备战2021年高考数学解答题专项必刷题100题

专题1三角函数和解三角形真题再现1.（2020年新高考山东卷）在①3=0②csinA=3,③C=y/3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c•的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC,它的内角的对边分别为ci,b,c,且sinA=0sinB，C=「, 76注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】详见解析【解析】解法一：由sin人=J^sin8可得：—=x/3•b不妨设。=0n,b= >0）.则：<?=/+屏一2o0cosC=3/7?+w?-2x>/5sx/nx^=m2,即c=m.2选择条件①的解析：据此可得：ac=yf^mxm=\f3rn2=y/3:.m=\.此时c=m=\.选择条件②的解析：2m则:加…亭3,2m则:加…亭3,则:据此可得：海人=七3=戒顼湼叱=-丄■ 2选择条件③的解析:

广tii可得丁=—=1,c=b，bm与条件c=y/3b矛盾，则问题中的二角形不存在.解法二：sinA=用sinB,C=-,B=7v-(A+CY71671/.5Z7M=\/3sin(A+C)=V3sin|A+—|,sbiA=\/5sin(A+C)=用sinA^~+\/~cosA—，TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"v7 2 22丸 兀：•sinA=一岳osA, tanA=-后,「・A=：,「.B=C=£\o"CurrentDocument"o若选Q丿’ac=\/3,•a=>/3Z?=^/3c,>/3c2=\/3,・'・c二1；若选②，csinA=3，贝I］匣=3，c=20；2若选③，与条件c=W矛盾.2.（2020年天津卷）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为。,b,c.己知o=2JI/?=5,c=而.（I）求角C的大小;(II)求sinA的值;(B)求sinf2A+-JI的值.【答案1【答案1。李3林=警；皿鈿国£17V226【解析】（I）在ABC 由a=2&b=5,c=ylH及余弦定理得cosC=8+25-13cosC=8+25-13项2x20x5一2又因为"),所以C普(II)在ABC中，由。二?，。=2五,。=应及正弦定理，可得-n,asinC2^XT互厄sinH= =—而一=13血由心知角A为锐角，由心=普，可得札=后后=普,12 5进而sin2A=2sinAcosA=—,cos2A=2cos2A-l=—所以sin(2Y)=sin2AcosS+c°s2Asin,备手+詩乎=噤・3.(2020年全国卷)在ABC中，a+b=\\,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求:(II)sinC和ABC的面积.条件①：c=7fcosA=-~] 9条件②：cosA=-,cosB二一8 16注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】选择条件①(I)8(II)sinC=—-S=602选择条件②⑴6(gnC=手,$=¥【解析】选择条件①(I)c=7,cosA=-y,a+b=\\

a2=h2+c2-2bccosA:.a2=(11-6r)2+72-2(11-tz)•7•(-y):.a=S(II)cosA=-—fAg(0,re)/.sinA=a/1-cos2A=TOC\o"1-5"\h\z7 7。c8 7.厂占由正弦定理得：si"sinC点sinC 2S =—/?rzsinC=—(11-8)x8x—^-=6\/3\o"CurrentDocument"2 2 2选择条件②(I)cosA=-,cosB=—,ABg(0,^)8 16sinA=Vl-cos2A= ,sin8=Jl-cos?B=8 16aba11-a/_—- . ，・—一 .a—6由正弦定理得：sinAsinB3>/7 5^78 16V?=15V?4_4(n)sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=^x2+V?=15V?4_4S=— sinC=—(11-6)x6x\o"CurrentDocument"2 24.(2020年浙江卷)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2=a2+c2-ac^(I)求角B的大小；(H)若a=c=2,求ZkABC的面积；(DI)求sinA+sinC的取值范围.

【答案】（【答案】（1）60。； （2）JL（3）2ac【解析】(I)由.cosB=a'^c2~b2.得cosB=：,2ac所以8=§：（II（II）由（1）得SABC=^acsinm°=右.f2丸f2丸(III)由题意得sinA+sinC=sinA+sin A<3=—sinA+—cosA2 2所以客，后.故所求的取值范围是，后.故所求的取值范围是高考模拟（2020•甘肃省会宁县第二中学高二期末（文））AABC的内角A,B,C的对边分别为“，b，c,已知cos?（三+A）+cosA=：.（1） 求4;（2） ^b-c=—af证明：△NBC是直角三角形.3【答案】（1）A=?（2）证明见解析【解析】（1）因为cos2f^+A）+cosA=。，所以sin2A+cosA=-,（2丿4 4即1一cos2A+cosA=—,4解得cosA=-，又0<Av/r，2所以A=£：3(2)因为A=^,所以co^A=b~+C~~a~3 2bc2即b2+c2-a2=bc①，又b—c=*a②,将②代入①得，b2+c2-3(b-cy=bc,即2b2+2c2-5bc=0^而b〉c,解得b=2c,所以Q=后C,故b2=a2+c2^即ABC是r[角-.角形.(2020-盐城市伍佑中学开学考试)在ABC中，角A.B.C的对边分别为a,b,c,且满足csinA=«sinC+—.I3丿(I)求角C的大小；(U)若ABC的面积为鶴，a-b=\t求c•和cos(2A-C)的值.【答案】(I)?；(II)c=而，cos(2A—C)=[.3 26【解析】(I)由正弦定理可知：~Ar=~A=，己知csinA=osinfc+?),所以sinAsmC k3丿sinC-sinA=sinA-(sinC•cos—+cosC-sin—), Ae(0,7i):.sinAN0,

所以有sinC=占cosC=>tanC= =>C=ya=4,一，由余弦定理可知:b=32bc2bcsin2A=2sinA■cosA=^2^.cos2A=2cos2A-l=-—13 13(2020广西武鸣•南宁三十六中月考)AABC的内角4RC的对边分别为a,b,c,已知asm.asm.At^-=hsinA.2(2)若AABC为锐角三角形，且c、=l,求\ABC面积的取值范围.【答案】(】)3=【答案】(】)3=§；(2)A+C A+C【解析】(1)根据题意«sin—-—=bsinA,由正弦定理得sinAsin—-—=sinBsinA.因为0<Av;r.A+C故sin>4>0.消去sinA得sin =sin5.2TOC\o"1-5"\h\zA+C A+C A+C0<B<71.0<——<7T因为故——=H或者——+B=^,而根据题意A+B+C=^t故2 2 2\o"CurrentDocument"A+C A+C 7T +B=i不成立，所以 =B.又因为A+〃+C=;r,代入得38=勿，所以B=_.\o"CurrentDocument"2 2 32(2)因为ABC是锐角三角形，Itl(1)知8=；，A+B+C=;r得到A+C=：4,

