湖南省长沙市外国语初级中学2021年高三数学理联考试卷含解析

湖南省长沙市外国语初级中学2021年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数，则下列结论正确的是(

)A.，在上是增函数

B.，在上是减函数C.，是偶函数

D.，是奇函数参考答案：C考点：函数的单调性、奇偶性.2.下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（

）A

y=cos2x，xR

B.

y=log2|x|，xR且x≠0C.

，xR

D.

y=+1，xR参考答案：B3.已知全集U=R，设函数y=lg(x-1)的定义域为集合A，函数y=的值域为集合

B，则A∩(CB)=（）A．[1,2]

B．[1,2)

C．(1,2]

D．(1,2)参考答案：D略4.数列中，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略5.函数的导函数的图像如图所示，那么的图像最有可能的是（☆）参考答案：A6.已知实数满足，则的最大值为（

）A．3

B．1

C．2

D．4参考答案：C7.若函数f（x）=|4x﹣x2|+a有4个零点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，0] B．（﹣4，0） C．[0，4] D．（0，4）参考答案：B8.已知某几何体的三视图如右上图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C9.已知点的坐标满足，点的坐标为，点为坐标原点，则的最小值是A． B． C． D．参考答案：D10.已知双曲线，过其左焦点作圆的两条切线，切点记作，,原点为,，其双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的范围是

．参考答案：（0，1）考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，求出k的临界值，从而结合图象写出实数k的取值范围．解答： 解：由题意作出其平面区域，当直线y=kx+3与AB重合时，k=0，是直角三角形，当直线y=kx+3与AD重合时，k=1，是直角三角形；故若区域为一个锐角三角形及其内部，则0＜k＜1；故答案为：（0，1）．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，利用临界值求取值范围，属于中档题．12.已知集合，若，则实数的取值范围是，

其中=

；参考答案：413.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是

.参考答案：略14.义在R上的函数满足，则的值为

．参考答案：-215.若变量x,y满足约束条件，则的最大值是

。参考答案：略16.B.（坐标系与参数方程）已知极点在直角坐标系的原点O处，极轴与轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.则曲线C上的点到直线的最短距离为

.参考答案：17.已知抛物线C：y2=6x，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，交抛物线的准线于点B，若=3，则点A到原点的距离为．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线方程求得焦点坐标，求得|DF|的长度，利用抛物线性质可求得|AF|=|AC|，=3可知|AB|=2|AF|=2|AC|，根据三角形可求得|BD|=3，利用相似三角形可求得|CA|、|CD|的值，即可求得A点坐标，利用两点间的距离公式求得A到原点的距离．【解答】解：抛物线C：y2=6x，准线垂直于x轴，垂足为D，|DF|=3，由抛物线定义，A点到F点的距离等于A到准线的距离，即|AF|=|AC|，=3，即|FB|=3|FA|，|AB|=2|AF|=2|AC|．∴∠ABC=，tan∠ABC=，∴|BD|=3，由相似三角可知，|CA|=|DF|=2，|CD|=|BD|=，A点横坐标为|AC|﹣=，故A点的坐标为（，﹣），∴点A到原点的距离为=，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，AC∩BD=O．（Ⅰ）证明：PC⊥BD（Ⅱ）若E是PA的中点，且BE与平面PAC所成的角的正切值为，求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．参考答案：【分析】（Ⅰ）证明BD⊥AC，BD⊥PO，推出BD⊥面PAC，然后证明BD⊥PC．（Ⅱ）说明OE是BE在面PAC上的射影，∠OEB是BE与面PAC所成的角．利用Rt△BOE，在Rt△PEO中，证明PO⊥AO．推出PO⊥面ABCD．方法一：说明∠OHB是二面角A﹣EC﹣B的平面角．通过求解三角形求解二面角A﹣EC﹣B的余弦值．方法二：以建立空间直角坐标系，求出平面BEC的法向量，平面AEC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）因为底面是菱形，所以BD⊥AC．（1分）又PB=PD，且O是BD中点，所以BD⊥PO．（2分）PO∩AC=O，所以BD⊥面PAC．（3分）又PC?面PAC，所以BD⊥PC．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，OE是BE在面PAC上的射影，所以∠OEB是BE与面PAC所成的角．在Rt△BOE中，，BO=1，所以．在Rt△PEO中，，，所以．所以，又，所以PO2+AO2=PA2，所以PO⊥AO．（6分）又PO⊥BD，BD∩AO=O，所以PO⊥面ABCD．（7分）方法一：过O做OH⊥EC于H，由（Ⅰ）知BD⊥面PAC，所以BD⊥EC，所以EC⊥面BOH，BH⊥EC，所以∠OHB是二面角A﹣EC﹣B的平面角．（9分）在△PAC中，，所以PA2+PC2=AC2，即AP⊥PC．所以．（10分），得，（11分），，所以二面角A﹣EC﹣B的余弦值为．（12分）方法二：如图，以建立空间直角坐标系，，B（0，1，0），，，，，．（9分）设面BEC的法向量为，则，即，得方程的一组解为，即．（10分）又面AEC的一个法向量为，（11分）所以，所以二面角A﹣EC﹣B的余弦值为．（12分）【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19.设的导数满足，其中常数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）设，求函数的极值．参考答案：解：（I）因故令由已知又令由已知因此解得因此又因为故曲线处的切线方程为

（II）由（I）知，从而有令当上为减函数；当在（0，3）上为增函数；当时，上为减函数；从而函数处取得极小值处取得极大值20.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图AB为圆O直径，P为圆O外一点，过P点作PC⊥AB，垂是为C，PC交圆O于D点，PA交圆O于E点，BE交PC于F点。（I）求证：∠PFE=∠PAB；（II）求证：CD2=CF·CP.参考答案：证明：（1）AB为直径，C在圆O上，BC⊥AC

PC⊥AB

∠PAC=90°－∠P，∠PFC=90°－∠P

∴∠PAB=∠PFE

（2）连结AD、BD则AD⊥BD

Rt△ABD中

CD2=AC·CB

直角三角形BCF∽直角三角形PCA

∴CD2=PC·CF21.如图1，等腰梯形中，是的中点，如图2，将沿折起，使面面，连接，是棱上的中点．（1）求证：（2）若求三棱锥的体积

参考答案：22.已知函数．（e是自然对数的底数）（1）求f(x)的单调递减区间；（2）记，若，试讨论g(x)在上的零点个数．（参考数据：）参考答案：（1）．（2）见解析【分析】（1）求出导函数，解不等式，结合三角函数的性质可得解；（2）求出，令，由导数的知识求得的单调性，然后通过讨论的正负确定的单调性的极值，确定其零点个数．【详解】解：（1），定义域为．．由解得，解得．∴的单调递减区间为．（2）由已知，∴．令，则．∵，∴当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，即在上单调递增，在上单调递减．∵，．①当，即时，，∴．∴，使得，∴当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减．∵，∴．又∵，∴由零点存在性定理可得，此时在上仅有一个零点．②若时，，又∵在上单调递增，在上单调递减，又，∴，，使得，，且