辽宁省朝阳市北票第七高级中学高三数学理模拟试题含解析

辽宁省朝阳市北票第七高级中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为(

)A. B. C. D.参考答案：B2.已知关于的方程的三个实根分别为一个椭圆，一个抛物线，一个双曲线的离心率，则的取值范围（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B3.已知两点A（﹣1，1），B（3，5），点C在曲线y=2x2上运动，则的最小值为（）A．2 B． C．﹣2 D．﹣参考答案：D【分析】设C（x，2x2），得出关于x的函数，根据函数性质求出最小值．【解答】解：设C（x，2x2），则=（4，4），=（x+1，2x2﹣1），∴=4（x+1）+4（2x2﹣1）=8x2+4x=8（x+）2﹣．∴当x=﹣时取得最小值﹣．故选D．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，函数最值得计算，属于中档题．4.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（

）A. B.2C. D.参考答案：B【分析】由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合点到直线距离公式整理计算可得双曲线的离心率.【详解】设圆心到直线的距离为，由弦长公式可得：，解得：，双曲线的渐近线方程为：，圆心坐标为，故：，即：，双曲线的离心率.故选：B.【点睛】本题主要考查圆的弦长公式，点到直线距离公式，双曲线离心率的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.常说“便宜没好货”，这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（） A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件参考答案：B略6.设，定义运算“”和“”如下：，．若正数满足，则（

）A．

B．C．

D．参考答案：B

考点：新概念.7.已知△ABC中,,，,,||=3,||=5,则与的夹角为()A、30° B、-150°

C、150° D、30°或150参考答案：C8.已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（

）A．9 B．12 C．18 D．24参考答案：B∵，不等式恒成立∴∵当且仅当a=3b时取等号，∴的最大值为12故选：B

9.函数的零点所在的区间为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B10.设，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是

(

)（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，若，则_________.参考答案：略12.若的展开式中存在常数项，则n可以为（）A．8 B．9 C．10 D．11参考答案：C【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；分析法；二项式定理．【分析】先求出的展开式的通项公式，分析可得，若的展开式中存在常数项，则n必为5的倍数，从而得出结论．【解答】解：的展开式通项为，若存在常数项，则2n﹣5r=0有整数解，故2n=5r，n必为5的倍数，故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．13.已知函数________.参考答案：114.已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.

x0是函数f(x)＝lnx－的零点，则[x0]等于________.参考答案：2略15.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，交双曲线于点M且，则双曲线C的离心率为

．参考答案：考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意可表示出渐近线方程，进而可知F2H的斜率，设出H的坐标代入渐近线方程求得x的表达式，则H的坐标可知，进而求得M的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．解答： 解：设F2（c，0）相应的渐近线：y=x，则根据直线F2H的斜率为﹣，设H（x，x），将y=﹣（x﹣c）代入双曲线渐近线方程求出x=，则M（，），由，可得M（，），即有M（，），把M点坐标代入双曲线方程=1，即﹣=1，整理可得c=a，即离心率e==．故答案为：．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是通过分析题设中的信息，找到双曲线方程中a和c的关系．16.在△ABC中，若，，，则的大小为

.参考答案：，而，故。17.设平面向量与向量互相垂直，且，若，则

．参考答案：5由平面向量与向量互相垂直可得所以，又，故答案为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求A的大小；（2）若，求△ABC的面积．参考答案：（1）（2）试题解析：解：（1）法一：在△ABC中，由正弦定理，及，得，…………………3分即，因为，所以，所以，…………6分所以.……………………8分解法二：在△ABC中，由余弦定理，及，得，…………3分所以，所以，………………6分因为，所以.…………………8分（2）由，得，………………11分所以△ABC的面积为.