0<C<-_ 2 ,解得£<《<?•o<^-c<^ 63 2又应用正弦定理念‘inc由三角形面积公式有:. . 1 .同Rsin（矣-C）c1 .〃12Q.々12sinAJ338iltr=—acamd=—c—sinn=—c sin13= ABC2 2c2sinC4sinC.2tt 2〃•的S，n3cosC-cossinC后q兀1 2勿、3 = = （sin cos4 sinC 4 3tanC又因訐Cetane又因訐Cetane勇,故3 88tanC8 2故牛vSabc<*.（2020•江西东湖•南昌二中高三其他（文））在*BC中，角人，B,C的对边分别为“，b,C,且a+bsinCsinB-sinA（1）求角A的大小;•的前〃项和S〃.（2）若等差数列｛an｝的公差不为零，％sinA•的前〃项和S〃.【答案】⑴普⑵壬得【解析】（1）由a+b得sinCsin5-sin^4舛5=如所以S=¥蝉（2）设｛%｝的公差为d，由（1）得1=2,且％2=。2角，・，.（白1+玄沪=（巧+d）（«]+7泌）.又dh0，「・d=2，「•弓=加冬％+1«(«+!)nn+1由余弦定理得由余弦定理得5.（2020•武邑宏达学校高二期末）在ZUBC中，a=ec=而， ・（补充条件）（1） 求△ABC的面积；（2） 求s况（A+B）・从①力=4,②cosB=玉,③血4二画这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.5 10【答案】详见解析【解析】选择①（1）在左ABC中，因为]=扼，c=而，。=4,因为CE(0,汗)，所以sinC=yl\-cos2C=所以S=^MC*扼*手=2.(2)在△ABC中，A+B=ju-C.所以血(A+B)=sinC=g选择②（，）因为燮=-斗，＜0,。所以皿=后航=誓因为7,c=面,所以5=扣泌=｝工面X罗=2.(2)因为〃=y/2，c=V10，cosB=~~~~'由b2=a2+c2-laccosB,得〃=(V2)2+(VlO)2-2x>/2x而x解得b=4,由—r~z-C•解得si〃C=•sinesmC 2在△人"C中’A+B=jr-C,si〃(A+B)=sinC=选择③依题意’A为说角，山”泌=普得渝=后以=普在中，因为〃cF好普由余弦定理扌="+扌-IbccosA，得(扼)2=Z?2+(Vio)2-2xV10'解得b=2或。=4,当b=2时’S=Lz?c、s/>l4=Lx2xJ16x寸Q=1.TOC\o"1-5"\h\z2 2 10当b=4时，S=!阮s沅4=Lx4xJ15x画=2.2 2 10由a=V2•c=\/10'sinA= .丁=.上，得sinC= -10sinAsinC 2在左ABC中，A+B=n-C,si〃(A+B)=sinC= .7.(2020•江苏广陵•扬州中学高二开学考试)在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，并且b2-^-c2-a2=be•己知 ,计算ABC的面积；请①o=J7,②8=2,③sinC=2sinB这三个条件中任选两个，将问题(1)补充完整，并作答.注意,只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.求cosB+cosC的最大值.【答案】(1)见解析(2)1【解析】(1)若选②］=2,③sinC=2sinB.sinC=2sinB,:.c=2h=4,/.cosA=b2+c2-a21—2bc—"2'.・.M时的面积S=?阮sinA*2x4x平=2右.若选①Q=b，®b=2.b2+c2=a2+bc得c=3,b1+C1=CT+bc，b2+c2-a21二cosA= =—，2bc2又Ac（0璀），•.•Y・・・M8C的面积S=4阮sinA=k2x3x头匝若选①o=J7,③sinC=2sin8sinC=2sinB,.•.歹.•.歹+4屏=7+泌，可得b=岑,2>/2T・・・AABC的面积Sy扣inA令學誓!、平=乎.cos8+cosC=cos8+cos[4-(B+§)]=cos8一cos(B+：)=cosB一：cos8+gsinB咛 务EsinS+j20<B<—兀,3.•.当B=£时，sin(B+£)=cosB+cosC有最大值1.3 6(2020-北京顺义•高三二模)己知ABC中，角A, C的对边分别为。，b,cta+b=5tc=3t.是否存在以a,b,c为边的三角形？如果存在，求出ABC的面积；若不存在，说明理由.从①cosC=：；②cosC=~|;③sinC=¥这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.【答案】详见解析【解析】若选取条件①cosC=|,此时sinC=『?=孕，因为a+b=5,所以a2+b2=(a+b)"-2ab=25-2ab,由余弦定理，cos名二2汕二9=丄,解得汕=6,2ablab3则W+/=25—2x6=13,所以(a-b)2=a2+b2-2ab=\3-12=\,所以a-b=±\,所以a-b=±\,又a+b=5.解得仏2**縛=2*所以*在以e>c为边的三角形，其面积为s*=；x若选取条件②cosC=-因为a+b=5, +b2=（。+/?）2一2ab=25-2ab,.人计宀ei —cr+b~—c~25—2。/?—9 1Zn.,由余勺玄定理，cosC= = =—,解得£?人=12,2ab 2ab3则疽+屏=25—2x12=1，所以（a-b）2=a2+b2-2ab=}-24<0.显然不成立，所以不存在以a,b，c为边的三角形.若选取条件③sinC=¥，得cosC=土!，由选取条件①可知，当cosC=|时，存在以b,c为边的三角形，其面积为Sabc=2&由选取条件②可知，当cosC=-|时，不存在以。，b,c为边的三角形.在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以每小时14nmile的速度,沿北偏东45°+a方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角a的正弦值.【解析】如图，设红方侦察艇经过X小时后在C处追上蓝方的小艇,则AC=14x,BC=\Ox,ZAfiC=120°.根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos120%解得x=2.故AC=28,BC=20.根据正弦定理得蔦=理解得聞=酉群=瓯28 14所以红方侦察艇所需要的时间为2小时.角a的正弦值为瓯.14（2020-江苏苏州•高三其他）如图，某公园内有一半圆形人工湖，。为圆心，半径为1千米.为了人民群众美好生活的需求，政府为民办实事，拟规划在OCD区域种荷花，在08。区域建小型水上项目.己知ZAOC=Z.COD=0,（1）求四边形OCDB的面积（用。表示）;（2）当四边形。彼8的面积最大时，求8Q的长（最终结果可保留根号）.【答案】（1）S（0）=?（sinO+sin2O）,。日。,：｝（2） 「米.

