函数与极限测试题及答案(二)

函数与极限测试题及答案(二)1.选择题1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"MN"表示“M的充分必要条件是N”，则必有()。（A）F(x)是偶函数f(x)是奇函数。（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数。（C）F(x)是周期函数f(x)是周期函数。（D）F(x)是单调函数f(x)是单调函数。答案：D2.设函数f(x)=1/(ex(x-1)),则()。（A）x=-1，x=1都是f(x)的第一类间断点。（B）x=-1，x=1都是f(x)的第二类间断点。（C）x=1是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点。（D）x=1是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点。答案：C3.设f(x)=[1/(x-1)],x≠1，则f[1,x]=()，x≠1，则f[1,x]=()。（A）1-x；（B）1-x2；（C）1-x；（D）1-x2。答案：A4.下列各式正确的是()。（A）limx→+∞x/(x+1)=1；（B）limx→0xsin(1/x)=0；（C）limx→1(x-1)/(x2-1)=1/2；（D）limx→∞(1-1/x)e-x=0。答案：A5.已知limx→∞[(x3+2)/(x3+1)]=a，则a=()。（A）1；（B）∞；（C）e；（D）2ln3。答案：C6.极限：lim(x→+∞)[(x+1)/(x2+2)]=（）。（A）1；（B）∞；（C）e；（D）2。答案：A7.极限：lim(x→0)(x+1-1)/x2=（）。（A）0；（B）∞；（C）1；（D）2。答案：C8.极限：lim(x→∞)(x+1-1)/x2=（）。（A）0；（B）∞；（C）1；（D）2。答案：A9.极限：lim(x→+∞)(x2+x-x)/x=（）。（A）0；（B）∞；（C）2；（D）1。答案：C10.极限：lim(x→π/4)(tanx-sinx)/(sin3x/2)=（）。（A）0；（B）∞；（C）1；（D）16。答案：C二.填空题11.极限lim(x→∞)sin(2x)/x=（）。答案：012.极限lim(x→∞)arctan(x/(2x+1))=（）。答案：π/213.若y=f(x)在点x连续，则lim[x→x0][f(x)-f(x0)]=（）。答案：014.极限lim(x→0)sin(5x2)/x2=（）。答案：515.极限lim(n→∞)(1-1/n)n=（）。答案：1/e16.若函数y=2/(x-3x+2)，则它的间断点是x=（）。答案：1,217.绝对值函数f(x)=|x|的定义域是R，值域是[0,∞)。答案：定义域是R，值域是[0,∞)。18.符号函数$f(x)=sgn(x)=\begin{cases}0,&x=0\\-1,&x<0\\1,&x>0\end{cases}$，其定义域是实数集，值域是{-1,0,1}。19.无穷小量是指当自变量趋近于某一值时，函数值无限趋近于零的量。20.函数$y=f(x)$在点$x$连续，要求函数满足的三个条件是：$\lim\limits_{x\rightarrowx_0}f(x)=f(x_0)$，$\lim\limits_{x\rightarrowx_0^+}f(x)=f(x_0)$，$\lim\limits_{x\rightarrowx_0^-}f(x)=f(x_0)$。21.求$\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x}{1-x}$。22.设$f(e^x-1)=3x-2$，求$f(x)$（其中$x>0$）。23.求$\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{3-x}{x-5}$。24.求$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{x+1}{x-1}$。25.求$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sinx}{2x+a}$。26.已知$\lim\limits_{x\rightarrowa}\frac{x^2-9}{x-a}=9$，求$a$的值。27.计算极限$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+2+3+\cdots+n)$。28.求$f(x)=\frac{1}{n}\left(\frac{x}{x+2}+\log_2(5-2x)\right)$的定义域。29.判断下列函数是否为同一函数：⑴$f(x)=\sinx+\cosx$，$g(x)=x+1$；⑵$f(x)=\frac{2x-1}{x-1}$，$g(x)=x+1$；⑶$f(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$，$g(x)=x+1$；⑸$y=ax$，$s=at$。30.已知函数$f(x)=x-1$，求$f(x+1)$、$f(f(x))$、$f^2(3)$。31.求$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2-5n+1}{6n^2-4n-7}$。32.求$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1+2+\cdots+n}{n^2}$，$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1-2^n}{n}$。33.求$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n^2+n}-n$。34.求$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2+1}{n+2}$。35.判断下列函数在指定点是否存在极限：⑴$y=\sinx$，$x\rightarrow\pi$；⑵$y=\begin{cases}x+1,&x<2\\x,&x\geq2\end{cases}$，$x\rightarrow2$；⑶$y=\begin{cases}x,&x<2\\3,&x=2\\x,&x>2\end{cases}$，$x\rightarrow2$。36.求$\lim\limits_{x\rightarrow3}\frac{1}{x-3}$，$\lim\limits_{x\rightarrow-3}\frac{2}{x+3}$。37.求$\lim\limits_{x\rightarrow3}\frac{2}{x-3}$，$\lim\limits_{x\rightarrow-3}\frac{2}{x+3}$。38.求$\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{1-x-12x^3+x^2+13x}{x^2-1}$。39.求$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{x^3-x+1}{x^2-x+1}$。40.求$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{3x}{x-x^2+1}$。41.求$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin3x}{1-\cosx}$。42.求$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{2x}{x^2+1}$。43.求$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$。44.求$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n$。45.求$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{x}{2n}$。46.求$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{1-x}{2x}$。47.求$\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{1+kx}{x}$。48.研究函数f(x)=x在点x=1处的连续性。49.指出函数f(x)=1/(x-1)在点x=1处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。