………………14分考点：正弦定理，向量数量积，三角形面积公式【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.19.（10分）（2012?道里区校级三模）选修4﹣1：几何证明选讲如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过点A的直线，且∠PAC=∠ABC．（Ⅰ）求证：PA是⊙O的切线；（Ⅱ）如果弦CD交AB于点E，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求sin∠BCE．参考答案：考点： 与圆有关的比例线段．

专题： 计算题；直线与圆．分析： （Ⅰ）由AB为直径，知，，由此能证明PA为圆的切线．（Ⅱ）设CE=6k，ED=5k，AE=2m，EB=3m，由AE?EB=CE?ED，得m=k，由△AEC∽△DEB，△CEB∽△AED，能求出AB=10，，由此能求出sin∠BCE．解答： （Ⅰ）证明：∵AB为直径，∴，，∵，∴PA⊥AB，∵AB为直径，∴PA为圆的切线．…（4分）（Ⅱ）解：CE=6k，ED=5k，AE=2m，EB=3m，∵AE?EB=CE?ED，∴m=k，∵△AEC∽△DEB△CEB∽△AED，∴AB=10，．在直角三角形ADB中，，∵∠BCE=∠BAD，∴．…（10分）点评： 本题考查与圆有关的比例线线段的应用，解题时要认真审题，注意相交弦定理和相似三角形性质的合理运用．20.如图，三棱柱ABC﹣A1B2C3的底面是边长为4正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=2，M为A1B1的中点．（Ⅰ）求证：MC⊥AB；（Ⅱ）在棱CC1上是否存在点P，使得MC⊥平面ABP？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若点P为CC1的中点，求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．参考答案：考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）取AB中点O，连接OM，OC，证明AB⊥平面OMC，可得MC⊥AB；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，设P（0，2，t）（0≤t≤2），要使直线MC⊥平面ABP，只要?=0，?=0，即可得出结论；（Ⅲ）若点P为CC1的中点，求出平面PAC的一个法向量、平面PAB的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．解答： （I）证明：取AB中点O，连接OM，OC．∵M为A1B1中点，∴MO∥A1A，又A1A⊥平面ABC，∴MO⊥平面ABC，∴MO⊥AB∵△ABC为正三角形，∴AB⊥CO

又MO∩CO=O，∴AB⊥平面OMC又∵MC?平面OMC∴AB⊥MC（II）解：以O为原点，建立空间直角坐标系．如图．依题意O（0，0，0），A（﹣2，0，0）B（2，0，0），C（0，2，0），M（0，0，2）．

设P（0，2，t）（0≤t≤2），则=（0，2，﹣2），=（4，0，0），=（0，2，t）．要使直线MC⊥平面ABP，只要?=0，?=0，即12﹣2t=0，解得t=．

∴P的坐标为（0，2，）．∴当P为线段CC1的中点时，MC⊥平面ABP（Ⅲ）解：取线段AC的中点D，则D（﹣1，，0），易知DB⊥平面A1ACC1，故=（3，﹣，0）为平面PAC的一个法向量．…．又由（II）知=（0，2，﹣2）为平面PAB的一个法向量．

设二面角B﹣AP﹣C的平面角为α，则cosα=||=．∴二面角B﹣AP﹣C的余弦值为．点评：本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，M为椭圆上任意一点且△MF1F2的周长等于6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）以M为圆心，MF1为半径作圆M，当圆M与直线l：x=4有公共点时，求△MF1F2面积的最大值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据△MF1F2的周长等于6，再由离心率为可求出a的值，进而得到b的值，写出椭圆方程．（2）先设M的坐标为（x0，y0）根据题意满足椭圆方程，利用圆M与l有公共点可得到M到l的距离4﹣x0小于或等于圆的半径R，整理可得到关系y02+10x0﹣15≥0，再由即可消去y0，求出x0的取值范围，再表示出△MF1F2面积即可求出最大值．【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，M为椭圆上任意一点且△MF1F2的周长等于6．所以c=1，a=2．所以b2=3．所以椭圆C的方程为．（2）设点M的坐标为（x0，y0），则．由于直线l的方程为x=4，圆M与l有公共点，所以M到l的距离4﹣x0小于或等于圆的半径R．因为R2=MF12=（x0+1）2+y02，所以（4﹣x0）2≤（x0+1）2+y02，即y02+10x0﹣15≥0．又因为，所以3﹣