【解析】（1）由题意ZAOC=ZCOD=0.设四边形OCDB的面枳为5(。),因为四边形OCDB可以分为OCD和08□两部分，所以S(6)=Sg+Sy=；0C•OOsin0+•ODsin(〃一20).因为OB=OC=OD=\,所以S(Q)=?(sinO+sin20).I大I为。〉0,7r-20>O.所以0<。〈巳.2所以四边形OCDB的面积S(8)=；(sin9+sin20),Oe0,?:(2)由(1)知S(e)=L(sin9+sin2。)，0c0,—\2 k2丿所以Sf(6>)=l-sin^I+(sin0cosQ)=，=?cos0+cos26?-sin26?=|(4cos2所以Sf(6>)=l-sin^I+(sin0cosQ)=令S'(0)=O,即4cos20+cos0-2=0*解得。"=侦或或=¥’因为0<8<§，所以存在唯一的似，使得cos使得cos命=-1+2/338当0vQ<%时,寸（。）>0,S（。）在（0,60单调递增;当时，S"）vO,S（。）在单调递减,所以5时，s（叽=S㈤，此时8D2=OB2+Olf-2OBODcos（7T-2^）=1+1+2cos23o=2+2（2cos2%-1）=4cos：%,从而BD=2cos2=T+屈（千米）■4专题2数列真题再现（2020年山东卷）己知公比大于1的等比数列｛%｝满足％+%=20,%=8.（1） 求｛%｝的通项公式；（2） 记如为a｝在区间（0,顽5・）中的项的个数，求数列｛如｝的前100项和5100.（2020年海南卷）己知公比大于1的等比数列｛%｝满足为+劣=20,%=8.（1） 求｛%｝的通项公式；（2） 求qa2_o2%+...+（-D〃T""+i.（2020年天津卷）己知｛%｝为等差数列，｛年｝为等比数列，%=々=1,%=5（%—%）,。=40-列）.（I）求｛%｝和｛用｝的通项公式；（U）记｛%｝的前〃项和为S〃,求证：SnSll+2<S^（ne^）；（3。“一2）如〃为奇数，（HI）对任意的正整数〃，设乌=，"n"/i+2^-1求数列｛&｝的前2〃项和.〃为偶数.4.（2020年浙江卷）己知数列｛。〃｝,｛bn）,｛cn）中，%=灯=C]= =aw_数‘I=罟•CnSeN'）.（I）若数列｛如｝为等比数列，且公比0>0,且bi+b2=6b.t求g与0｝的通项公式；（U）若数列沛〃｝为等差数列，且公差d>0,证明：q+c,++c,,vl+3.（〃vN‘）d高考模拟（2020-石嘴山市第三中学月考（文））已知等比数列｛%｝是首项为I的递减数列，且七+%=6%・（1） 求数列｛%｝的通项公式；（2） 若bn=nan,求数列｛如｝的前〃项和7；.（2020•霍邱县第二中学月考）等比数列｛%｝的各项均为正数，且如+3%=1,《2=9纶％（1） 求数列｛%｝的通项公式；（2） 设知=log3%+log30+......+log3%,求数列的前〃项和L・（2020-渝中•重庆巴蜀中学高三月考（理））己知等比数列｛%｝的前〃项和为S”，弓％=3£,且-3,S,,9%成等差数列.（1） 求数列｛%｝的通项公式；（2） 设"=（-1）0+〃（扁,求数列｛如｝的前〃项和7；・（2020-安徽省舒城中学高二开学考试（理））已知数列｛%｝中，％=1,当〃22时，其前〃项和S〃满（1） 求&的表达式；S（2） 设如=五打，求数列｛勿｝的前〃项和兀.5.（2020-云南高三其他（理））己知数列｛《,｝的前〃项和为S”，且满足S〃=2%-2,（〃cN*）.数列也｝是首项为坊，公差不为零的等差数列，且站奴,如成等比数列.

（1） 求数列｛%｝与｛如｝的通项公式.（2） 若C,=虹，数列｛%｝的前项和为兀丄<m恒成立，求〃的范围.“/J（2020•泰安市基础教育教学研究室高三其他）已知等差数列｛%｝的公差d>0,外=7,且％,%,5%成等比数列.（1） 求数列｛%｝的通项公式；（2） 若数列｛勿｝满足卩一一==%（〃£仃），且4=：,求数列｛如｝的前〃项和7；・（2020•四川省绵阳江油中学高三月考（文））在①％2+2q=4S〃+A,且的=5,②％2+2q=4S〃+/?,且人〈-1,③％2+2q=4S〃+D,且S?=8这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的人存在,求出力和数列｛%｝的通项公式与前〃项和；若人不存在，请说明理由.设&为各项均为正数的数列｛%｝的前〃项和，满足 ,是否存在使得数列｛%｝成为等差数列？（2020-山东其他）在等差数列｛%｝中，己知％=16,《6=36.（1） 求数列｛%｝的通项公式％;（2） 若 ,求数列｛々,｝的前〃项和4在①如= ,②如=（-1）”.为，③"=2%.q,这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求anan+\9.（2020•北京平谷•高三二模）己知项数为m>2）的数列｛%｝满足如下条件：①,w）；②％<02<--<am.若数列｛如｝满足勿=〃=1,2,,/n则称｛如｝为｛%｝的“伴随数列”.（I） 数列135,7,9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（II） 若｛如｝为0｝的“伴随数列”，证明：4＞々＞・・＞如：（III） 己知数列｛%｝存在“伴随数列”｛々,｝，且％=1，综=2049,求m的最大值.10.（2020•北京顺义•高三二模）给定数列％,%，，为.对，=1,2,，〃一1,该数列前i项％,%，，《的最小值记为A,后〃t•项《+|,《+2，，为的最大值记为鸟，令4=耳一4・（1）设数列｛%｝为2,1,6,3,写出4,%，仏的值；⑵设"，，弓（〃24）是等比数列，公比Ovgvl,且％＞0,证明：40，，dz是等比数列；（3）设苗0，，4t是公差大于。的等差数列，且4＞0,证明：是等差数列.专题3概率统计真题再现1-（2020年山东卷）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽査了1（）（）天空气中的PM2.5和SO?浓度（单位：Pg/m3）,得下表：[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150”的概率;（2）根据所给数据，完成下面的2x2列联表:（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO?浓度有关?

