 5依据两点间距离公式可得：AQ

65220

5 5， APQ 面积为：

15

55；2 5 2②P点为(3,1)MB5+38，△PMB△BNQ，|MB||NQ|8，Q点为(6,8)，画出图象，如图A(5,0),Q(6,8)，29202030831114082112AQ8x11y83111408211251855185185d ，185652652802185185 APQ面积为：1 185 51852

5 52，综上所述，APQ2.江苏高考数学真题讲析[2]文/刘蒋巍高三数学复习大有裨益！1、培育学生代数式的变形与转化力气《2023年一般高等学校招生全国统一考试〔江苏卷〕说明》〔以下简称：江苏202314解决问题的力气。问题如下：2023江苏.14．正数abcca≤b≤caclnb≥aclncb的取a值范围是▲ ．命制思路简析：x,y53xy4xyex，求

y的范围。x〔axbyx,yz53ab4a，c c c c clnbab的范围。〕c c a202314如下：2023江苏14.在锐角三角形ABC中，sinA2sinBsinC则tanAtanBtanC的最小值是 ．【试题命制】〔41174题〕ABC中，ADBCD，BDDC:AD236BAC的度数.〔改编1〕在锐角三角形ABC 中，ADBC，垂足为D，BC:AD2:1，则tanAtanBtanC的最小值是 BCaADbsinC，所以ADBCDBC:AD21”还可表述为a2bsinC”sinA2sinBsinC2稿〔2稿〕在锐角三角形ABC中，sinA2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 【解法探究】AADBCDBDm，CDnADh；则mna；由sinA2sinBsinCa2bsinCAD h而bsinCh，则a2hmn2h；又tanB

BDm，

mnADtanC

h，tanAtan(BADCAD)

tanBADtanCAD h hCD n 1tanBADtanCAD 1

mn 2 ；所以tanAtanBtanC

h h2 h2；1mn 1mn mnh2 h2x

mn(0,1；则tanAtanBtanCh2

2(1x)x

1xx ( )22222运用根本不等式由于sinA2sinBsinCsinAsin(A)sin(BC，所以sin(BC)2sinBsinCsinBcosCcosBsinC2sinBsinC；两边同除以cosBcosCtanBtanC2tanBtanC2020而tanAtan(A)tan(BC)tanBtanC

2tanBtanC所以tanAtanBtanC2(tanBtanC)21tanBtanC

1tanBtanC 1tanBtanC，x1tanBtanC1，则tanAtanBtanC2(1x)2

212xx2x x21x28x1时，即tanBtanC2时取等号x思考：还有其他解法么？2、引导学生关注教材中的根本模型182023年江苏高考的应用题。此题考察生的数学应用意识。多题合一”+“改造”18.(16分)如图,为了保护河上古桥OA,规划建一座桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.OA80m.经AO60m处,CO170m处(OC为河岸tanBCO4.3BC的长；北BA60mM北BA60mMO170mC东32〔18题〕20命题背景解析129252.5m120角，路灯承受锥h为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？〔0.01m〕221132A1,4)作圆(x22y321的切线l，求切线l的方程.是直线的方程与圆的方程两者知一求一。思考：202318题，如何求解呢？有几种解法呢？3、留意学生运算力气的培育，引导学生思考简捷的算法320来？如何运算、选择怎样的算法翻开运算死结呢？请看以下江苏高考题：2 y2 14 2的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作xCACBPAkPAMNk的值；当k=2时，求点P到直线AB的距离d； yP命制思路简析：

BM C xAN〔有心圆锥曲线中点弦的统一性质设椭圆〔双曲线〕x2 y2 1(mn 0,且m nm、n不同时为负数〕APA，PB，则k kAB

nmy 2nx y 2n由于kAB

0 ，所以k2x PB0

my0

，又由于kPA

0；则k k x PA PB m0

x2y21，则k k

1，PAPB〕4 2 PA PB思考：除命制思路外，还有其他解题思路吗？202319.xOy中，椭圆x2a2

y21(ab0)的左、右焦b2Fc0)

