2021年河北省石家庄市河北师范大学附属实验中学高三数学文期末试题含解析

2021年河北省石家庄市河北师范大学附属实验中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数（a∈R），若函数y=|f（x）|﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．a≥﹣2 B．a＞2 C．0＜a＜1 D．1≤a＜2参考答案：B【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】作出|f（x）|的函数图象，根据零点个数判断a的范围．【解答】解：（1）若a＜0，|f（x）|≥0，显然|f（x）|=a无解，不符合题意；（2）若a=0，则|f（x）|=0的解为x=1，不符合题意；（3）若a＞0，作出y=|f（x）|的哈数图象如图所示：∵|f（x）|=a有三个解，∴a＞2，故选B．2.在钝角△ABC中，c=，b=1，B=，则△ABC的面积等于（）A． B． C．或 D．或参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可求sinC，结合C范围，可求C的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵c=，b=1，B=，∴sinC===，又∵C∈（0，π），∴C=或，又∵△ABC为钝角三角形，∴S△ABC=bcsinA=．故选：B．3.一个样本容量为8的样本数据，它们按一定顺序排列可以构成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3=5，且a1，a2，a5成等比数列，则此样本数据的中位数是（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：C【考点】众数、中位数、平均数．【分析】设公差为d，则（5﹣d）2=（5﹣2d）×（5+2d），由公差d不为0，解得d=2，a1=5﹣2d=1，由此能求出此样本数据的中位数．【解答】解：一个样本容量为8的样本数据，它们按一定顺序排列可以构成一个公差不为0的等差数列{an}，a3=5，且a1，a2，a5成等比数列，设公差为d，则，即（5﹣d）2=（5﹣2d）×（5+2d），又公差d不为0，解得d=2，a1=5﹣2d=1，∴此样本数据的中位数是：==8．故答案为：8．4.函数的零点所在的大致区间是

A．(0，1)

B．(1，2)

C．(2，e)

D．(3，4)参考答案：B5.定义在R上的偶函数满足：对任意有，则（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：B6.锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用余弦定理、正弦定理边角互化思想、两角差的正弦公式，并结合条件得出，根据为锐角三角形得出角的取值范围，可得出的取值范围.【详解】，即，化简得.由正弦定理边角互化思想得，即，所以，，，，，，，，是锐角三角形，且，所以，解得，则，所以，，因此，的取值范围是，故选D.【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了二倍角公式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7.过点作圆的两条切线，，为切点，则（

）（A）（B）（C）（D）参考答案：D设切线斜率为，则切线方程为，即，圆心到直线的距离，即，所以，，,所以，选D8.已知集合A={x|2﹣3x﹣2x2＞0}，B={x|y=ln（x2﹣1）}，则A∩B=（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣1，） D．（﹣2，﹣1）∪（l，+∞）参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定集合A，求出B中x的范围确定集合B，计算A、B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+2）（2x﹣1）＜0，解得：﹣2＜x＜，即A=（﹣2，）；由B中y=ln（x2﹣1），得到x2﹣1＞0，即x＜﹣1，x＞1∴B=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）则A∩B=（﹣2，﹣1）．故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．9.复数的实部和虚部相等，则实数等于(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B略10.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．a=c B．b=c C．2a=c D．a2+b2=c2参考答案：B【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知第一个等式代入求出cosA的值，确定出A度数，再利用正弦定理化简第二个等式，求出sinB的值，确定出B的度数，进而求出C的度数，确定出三角形ABC形状，即可做出判断．【解答】解：∵b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=30°，由正弦定理化简b=a，得到sinB=sinA=，∴B=60°或120°，当B=60°时，C=90°，此时△ABC为直角三角形，得到a2+b2=c2，2a=c；当B=120°时，C=30°，此时△ABC为等腰三角形，得到a=c，综上，b=c不一定成立，故选：B．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及直角三角形与等腰三角形的性质，熟练掌握定理是解本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，，给出下列结论：①函数f(x)的值域为；②函数g(x)在[0，1]上是增函数；③对任意a〉0，方程f(x)=g(x)在[0，1]内恒有解；④若存在，使得成立，则实数a的取值范围是.其中所有正确结论的番号是__________.参考答案：略12.平面直角坐标系xoy中，不等式所表示的区域的面积为