50.指出函数f(x)=|x|在点x=0处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。51.指出函数f(x)=x^2在点x=1处是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。52.求limln(1+x)/x；x->053.求lim(ln(x^2-1)/x-1)；x->154.试证方程2x-3x+2x-3=0在区间[1，2]至少有一根。55.求lim(32/tanx-sinx)/sin32x；x->056.试证正弦函数y=sinx在区间(-∞，+∞)内连续。57.函数f(x)=|x|在点x=0处是否连续？58.函数f(x)=ax-1/x；是否在点x=0连续？59.求极限lim(2x^2+3x-1)/(x^2+x-2)；x->-1注：已删除明显有问题的段落，对每段话进行了小幅度的改写。1.当$x\to\infty$时，分母趋于无穷，不能直接使用商的极限法则。先进行恒等变形，将函数有理化：原式$=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^2}{x\cdot\tanx(1-\cosx)}$2.解：原式$=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3x}{(2x)^8\cdot(8x)^{1/6}}$注：等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上例中若对分子的每项作等价替换，则原式$=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3x}{(2x)^8+(8x)^{1/6}}$3.在某一极限过程中，以趋向极限的变量为自变量，称为该极限过程中的无穷小量。4.计算题：(21)解：$\lim\limits_{x\to1}\dfrac{x+x^2-1+e^{-x}}{1+x+1/x+e^{-x}}=\lim\limits_{x\to1}\dfrac{2-x-e^{-x}}{2+2x-e^{-x}}=\dfrac{1}{2}$(22)解：$f(x)=3\lnx+1$，则$f'(x)=\dfrac{3}{x}$，$f''(x)=-\dfrac{3}{x^2}<0$，故$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，$f(2)=3\ln2+1$(23)解：$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{3x}-1}{x}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{3e^{3x}}{1}=3$(24)解：$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=\lim\limits_{x\to\infty}\left[\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x+1}\right]^{-1}\cdot\left(1+\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{1}{e}\cdot1=\dfrac{1}{e}$(25)解：$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin2x}{\sqrt{x+\sinx}}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{2\cos2x}{(1+\cosx)/2}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{4\cos2x}{1+\cosx}=2$(26)解：$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+3x)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+3x)-\ln1}{3x/3}=\ln3$(27)解：$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^3+3x^2+1}{4x^3+2x^2+3}=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^3}{4x^3}=\dfrac{1}{4}$(31)解：$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3n^2-5n+15}{23n^2-5n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3-\dfrac{5}{n}+\dfrac{15}{n^2}}{23-\dfrac{5}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}}=\dfrac{3}{23}$1.$\lim_{n\to+\infty}\frac{2n+3}{6n-4}=\frac{1}{3}$；2.$\lim_{n\to+\infty}\frac{3-5n}{n(n+1)}=0$；3.$\lim_{n\to+\infty}\frac{2^{2n}}{(n^2+n)^{1/2}}=2$；4.$\lim_{n\to+\infty}\frac{n+1-n}{(n+1+n)(n+1)}=\frac{1}{2}$；5.$\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^3+3(n+1)^2+3(n+1)+1}{3n^3+5n^2}=1$；6.$\lim_{x\to3}\frac{x+3}{x^2-9}=\frac{1}{6}$；7.$\lim_{x\to3}\frac{x-3}{x^2-9}=\frac{1}{6}$；8.$\lim_{x\to1}\frac{(1-x^{-1})(1-x^2)}{(1-x^{-1})(1+x-1)}=-1$；9.$\lim_{x\to+\infty}\frac{1-x^{-1}-x^{-2}}{1-x^{-1}+x^{-2}}=-1$；10.$\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3-x+1}{x^3+2x^2+3x+4}=1$。41.改写：根据极限的定义，lim(x→3)(2sin^2(1-cosx)/x^2)=1/2，因此lim(x→3)(lim(x→x)2sin^2(1-cosx)/x^2)=lim(x→3)(1/2)=1/2，即lim(x→3)(2sin^2(1-cosx)/x^2)=1/2。42.改写：根据极限的定义，lim(x→2)(lim(x→x)(4/(x^2(2+x^2))))=lim(x→2)(4/(2+2^2))=4/6=2/3，因此lim(x→2)(4/(x^2(2+x^2)))=2/3。43.删除，因为缺少必要的上下文信息。44.改写：根据极限的定义，lim(n→∞)(1+(1/n))^n=e，因此原式可以改写为lim(n→∞)(1+(1/n))^n，即lim(n→∞)((1+1/n)^n)，等于e。45.改写：将kx替换成y，原式可以改写为lim(x→∞)((1+1/y)^y)，等于e^k。46.改写：将-x替换成y，原式可以改写为lim(x→-∞)((1+1/x)^(-x))，等于e^(-1)。47.改写：根据极限的定义，lim(x→∞)((1+kx)/kx)=lim(x→∞)(1/k+1/(kx))=0+0=0，因此原式可以改写为lim(x→∞)(e^(kx))。48.改写：根据极限的定义，lim(x→x)sinx=1，因此lim(x→x)f(x)=lim(x→x)sinx=1，即函数在x=0处连续。49.删除，因为缺少必要的上下文信息。50.删除，因为缺少必要的上下文信息。51.改写：根据极限的定义，lim(x→∞)(1+1/x)=1，但f(∞)=1，两者不相等，因此函数在x=∞处是第一类间断点。52.删除，因为缺少必要的上下文信息。53.改写：根据极限的定义，lim(x→1)((x+1)lnx/(x-1))=2，因此原式可以改写为2ln2。54.证明：由题意可知f(x)在[1,2]上连续，且f(1)<0，f(2)>0，因此由介值定理可知，存在一个根x=ξ，使得f(ξ)=0。55.改写：原式可以改写为lim(x→∞)(tanx/x)(1-cosx)/(1+cosx)。由极限的定义可知，lim(x→∞)(tanx/x)