高等量子力学-定态薛定谔方程课件

§9定态薛定谔方程§9-1概述§9-2一维谐振子§9-3氢原子（自学）§9-4氢分子离子的基态（自学）§9定态薛定谔方程§9-1概述1§9-1概述量子力学的一个重要任务是,在给定的环境下求系统的所有可能的状态.当环境不随时间改变时,这个任务归结为求解定态薛定谔方程:

(9.1)

(9.2)

是系统能量有确定值的状态,称为定态.§9-1概述量子力学的一个重要任务是,在2

(9.3)

(9.3)3实际系统所处的外界环境通常是比较复杂的,薛定谔方程能得到严格解的情况是不多的.解定态薛定谔方程常常需要用近似方法.近似方法有微扰法、变分法、半经典近似和自洽场方法等.下面给出有关薛定谔方程的三个一般性定理.

相应于最小能量本征值的态称为基态.(9.4)

实际系统所处的外界环境通常是比较复杂的,薛4高等量子力学-定态薛定谔方程ppt课件5

(9.10)

证明：

(9.11)

(9.10)证明：(9.11)6位力定理：处于任意束缚定态的单粒子,其动能的期望值满足

(9.6)

证明：位置表象：由H-F定理：动量表象：由H-F定理：对比得位力定理：处于任意束缚定态的单粒子,其动能的期望值满足7证明方法2：令证明方法2：令8(s为整数)

(9.8)

(9.9)(s为整数)(9.8)(9.9)9§9-2一维谐振子一维谐振子的哈密顿是

(9.13)下面用几种不同的方法去求它的本征矢量和本征值.一、直接矢量计算

首先用X和P构造两个辅助算符:(9.14)

(9.15)§9-2一维谐振子一维谐振子的哈密顿是(9.13)10于是

(9.16)

(9.17)

(9.19)有用的几个对易关系是

(9.21)

(9.18)

(9.20)于是(9.16)(9.17)(9.19)有用的几个对易11

(9.22)

(9.23)

(9.24)现在,用A作用在(9.22)式两边:即(9.22)(9.23)(9.24)现在,用A12(9.25)

而(9.25)而13(9.26)

(9.27)上二式亦可写成(9.26)(9.27)上二式亦可写成14

(9.29)至此,问题全部解决.

(9.30)明显的矩阵形式为(9.29)至此,问题全部解决.(9.30)明显的15(9.31)矩阵的行列序号按0,1,2,3,…次序排列.算符X和P在能量表象中的矩阵元如下:(9.31)矩阵的行列序号按0,1,2,3,…次序16

把(9.27)和(9.28)二式写成位置表象形式:式中(9.34)(9.35)(9.36)把(9.27)和(9.28)二式写成位置表象形式:式中17(9.37)(9.37)18利用算符等式有式中

(9.38)利用算符等式有式中(9.38)19二、在位置表象中的计算

在位置表象中,谐振子的定态薛定谔方程是一个二阶微分方程:(9.48)本征函数：二、在位置表象中的计算在位置表象中,谐振子的定态薛定谔方程20三、在动量表象中的计算

谐振子的哈密顿(9.13)式为三、在动量表象中的计算谐振子的哈密顿(9.13)式为21这一方程的解为

(9.49)由此得知,一维谐振子在其每一个定态中,粒子的动量概率的分布情况与位置概率的分布情况具有相同的性质.这一方程的解为(9.49)由此得知,一维谐振子在其每22四、在能量表象中计算（自学）

四、在能量表象中计算（自学）23

(9.40)

(9.41)

(9.42)(9.40)(9.41)(9.42)24

(9.43)(9.43)25但是所以

(9.44)但是所以(9.44)26代入其中得于是得(9.44)式的解为即

(9.45)代入其中得于是得(9.44)式的解为即(9.45)27

(9.46)

(9.47)于是问题完全解决,其余的量很容易推出:(9.46)(9.47)于是问题完全解决,其余的量28