P(K2>k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828n(ad-bc)2n(ad-bc)2附’K=(W+d)(o+c)(b+d)（2020年北京卷）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400A300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.<I）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;（II）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率;（ID）将该校学生支持方案的概率估计值记为P。,假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p|,试比较为与“I的大小.（结论不要求证明）(2019年新课标文)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调査了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率的频数分布表.)'的分组1-0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数22453147分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)附：店a8.602・4.(2019年新课标(理))11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.求P(X=2)；求事件“*=4且甲获胜”的概率.5.(2019全国高考(理))为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得。分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和为一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，亿(，=0,1,,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则po=0, =1,p.=ap^+bpi+cp^(i=1,2,,7),其中a=P(X=-V),b=P(X=O)tc=P(X=l).假设a=0.5,0=0.8.证明：｛知-〃J(1=0,l,2,,7)为等比数列；求P4,并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.高考模拟1.(2019-山东淄博・(文))某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量X,(10WxW2(),单位：公斤)，其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为)'元.求商店日利润关于需求量A的函数表达式；假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；②估计日利润在区间［580,760］内的概率.（2017-河南高考模拟）为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格:日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日温差xC101113128发芽数，颗2325302616（1） 从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为刀，〃，求事件“ 均不小于25”的概率；（2） 从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y关于X的线性回归方程y=bx+a-n（参考公式3= ，拦§一笊）（2019-湖南长郡中学高考模拟（理））某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调査，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调査的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示.组别[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)频数2515020025022510050（1）已知此次问卷调査的得分Z服从正态分布N（日,210）,△近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求P（36<Z<79.5）；（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调査的市民制定如下奖励方案.（i）得分不低于女的可以获赠2次随机话费，得分低于#的可以获赠1次随机话费;（u）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.赠送的随机话费/元2040概率2J_44现市民甲要参加此次问卷调査，记X为该市民参加问卷调査获赠的话费，求X的分布列及数学期望.附：>/2K）»14.5，若XN（g,b2）,则P（〃—bvX<//+b）=0.6827,—2rvX當+2b）=0.9545,P（"-3bvX<"+%）=0.9973.（2020-黑龙江南岗•哈师大附中高三其他（理））H市某企业坚持以市场需求为导向，合理配置生产资源，不断改革、探索销售模式.下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量工（吨）与相应的生产总成本y（万元）的五组对照数据.产量工（件）12345

生产总成本）'（万元）3781012（I）根据上述数据，若用最小二乘法进行线性模拟，试求.'关于X的线性回归直线方程§=必+&;■ /工沛一似y参考公式:b= 参考公式:白2一2Lx>~nxi=l（ID记第（I）问中所求）'与X的线性回归直线方程§=队+&为模型①，同时该企业科研人员利用计算机根据数据又建立了y与X的回归模型②：.y=?工2+].其中模型②的残差图（残差=实际值-预报值）如图所示：模型①模型②请完成模型①的残差表（见答题卡）与残差图，并根据残差图，判断哪一个模型更适宜作为）'关于I的回归方程？并说明理由；cm）研究人员统计历年的销售数据，得到每吨产品的销售价格。（万元）是一个与月产量*相关的随机变量，其分布列为:q9-x14-x7-xp结合你对（II）的判断，当月产量.1•为何值时，月利润的预报期望值最大？5.（2020-山东青岛•其他）某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见下表:阶梯年用气量（立方米）价格（元/立方米）第一阶梯不超过228的部分3.25第二阶梯超过228而不超过348的部分3.83第三阶梯超过348的部分4.70从该市随机抽取10户（一套住宅为一户）同一年的天然气使用情况，得到统计表如下:居民用气编号12345678910年用气量（立方米）95106112161210227256313325457（1） 求一户居民年用气费y（元）关于年用气量X（立方米）的函数关系式；（2） 现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；（3） 若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取10户，其中恰有R户年用气量不超过228立方米的概率为P。），求P0）取最大值时的值.6.（2020-江苏省如皋中学高三其他）2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.己知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为p（0</?<1）,某位患者在隔离之前，每天有。位密切接触者，其中被感染的人数为X（0<X<〃），假设每位密切接触者不再接触其他患者.（1）求一天内被感染人数为X的概率p（x）与。、P的关系式和X的数学期望;(2)该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有。位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第〃天新增患者的数学期望记为氐皿＞2).求数列｛耳»的通项公式，并证明数列为等比数列；若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率p'=ln(l+p)-§p,当p'取最大值时，计算此时P'所对应的田'值和此时P对应的5值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.(取“=10)(结果保留整数，参考数据：ln5al.6,ln3al.l,ln2a0.7,(a0.3,*|a0.7)专题4立体几何真题再现1.（2020年北京卷）如图，在正方体A8CD-A鸟G0中，E为8鸟的中点.（I）求证：BC]//平面ARE；（口）求直线”与平面AD{E所成角的正弦值.2.（2020年山东卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD丄底面ABCD.设平面必D与平面PBC的交线为/.（1） 证明：LL平面PDC；（2） 己知PD=AD=1,0为/上的点，求也与平面0CD所成角的正弦值的最大值.3.（2020年天津卷）如图，在三棱柱ABC—44G中，CG丄平面ABC.AC.LBC,AC=BC=2fCC,=3,

点D,E分别在棱A4和棱CG上，且A£>=1CE=2,肱为棱的中点.(I)求证：(U)求二面角B-B.E-。的正弦值；cm)求直线AB与平面DBXE所成角的正弦值.4.(2020年海南卷)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD丄底面ABCD.设平面以。与平面P8C的交线为/.(1)证明：/丄平面PDC；(2)已知PD=AD=lt。为/上的点，QB*,求P8与平面QC。所成角的正弦值.5.（2020年浙江卷）如图，三棱台ABC—DEF^t平面ACFD丄平面ABCrZACB=ZACD=45°,DC=2BC.证明：EF1DB；求DF与面DBC所成角的正弦值.高考模拟（2020•安徽省舒城中学月考（文））如图，四棱锥S-ABCD中，S£＞丄底面ABCD,AB//CD,AD1.DC,AB=AD=\tDC=2,SD=eE为棱SB的中点.求证：SC丄平面ADE；求点B到平面AEC的距离,(2020•江西东湖•南昌二中高二期末(文))如图，在三棱锥P-ABC中，PB1.AC,AB=AC=\tPB=2&PC=遥,ZPBA=45°.(1)求证：平面PAB1平面PAC；(2) 分别是棱PB.BC的中点,G为棱PC上的点，求三棱锥A-EFG的体积.(2020•江西上高二中高二月考(理))如图，四棱锥P-ABCD中，AB//DCfZADC=^AB=AD=—CD=2fPD=PB=R,PD丄BC.(1)求证：平面PBD丄平面PBC；(2)在线段PC上是否存在点何，使得平面顷与平面尸曲所成锐二面角为:？若存在，求岩的值;若不存在，说明理由.(2020-天津南开中学其他)如图，三棱锥P-ABC,侧棱PA=2,底面三角形ABC为正三角形，边长为2,顶点P在平面ABC上的射影为。，有AD1.DB,且DB=\.(1)求证：AC//平面(2)求二面角F-AB-C的余弦值;rp⑶线段PC上是否存在点E使得PC丄平面擄，如果存在，求方的值；如果不存在，请说明理由.11(2020•定远县私立启明民族中学高三三模(理))已知四棱锥中P-ABCD,底面ABCD为菱形，ZABC=60°,PA丄平面ABCD,E、M分别是BC、PD上的中点，直线瑜与平面PAD所成角的正弦值为寸直，点尸在PC上移动.5证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF丄平面PAD；求点F恰为PC的中点时，二面角C-AF-E的余弦值.6.(2020-江苏兴化一中高一期中)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC的中点,点M在AD上，且AM=：AO,将AED,DCF分别沿DE,DF折叠，使A,C点重合于点P,如图所4示2.(1)试判断PB与平面MEF的位置关系，并给出证明;⑵求二面角M-EF-D的余弦值.