．参考答案：13.若曲线f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是

．参考答案：a＞0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】由曲线f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y轴的切线，故f′（x）=0有实数解，运用参数分离，根据函数的定义域即可解出a的取值范围．【解答】解：∵曲线f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y轴的切线，（x＞0）∴f′（x）=2ax﹣=0有解，即得a=有解，∵x＞0，∴＞0，即a＞0．∴实数a的取值范围是a＞0．故答案为：a＞0．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想．14.双曲线的渐近线与准线的夹角的正切值等于参考答案：略15.F为椭圆

的一个焦点，若椭圆上存在点A使为正三角形，那么椭圆的离心率为

参考答案：略16.设函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则__________.参考答案：2由函数是定义在上的周期为的奇函数知，，从而，令，可得，可得，故2。17.已知圆的方程（x﹣2）2+y2=1，过圆外一点P（3，4）作一条直线与圆交于A，B两点，那么=

．参考答案：16【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心为（2，0），半径r=1，圆与x轴交于（1，0），C（3，0），从而PC与圆相切，且||=4，由此利用切割线定理能求出的值．【解答】解：∵圆的方程（x﹣2）2+y2=1，∴圆心为（2，0），半径r=1，∴圆与x轴交于（1，0），C（3，0），过圆外一点P（3，4）作一条直线与圆交于A，B两点，则PC与圆相切，且||=4，由切割线定理得：==42=16，故答案为：16．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO中点.（1）若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；（2）若，求证：CG⊥平面PBD.参考答案：（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）连接，根据线面平行的性质定理可知，又为中点，可证得结论；（2）利用线面垂直的性质可知，正方形可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，根据线面垂直性质可知，根据等腰三角形三线合一可知，根据线面垂直判定定理可证得结论.【详解】（1）连接，由四边形是正方形知，为中点平面，面，面面为中点

为的中点（2）在四棱锥中，四边形是正方形

为中点

又底面，底面

而四边形是正方形

平面，

平面又平面

平面，平面【点睛】本题考查立体几何中直线与直线、直线与平面位置关系的证明问题，涉及到线面平行性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于常规题型.

19.

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．

（1）求曲线C的普通方程；

（2）在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为，已知直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．参考答案：（1）由已知，由，消去得：普通方程为，化简得（5分）（2）由sin(-)+=0知，化为普通方程为x-y+=0圆心到直线的距离=，由垂径定理（10分）20.（本小题满分14分）已知椭圆：（）的离心率，左顶点与右焦点的距离（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，为定点，当△的面积最大时，求l的方程.参考答案：见解析考点：圆锥曲线综合，椭圆（Ⅰ）由得：，①

由得，②

由①②得：，，，

椭圆的方程为．

（Ⅱ）过右焦点斜率为的直线：，

联立方程组：

消元得：

设交点

则，

点到直线的距离，

所以△的面积

令，则，

记，单调递增，

，所以最大值为，

此时，，l的方程：．21.（本小题满分12分）已知函数=(sinωx+cosωx)2+(sin2ωx?cos2ωx),(ω>0)的最小正周期为π。（1）求ω的值及的单调递增区间；（2）在锐角ΔABC中，角ABC所对的边分别为abc，f(A)=+1，a=2，且b+c=4，求ΔABC的面积．参考答案：(1),单调递增区间为；(2).试题分析：(1)将平方展开，得用二倍角公式进行平方降次，再利用两角和与差的正弦公式化为一个三角函数得用三角函数性质求之即可；(2)由,可求得，由余弦定理可求得，