九年级数学下册知识讲义-27相似多边形的判定与性质(附练习及答案)-人教版

初中数学相似多边形的判定与性质学习目标一、考点突破1.知道什么是相似多边形，什么是相似比。2.理解相似多边形的特征和性质，会判断两个多边形是否相似。二、重难点提示重点：掌握相似多边形的主要特征。难点：相似多边形的判定。考点精讲相似多边形对应角相等、对应边成比例的两个多边形的叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比。【核心突破】相似多边形的主要特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。相似多边形的判定：如果两个多边形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个多边形相似。如上图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，则∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G，∠D＝∠H；。【重要提示】如上图，要判断四边形ABCD和四边形EFGH相似，必须有∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G，∠D＝∠H；，缺一不可。典例精讲例题1如图所示，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到。矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（）A.0.618B.C.D.2思路分析：根据相似多边形的对应边成比例求解。答案：∵矩形ABCD和矩形BFEA相似，∴AB∶BF＝AD∶AB，∴AD•BF＝AB•AB，又∵BF＝AD，∴AD2＝AB2，∴，故选B。技巧点拨：本题考查相似多边形的性质，本题应根据相似多边形的性质和比例的性质解题。例题2如图，两个梯形相似。（1）求α的度数；（2）求x和y的值。思路分析：（1）在梯形ABCD中，根据内角和定理即可求得∠C的度数，依据相似多x，y边形的对应角相等即可求得α的值；（2）依据相似多边形的对应边的比相等即可求得的值。答案：（1）在梯形ABCD中，∠∵梯形ABCD梯形EFGH相似，∴∠α＝∠（2）作DE⊥BC于M，则△DMC是等x＝，y＝。C＝360°－90°－90°－135°＝45°，C＝45°。则CD＝；腰直角三角形，∵，∴，解得∶技巧点拨：本题主要考查了相似多边形的性质，对应角相等，对应边的比相等。注意多边形相似问题一定要找准对应边和对应角。例题3在AB＝30m，AD＝20m的矩形花坛四周修筑小路。（1）如图1，如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由；（2）如图2，如果相对的两条小路的宽均相等，试问小路的宽能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？请说明理由。x与y的比值为多少时，思路分析：（1）首先设四周的小路的宽为x，易得，则可判定∶小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似；（2）由相似多边形的性质可得∶当时，小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似，继而求得答案。答案：（1）如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似；设四周的小路的宽为x，∵＝1＋，＝1＋，∴，∴小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似；（2）∵当时，小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似，解得：，∴路的宽与y的比值为2∶3时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似。x技巧点拨：此题考查了相似多边形的判定。此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用。提分宝典【高频疑点】仅有对应角都相等或仅有对应边都成比例的两个多边形并不一定相似，定义中“对应角相等”、“对应边成比例”是判定两个多边形是否相似的必备条件，缺一不可。注意：（1）两个多边形边数不一同定不是相似多边形；（2）两个相似多边形的相似比是有顺序的。思考：所有矩形都相似吗？所有菱形都相似吗？所有的正方形呢？【方法提炼】“对应边的比相等，对应角相等”实际上更具体化。应用相似图形可以解决许多生活中的实际问题，在应用特征时一定要找对对应边，方法是长边对长边，短边对短边，相等的角所对的边是相似多边形的统一定义，要比“形状相”同是对应边。同步练习（答题时间：15分钟）1.下列图案中与众不的同是（）A.B.C.D.2.下列3个矩形中，相似的是（）①长为8cm，宽为6cm；②长为8cm，宽为4cm；③长为6cm，宽为4.5cm。A.①②和③B.①和②C.①和③D.②和③3.两个相似的五边形，一个各边长分别为1、2、3、4、5，另一个最大边长为8，则后一个五边形的最小边长为（）A.B.2C.D.**4.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F两点分别在AB、DC上，若AE＝4，EB＝6，DF＝2，FC＝3，且梯形AEFD与梯形EBCF相似，则AD与BC的长度比是（）A.1∶2B.2∶3C.2∶5D.4∶9∠G＝__________。5.如下左图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，则6.如图，已知在梯形ABCD中，EF∥AB∥CD，AB＝9，CD＝4，若EF把梯形分成的两求EF的长个小梯形相似，。*7.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4。（1）求AD的长（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比；。答案1.D解析：观察图形可知，A、B、C中的两个图形都是相似图形，D中的两个图形不是相似图形。2.C解析：①与②中矩形长与宽的比分别为不相似；①与③中矩形长与宽的比分别为相似；②与③中矩形长与宽的比分别为不相似。3.A解析：设后一个五边形的最小边长是x，则5∶8＝1∶x，解得x＝。**4.D解析：∵梯形AEFD和梯形EBCF相似，且DF∶FC＝2∶3，∴AD∶EF＝EF∶BC＝2∶3，∴AD＝EF，BC＝EF，∴AD∶BC＝EF∶EF＝4∶9。5.67°解析：∵∠C＝360°－138°－100°－55°＝67°。∴6.解：∵EF把梯形分*7.解：（1）由已知得MN＝AB，MD＝AD＝BC，∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，，∵MN＝AB，DM＝AD，BC