专题专题5解析几何真题再现（2020年山东卷）己知椭圆G二+《=1（。＞人＞0）的离心率为VI,且过点4（2,1）.a~b~ 2（1） 求C的方程：（2） 点N在C上，且AM丄AN,AD丄MN,。为垂足.证明：存在定点。，使得|。0|为定值.（2020年天津卷）己知椭圆二+£_=l（"M＞0）的一个顶点为A（0,—3）,右焦点为F,且lOAHOFI,a~b其中。为原点.（I）求椭圆的方程；（U）己知点C满足3OC=OF，点〃在椭圆上（2异于椭圆的顶点），直线A8与以C为圆心的圆相切于点P,且戶为线段厶B的中点.求直线的方程.3.（23.（2。2。年北京卷）己知桶圆弓咛且a=2b.（I）求椭圆C的方程:（II）过点顶-4,0）的直线/交椭圆C于点M,N,直线M4N4分别交直线x=-4于点P,Q.求噤!的丨四I值.4.（2020年海南卷）已知椭圆G4+4=1（。＞人＞0）过点M（2,3），点A为其左顶点，且AM的斜ab率为！，（I）求C的方程;点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.5.(2020年浙江卷)如图，己知椭圆弓：；+丁=1,抛物线C2:/=2px(p>0),点A是椭圆G与抛物线G的交点，过点A的直线，交椭圆q于点B,交抛物线G于M(B,M不同于A).若P矣，求抛物线G的焦点坐标；16若存在不过原点的直线，使m为线段A3的中点，求〃的最大值.高考模拟1.(2020-上海崇明•月考)在平面直角坐标系中，曲线「：F(x,j)=0和函数/(x)=lx2的图像关于点(1,2)4对称.函数f(x)=^x2的图像和直线y=k-x+4交于A、B两点,。是坐标原点，求证：=求曲线「的方程；对于(2),依据课本章节《圆锥曲线》的抛物线的定义，求证：曲线「为抛物线.2.(2020•贵州南明•贵阳一中高三月考(理))点F是直线J=-2上的动点，过点P的直线12与抛物线y=x2相切，切点分别是A、B・(1)证明：直线过定点;（2）以AB为直径的圆过点"（2,1）,求点P的坐标及圆的方程.（2020-江西上高二中高二月考（文））设椭圆E的方程为y+y2=1,斜率为1的动直线/交椭圆E于A、8两点，以线段AB的中点C为圆心，|AB|为直径作圆S・（1） 求圆心C的轨迹方程，并描述轨迹的图形；（2） 若圆S经过原点，求直线/的方程；（3） 证明：圆S内含或内切于圆x2+/=3.（2020-安徽安庆•高二期末（文））在平面直角坐标系中，抛物线C关于X轴对称，顶点为坐标原点，且经过点（2,2）.（1） 求抛物线C的标准方程；（2） 过点0（1,0）的直线交抛物线于M、N两点，P点是直线/:x=-l±任意一点.证明：直线PM、PQ、/W的斜率依次成等差数列.（2020-济南市历城第二中学高三月考）己知椭圆C：4+4=1（。>力>0）的离心率是公，原点a~b~ 2到直线三+?=1的距离等于項.ab 3（1） 求椭圆C的标准方程.（2） 已知点Q（0,3）,若椭圆C上总存在两个点A,B关于直线y=x+m对称，且3QAQB<2S,求实数m的取值范围.（2020-广西南宁三中其他（理））椭圆C：E+W=l（o>/?>0）的离心率为寸3,过其右焦点F与长轴a-b- 2垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点\MF\=~.（1）求椭圆C的标准方程;（2）设椭圆c的左顶点为A,右顶点为B,点戶是椭圆上的动点，且点尸与点A,8不重合，直线PA与直线a=3相交于点S,直线与直线工=3相交于点7,求证：以线段ST为直径的圆恒过定点.（2020-四川武侯•成都七中高二月考（理））己知定点圆7V:（x-1）2+/=16,点Q为圆N上动点，线段的垂直平分线交NQ于点P,记P的轨迹为曲线C.（1） 求曲线C的方程；（2） 过点材与N作平行直线4和A，分别交曲线C于点A、8和点。、E,求四边形ABDE面积的最大值.2 2（2020•江西其他（文））已知椭圆C：二+土=1（。">0）的左、右焦点分别为玲灼，M为椭a~b~圆上任意一点，当匕片"％=60。时，△甲侣的面积为JL且2b=y/3a-（1） 求椭圆C的方程；（2） 设。为坐标原点，过椭圆C内的一点（0J）作斜率为左的直线，与椭圆C交于4,B两点，直线。A,OB的斜率分别为佑，站,若对任意实数A,存在实数皿使得的+心=4,心，求实数，〃的取值范围.专题06导数真题再现(2020北京高考)己知函数/(x)=12-x2.(I)求曲线y=fM的斜率等于_2的切线方程；(口)设曲线y=f(x)在点(，,/•(，))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S"),求S。)的最小值.(2020山东高考)己知函数f(x)=aex[-Inx+In«.当a=c时，求曲线y寸CO在点(1，/(D)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；若/(》)>1,求。的取值范围.(2020天津高考)已知函数f(x)=x3+k\nx(keR)t/"(x)为/'⑴的导函数.(I)当k=6时，求曲线y=fM在点(!,/(!))处的切线方程；9求函数^x)=f(x)-f'(x)+-的单调区间和极值；(U)当妃..—3时，求证：对任意的而，易G[1,+OO),且也>%,有3)+'(工2)>,3)-/(人2).2 Xj-x2(2020浙江高考)己知\<a<2t函^f(x)=ex-x-ar其中-2.71828...为自然对数的底数.(I)证明：函数y=/(x)在(OS上有唯一零点；(II)记xo为函数y=/(x)在(0，+力)上的零点，证明:(i)7^1<^<72(«-1)；(ii) .高考模拟(2020-四川成都•月考(理))已知函数f{x)=^+2a\nxtg(x)=2?-l,其中aeR.当a=~］时，求/'(x)的单调区间；若方程/(x)=g(x)在卩0(e为自然对数的底数)上存在唯一实数解，求实数。的取值范围.(2020-海南期中)已知函数f(x)=x\nx-aet+at其中aeR.若/(X)在定义域内是单调函数，求。的取值范围；当。=1时，求证：对任意xg(0,-ko),恒有/(x)<cosx成立.(2020广西其他(理))已知函数f(x)=\nx+^x2.求函数/(尤)在区间［1,可上的最大值和最小值；若/(x)>(l-a)x2有解，求实数1的取值范围.(2020•北京二模)已知函数/(x)=^x3-ax+afa^R.(I)当a=l时，求曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程；(U)求函数y=f(x)的单调区间；(ID)当xW(0,2)时，比较/(x)与一|1一。|的大小.(2020•沙坪坝•重庆八中月考)己知函数/(x)=—,g(x)=ax+b,设F(x)=f(x)-g(x).(1)若。=1,求尸(X)的最大值;(2)若F(x)有两个不同的零点玉，求证：(为+易川(石+可>2.(2020-福建省福州第一中学开学考试)已知函数/(x)=ar2+21n(l+x)-2sinx,«>0.⑴若67>1,证明：当工6(°，如时，/W>0；(2)若X=()是f(x)的极大值点，求正实数G的取值范围.(2020-全国月考(文))已知函数f(x)=ax2-]nx.(I)若。=1,讨论/'3)的单调性；若/'3)有两个零点，求实数。的取值范围.(2020-福建厦门一中月考)已知函«/(x)=x-1sinx+/?/Inx+1,^(x)=/(x)+sinx.求函数g")的单调区间和极值；当工21时，若不等式g(x)-x-/一七0恒成立，求实数"7的取值范围；若存在再，毛£(0,心)，且当M为2时，f(功，证明：恭<1・专题2数列真题再现1.（2020年山东卷）己知公比大于1的等比数列｛%｝满足％+%=20,%=8.（1） 求｛%｝的通项公式；（2） 记如为a｝在区间（0,顽5・）中的项的个数，求数列｛如｝的前100项和5100.【答案】（1）%=2”：（2）§00=480.【解析】（1）由于数列｛%｝是公比大于1的等比数列，设首项为％,公比为q,依题意有項=2°〔叩=8解得解得％=2,0=2,或〃|=32,0=?（舍），所以an=T,所以数列｛%｝的通项公式为％=2”.（2）由J-2'=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128.所以4对应的区间为：（0,1]，则々=0：奶,4对应的区间分别为：（0,2],（0,3]，则內=们=1,即有2个1；对应的区间分别为;（0,4],（0,5],（0,6],（0,7],则々=「=金=々=2，即有2?个2：4,爲，■对应的区间分别为：（0,8],（0,9],,（0,15],则4=4==奴=3,即有23个3；瞄瞄,如对应的区间分别为：（0,16],（0,17],,（0,31],则坎6=坎7==如=4,即有2,个4；如力33，,。3对应的区间分别为：（0,32],（0,33],,（0,63],则如=妇==知=5,即有2,个5；膈功65,,々no对应的区间分别为：（0,64],（0,65],,（0,100],则如=毎==如=6，即有37个6.所以Sop=1x2+2x22+3x23+4x24+5x25+6x37=480.2.（2020年海南卷）己知公比大于1的等比数列｛%｝满足％+%=20,%=8.（1） 求｛%｝的通项公式；（2） 求%02-02丹+・..+（-1广也％+]・【答案】（1）%=2”；（2）■|一（一1）"%_【解析】⑴设等比数列｛%｝的公比为心>1）,则卩2+%：明+叩=20=qq_=8整理可得：2q2—5g+2=0.q>l,q=2皿=2,数列的通项公式为：刃=2・2〃t=2”.（2）由于：（―1广"z=（—1广x2"x2z=（—1广22仲，故：叩2_向昭+••+（_1广'",+1=23-25+27-29+...+（-1）,,~,-22n+,・（2020年天津卷）己知｛%｝为等差数列，也｝为等比数列，q=々=1,%=5（%-6）山=4伽一內）・