(c．和e

3都在椭圆上，其中e为椭圆的21 21 离心率．求椭圆的离心率；1yAPBF1OF2x1yAPBF1OF2xBF2

AF2

BF1

P．34〔19题〕AF

BF

206AF的斜率；1 2 2 1PF1

PF2

是定值．思考：如何求解？通性通法怎么巧算？除通性通法外，可否使用参数方程、极坐标等方法求解？2023江苏18.xOyx2a2为2Fl3.2求椭圆的标准方程；

y2b2

1ab0的离心率FA，BABlABP，CPC=2ABAB的方程.思考：如何求解？通性通法怎么巧算？除通性通法外，可否使用参数方程、极坐标等方法求解？4、把握通性通法的同时，了解试题的高等数学背景19202320题。该题考察数学思想方法。202320.〔16分〕f(x)lnxax,g(x)exax，其中a为实数。〔1〕假设f(x)在(1,)g(x)在(1,)a的取35202036值范围；〔2〕g(x)在(1,)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论。函数h(x) 的图像在(0,e)单调递增在(e,)单调递减最大值为h(e)e1，xlimh(x)，limh(x)lim

lnx

lim

0〔此处极限值用洛必达法则求得〕x0

x x x xx

lnx〔假设ae1则当a0或ae1时方程a 的根个数为当0ae1时，xlnx方程a 的根个数为2〕x思考：除命制思路外，还有其他解题思路吗？用通性通法如何求解？202320．〔16分〕各项均为正数的两个数列{an

和{bn

a

n1

ab

b

N，求证：数列

2是等差数列；nna2bnna2b2n n

nn1 an2b2

an

〔2〕设b n1

n，nN，且{aa n

}是等比数列，求a和b1 1

的值．命制思路简析：①正项数列{an

}为大于1的有界数列，且{an

}为等比数列，求证：{an

}为常数列.a2b22②a0,b0，求证：1 a2b22思考：如何证明{an

}为常数列？正难则反？还有哪一年高考题考察反证法20232023年？如何书写证明过程？2023江苏卷19题命制思路简析：5982〔3〕为原型生长而成的。试题原型设x2x

2x2分析可知2x2x20x0g(x)2x2x2有且只1个零点。从“语言互译”[1]的角度命制“邻近问题”1稿。1xRg(x)2x2x21个零点.分析可知：假设记a1,b2 a2 gx)axbx21个零点，此时ab1.将“

1,b2”推广到0a1b1”g(x)axbx21个零点，则ab1。2

f(x)axbx，其中0a1b1g(x)f(x)21个零点，求ab的值2 y2〔2023江苏18〕在平面直角坐标系xoy中，如图，椭圆x 1的左、9 5右顶点为A、B，右焦点为FT〔tm〕的直线TA、TB与椭圆分别交于M(xy1 1

N(x,y2 2

)m>0,y10,y2

0．PPF2PB24P的轨迹；x1

2,x2

1T的坐标；3设t9,MNx轴上确实定点〔m无关〕．命制思路简析：前两问比较简洁，这里从略。对于第〔3〕问，由高等几何学问知：点T〔t,m〕

x2y2a2 b2

1txmya2 b2

1x轴上确定点a2,0MN必过定点a2,0。〔x2y2

1，t9，t t 9 5〕第〔3〕问标准解答：〔3〕T的坐标为(9,m)

y0x3ym(x3)，m0 93 12NTB方程为：

y0

x3y

m(x3)。

x2y2

m0 93 6x

3，9 5 1 2M(

3(80m2), 40m )、N(3(m220), 20m )。80m2 80m2 20m2 20m2〔方法一〕当xx1 2

时，直线 MN 方程为： 20m 3(m2 y x20m2

20m240m80m2

20m 3(80m2)3(m220)20m2 80m2 20m2y0x1D〔1，0〕；xx1

x1xD〔1，0〕。MNx轴上确实定点D〔1，0〕。2403m2 3m26010〔方法二〕x101

x，则由2

80m2 20m2

及m0，得m2 ，MNx1D〔1，0〕。1040m10xx1

，则m2

MD的斜率kMD20m

80m22403m280m2

10m ，1 40m2直线ND的斜率k ND点。

20m2 3m260120m2

10m40m2

，得kMD

k ，所以直线MN过DND因此，直线MNx轴上的点〔1，0〕。“死结”：解第〔3〕问：设OM312mON(36m)(0，MNxD〔x，0〕，DMDN(R)m(123xm(36x)9(41)2

m221()x

3)〔﹡

在椭圆上∴ 9 59(21)2

m221 9 5消去m2，得624，代入〔﹡〕()(x1)0,0，x1．“死结”：解第〔3〕问：分析：从“标解”可以看出，命题意图着力考察因式分解及整体消方案．〔为了更能说明问题，考虑一般情形〕

x2y2a2 b2

1〔﹡〕，MNxrys代入〔﹡〕，得(b2r2a2y22b2rsyb2(s2a2)0N(xy

),M(x,y

)Tt,m)(

0y)mta

y2xa2

1 1 2 2 2 11 2 m，1

tay