（I）求｛%｝和他｝的通项公式;(D)记｛%｝的前〃项和为s〃，求证：S〃S”2VS,L（〃CN'）；(D)(HD对任意的正整数〃，设［二，（”）“,〃为奇数，求数列｛弟的前2〃项和.〃为偶数.anan^2如，4〃I答幻2%=〃. 正明见解析：（01）^-^4【解析】（I）设等差数列｛为｝的公差为d，等比数列｛勿｝的公比为g.由。|=1,%=5(%-%),可得d=l.从而｛%｝的通项公式为％=〃.由4=1,用=4（么一包）,又歼0,可得寸_4g+4=0，解得q=2,从而｛"｝的通顼公式为3=2心.（II）证明：由（I）可得缶=丝井，故S“S,心=：〃（〃+1）（〃+2）（n+3）,S力=：（〃+1）?（〃+2尸,从而&S”一S%=—；（〃+1）（/1+2）<0,所以S〃S,q<S侦卽地为奇数时，。“=土也=穿夺=生-改,〃（/1+2） n+2 nan.n-\当"偶数时,f对任意的正整数〃,有ZC2A-1=Z*=1*=12k+\2k-\^2n 1，2〃+l「f02k_l13利2寸切亍句誓杯+2〃-32.-1①4”t4〃由①得茶％=£+再+ +QU②4〃4n+l2〃I?由①②气渉寸时—_项Y）.E4n4/,+|22/7-1由于*412n-\56〃+544〃'」334"4 4"12n-\\4~123x4"从而得：k=\56/7+599x4”4" 6〃+54因此'#=£位"我=2*”4〃 94" 6/?+54所以，数列棚的前2,,项和为2*9x4“94.(2020年浙江卷)己知数列｛«„｝,｛M，｛福中,%=坎=q=yn,縞=广%2•%（〃丘NT）.(I)若数列沛〃｝为等比数列，且公比4>0,且4+奶=6灯，求g与血｝的通项公式;(H)若数列0,｝为等差数列，且公差"。，证明：…纣万.(5“)_(l+p)x[p_WqP{=p-Xi+7=~FXT^?5"W5"WC_i/C_i/\-uiq"qEq（b”"o.巧.听,巧=»亏亏•可'于骚'（“N卯，乙眼）蒔=三"坦丄甲*p-I+^=P(l-i/)+l=^®:§Wdi)，寻扱[=也，【=“X—：村=""•••+*+"成=""油C十i-1/T7.（JVm以7式以）广力=勺=勺_也灼坦14-1/3「*="DK1•坦’M驟阳墙狀井％圳年’【从血見者｛?｝财孫K1豹*>•=勺出=七浙’平=E'q洵的~r•平=勺蚀=。故挪k畑'0<入土中’»9=。+1曲’»9=匂+勺业’»=勺'方=匂'【=勺婁裙％（I）【梁麹】•址搠由血四（II）="M=b（I）【孝新即cx+c2+...+cn<14-—,neN*.a高考模拟1.（2020-石嘴山市第三中学月考（文））巳知等比数列｛%｝是首项为1的递减数列，且％+%=6皿.（1） 求数列｛%｝的通项公式；（2） 若bn=nan,求数列｛如｝的前二项和7；.【答案】（1）%=（；）"'：⑵1=4-肯.【解析】（1）山％+角=6%，得6q2-g_l=0，解得0 或0=-：.数列｛%｝为递减数列，H首项为1，*=!.

两式相减得-n-n+22〃-两式相减得-n-n+22〃-1=2-2--〔22.（2020®邱县第二中学月考）等比数列｛%｝的各项均为正数，且如+3角=1,%2=9角％.（1）求数列｛%｝的通项公式;的前〃项和(2)设bn=log3^+log3tz2+......+log3an,求数列」丄的前〃项和2/7【答案】⑴2/7【答案】⑴⑵e【解析】（丨）设数列囱｝的公比为q,由=9a2a6得《=9姉所以q』］巾条件可知q>0,故q=g・巾2ai+3a2二1得2ai+3aiq=l,所以a】=-.故数列｛a。｝的通项公式为an=，(II)如=心+岫汁...+1。泗=-(l+2+...+n)=-穿1 2c故瓦=一沛冋=— 1 Fd 々如b„+n+\ 1 Fd 々如b„+n+\2n所以数列所以数列丿丄,2的前n项和为-壬3.（2020.渝中•重庆巴蜀中学高三月考（理））已知等比数列0｝的前〃项和为S〃，火％=3£，且-3,S“9%成等差数列.（1）求数列｛%｝的通项公式;（2）设如=（_1）〃％+〃（〃+］）,求数列｛如｝的前〃项和7；・~+~n+\【答案】（丨）为=3〃；（2）丁=3［（-3）—1~+~n+\【解析】（1）设等比数列｛%｝的公比为0,因为&20=3£，所以=3（《g）~,|大|为％。0,所以0=3,又-3,S’，9%成等差数列,所以254=9^-3即2讪_3」) ：2_3,解得％=3,1-3 1所以 =3"；（2）由题豉=（顼'3〃+吋=（一3）〃+厂两—i 1- 223nn+\)所以Cd++如=[(—3)'+(—3)、+(_3)"]+1_

—i 1- 223nn+\)=-3[1-（-3）”]“1 3[（一3）”一1丄〃-~1-（-3）-+一京一4 +~n+l4.（2020$徽省舒城中学高二开学考试（理））巳知数列｛%｝中，％=1,当n>2时，其前〃项和S〃满足（1）求&的表达式;（2）设如=Sn2刀+（2）设如=Sn2刀+1求数列也,｝的前”项和【答案】（1）S〃=2n-\【解析】⑴-S^=ahn-M.%=&—S〃t（〃N2）,S：=（S「Sz）[s“-；），2S〃Sz=S.l&①,由题意S&t邳,将①式两边同除以S〃S妇得，y-y-=2（n>2）诚州T诚州T是首项为尸疽，公差为2的等差数列・S.可得丄=1+2（〃-1）=2〃-1,&⑵宀丄==丄_-一q〃2/7+1（2〃-1）（2〃+1）21.2/7-12n+\）” ）_1[11” ）_1[11、2〃—12/1+1J2（2〃+15.（2020•云南高三其他（理））已知数列｛%｝的前〃项和为S",且满足S"=2q-2,（〃eN‘）.数列也J•是首项为％,公差不为零的等差数列，且如打，如成等比数列.<1）求数列｛%｝与｛如｝的通项公式.（2）若C“=妃,数列｛】｝的前项和为T〃，於m恒成立，求〃z的范围.【答案】（1）an=2\bn=3n-l；（2）m>5.【解析】（D因为歸=瓦一2,Sn_l=2an_,-2所以an=Sn-Sn-l=2an-2a„-l所以a”=2an_!（n>2）所以｛aj成等比，首项a1=s,=2,公比0=2所以an=2N由题意知b（=a,=2,设｛b「｝公差为4则b,bu=b；,即2（2+10d）=（2+2d）2,解得d=3或d=0（舍）所以bn=3n-1b,._3n-lTOC\o"1-5"\h\z7—p 7\o"CurrentDocument"q=MJ p_='p gZ . Z'P——=也堕p—=lD,；s g/宓=州"脯瑋‘（p乙+七）•次=Jpg+也）...'〃•为£=为,/他砌—％。Z"八"（【）【梁瓣】•NtOu/典印｛勺｝傾麻季*=，饵＜Nm以）“"=｛-：，百擧｛糾段麻墙（z）:辛▼血虱関｛勾｝咬奪挙（D机'与叱目，l=F'（）＜P翼口関｛""｝喧麻冀最哆口（叫竟三理軍墓推去麻學騒職宵車潺筆・ozoz）.9S1UI”炯，＞苔土-顷丄曲

时，由<=--d2解得d外=714y.不合恩，您.，.a时，由<=--d2解得d外=714y.不合恩，您.，.an=5+2(/?—1)=2/7+3.（2）由（1）知，当n>2时，《+%+...+%_](7(5+21)顼島_3'111.・兄-矿"•.当a时，矿E弓+务+…+知二―+；_卜+・・・+卜_+=„〃2+2〃_3,b2机b3b2b„bzb„b、又卜!时’,11(11.h= = ••,〃(〃+2)2if.1I1 I 12(324 n〃+21<32[21)_ 3/+5〃H+2j_4(/?+l)(n+2)7.（2020-四川省绵阳江油中学高三月考（文））在①％2+2%=45〃+饥且任=5,②％2+2%=45〃+》，且捲-1,③q：+2q=4S〃+b,且S2=8这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的人存在,求出力和数列｛%｝的通项公式与前〃项和；若力不存在，请说明理由.设&为各项均为正数的数列｛%｝的前〃项和，满足 ,是否存在b,使得数列｛%｝成为等差数列？【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】选择①，因为q；+2t/〃=4S〃+Z?，所以。二|+&丽=4S〃h+/?,两式相减，得2g+。〃）=如_《：=（a/）+i+%）（%材_4）,即（4h一为一2）（%++q）=0，又《土+4>0,所以|大|为外=5,且向一％=2,所以ax=3,由+2an=4Sn+b.得+2q=4。〕+/?,即。《一2a｝-b=0^把弓=3代入上式，得人=3,当b=3时，由。《一2弓一人=（）及％>0,得％=3,所以q=3,弓=5,满足a^-a„=2,可知数列｛%｝是以3为首项，以2为公差的等差数列.数列｛%｝的通项公式为％=3+2（〃-1）=2n+l,数列｛%｝的前n项和为Sn=3〃+籍丄x2=n2+2n.选择②，因为q；+2%=4S〃+衍所以q^+&T=4S,H+b，两式相减，得2（。伸+%）=知 =（a/l+l+为）（反_q），即（％|-％-2）（《用+%）=0,又an+l+an>0t所以an^-an=2t由a：+瓦,=4S"+b,得+2《=4q+/?，即a；_2%_」=0,因为已知数列｛%｝的各项均为正数，所以^>0.因为关于为的一元二次方程a；-2a^b=0至少存在一个正实数解的充要条件是△=4+4b..O,解得这与己知条件bv-1矛盾，所以满足条件的/，不存在.（注：若-2a}-b=0存在两个实数解分别为玉，x2,则可+易=2,x（x2=-b,当b>0时，。的解-正一负：当b=0时,a^-2a}-b=0的解一正一零:当一l<b<0时,cq-2a}-b=0的解均为正.所以方程£-2%-力=0至少存在-个正实数辭，当且仅*'iA=4+4fc.0j选择③，因为白；+24=4S〃+b，所以如+礼=4，"+|+」,两式相减，得2（%袒+%）=□%]一就=（%】+%）（4对一%）,即（％1一％一2）（%|+%）=0,又an+l+an>Ot所以an+i-an=2,由%1_%=2，得a2-a{=2,又已知S2=a}+a2=8,所以q=3,a2=5,由a~t+2an=45m+b，得+2q=4%+/?,b=a^-2ar所以b=-2a}=3.当b=3时，由a^-2al-b=0及％>0得％=3,由。；+瓦=4S?+3,%=3及为〉。，得a2=5,所以q=3和角=5满足a,J+l-an=2,可知数列{%}是以3为首项，以2为公差的等差数列，数列｛q｝的通项公式为％=3+2（〃—1）=2〃+1,数列｛%｝的前〃项和为S〃=3〃+也F'2=〃2+2〃.8.（2020-山东其他）在等差数列｛%｝中，已知2=16,《6=36.（1） 求数列｛%｝的通项公式％;（2） 若 ,求数列｛6｝的前〃项和&.4在①勿= ，②如=（-1）”.为，③b“=2%q，这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求anan+\解.【答案】（1）%=2〃+4；（2）答案见解析.【解析】（1）设等差数列｛%｝的公差为d,则66=%+（16_6）d,即36=16+10”，d=2,故q=16+（〃-6）x2=2〃+4%=2〃+4（2）选①，"-4―4'〃 （2〃+4）[2（〃+1）+4]1 1 1（〃+2）（〃+3）〃+2n+3

c..11 1 1 1 1""3445 〃+2〃+33〃+33（〃+3）'选②，由国=（-1）”％=（-1）"（2〃+4）得当刀为偶数时,S〃=2[-3+4-5+6-•••+（〃+2）]=2x—xl=2当〃为奇数时，S〃=2[-3+4-5+6--1）-（〃+2）]=2^y^xl-（〃+2）=-/?-5.〃 _皿（〃为偶数），乂" 为奇数）选③，由/>,=（2n+4）-22n+4得Sw=6-26+8-28+10-2,o4--+（2n+4）-22/,+4—①则4S〃=6•2"+8•2知+•••+（2〃+2）•22/,+4+（2〃+4）.22,,+6-①-②，得-35/J=6-26+2-28+2-2,04--+2-22/,+4-（277+4）-22n+6=6-26+228-2=6-26+228-22n+4-221-22-（2n+4）-22,,+65）〃+—3丿3〃+52〃+7640故&=3~29.（2020•北京平谷•高三二模）己知项数为叭moN*,m>2）的数列｛%｝满足如下条件：①qeMS=l,2,,m）；②％V角<...<%若数列但｝满足々,=（%+"••+%,）--册，其中〃=1,2,,〃7则称｛如｝为｛%｝的“伴随数列”.（I） 数列1,3,5,7,9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（II） 若｛"｝为0｝的“伴随数列”，证明：々>">••>々〃；<IH）已知数列｛%｝存在“伴随数列"｛如｝,且％=1,“,“=2049,求m的最大值.【答案】（I）不存在，理由见解析；（11）详见解析：（III）33.5-1【解析】（1）不存在.理由如下：因为勿=更兰中^妊N',所以数列1,3,5,7,9不存在“伴心"5-1m因为如f产玲心5-SK又因为<"所以所以如叫=铮罚，即如<垢所财沌成立.(111)Vl<z<y<m,都有b_b.=%勺，因为々cN*,机>b=>>bm,' 1tn-\所以bj-b产N»,所以坎-如=仕牛=四车1.J m-\ m-\因为妃「b,产土牛N*,m-\所以an-an_x>in-\.而一命T)+(%i-%q)++(q—q)2(〃一1)+(”一1)++(/n-l)=(/n-l)2.即2049-1>(m-l)2,所以(w-1)2<2048.故/w<46.巾于癸竺eN\经验证可知m<33.所以w的最大值为33.10.(2020•北京顺义•高三二模)给定数列%,%, .对，=1,2,，〃一1,该数列前i项6，角，，《的最小值记为4，后〃t•项知,％+2，，％的最大值记为B,,令4=5-4.设数列｛%｝为2,1,6,3,写出4，d\,4的值；设%,%，%(〃*)是等比数列，公比Ovqvl,且％>0,证明：4，乌，是等比数列；设4,%，，山\是公差大于0的等差数列，且吊>0,证明：％,/,,6/是等差数列.【答案】(1)4=4,d2=5,《=2：(2)证明见解析；(3)证明见鮮析【解析】(1)由题意，A=2,4=6,则4=鸟一人=6—2=4：人=1,8?=6,则q=用一总=6-1=5：&=1,马=3,则仏=呂-人=3-1=2.(2)因为％,%,,%(〃24)是等比数列，公比Ovqvl,且％>0,所以数列｛%｝是递减数列，则1=1,2,，〃一1时，A=%，B,=%+i，所以《=%+[-《•，且所以，=1,2,,〃-2时，4+]=q・+2-s=g(s-q),所以唄=血-《)=0即40, 是等比数列.diSF(3)由d\,%, 是公差大于0的等差数列，旦4>0,可知Ov^v^v<d,T①先用反证法证明％,%, 是递减数列,假设％,外, 不是递减数列，设《是第一个使得ak>ak_x成立的项，则Bk_｝>Bk.所以用_|一4一|2片一&，即dqdk，与0v4vq<<dtl_l相矛盾，所以％,%, 是单调递减数列.②再用反证法证明％为数列｛%｝中的最大项，假设为不是数列｛为｝的最大项，即存在&依=1,2,3,，〃一1)使得ak>a„成立，若k=l时，满足a]>an,则 故4=鸟一A=鸟一％vq—％=。，与4>0矛盾，即k壬1；若k>2时，满足ak>an,则4-i=^-r =%，故<_i= -A-i=a